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1、第十六章 一元函数积分学第1页，本讲稿共45页(一一)本章内容小结本章内容小结一、主要内容一、主要内容1、原函数和不定积分的概念；基本积分公式，基本积分法则，换元法，分部积分法.2、定积分的定义；微积分基本定理；牛顿-莱布尼兹公式及其应用.二、重点和难点二、重点和难点 本章重点是不定积分的计算和利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.难点是不定积分的计算和定积分的定义.第2页，本讲稿共45页四、对学习的建议四、对学习的建议 1、不定积分的计算掌握得熟练与否不仅影响着定积分的计算和应用，而且将影响到今后学习多元函数积分的计算以及微分方程的求解等，因此务必给予重视.不定积分的计算中凑微分法的使用是个难点
2、，它的基本思路是通过恒等变化积分表达式中的微分形式，使积分表达式在形式上符合基本积分公式，从而解决积分问题.要熟练掌握凑微分法，一是要熟记基本积分公式，二是熟悉常用的微分公式，三是多做多看，积累经验，熟悉技巧.分部积分法主要是针对被积函数为乘积形式的积分，其方法是将所给积分化为形如 ,然后利用公式第3页，本讲稿共45页 总之，不定积分的解法很灵活，求解途径不止一种，以下所说都是一些基本情况和常规思路，而实际上面对的情况是千第4页，本讲稿共45页变万化的，有时解法需要技巧性很强，例如，即使被积函数中无根式，也可考虑使用第二换元法等.这就要求多看多练，多总结归纳.2、对于定积分的定义应通过引入例题
3、深刻理解，它的精要之处是“分割求近似，求和取极限”，这种数学思想在利用定积分解决实际问题中尤为重要.第5页，本讲稿共45页第6页，本讲稿共45页五、本章关键词五、本章关键词不定积分积分法定积分公式定理第7页，本讲稿共45页(二二)常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、直接积分法求不定积分一、直接积分法求不定积分解解 许多不定积分先要对被积函数适当变形，根据不定积分的性质，结合代数和三角公式的恒等变形，直接利用基本积分公式求不定积分.第8页，本讲稿共45页第9页，本讲稿共45页二、利用第一换元积分法二、利用第一换元积分法(凑微分法)求不定积分求不定积分 在不定积分的计算中，凑微分法就是根据被积
4、函数，利用微分形式不变性，“凑”成一个在基本积分公式中的函数，求出不定积分.凑微分法比较灵活，应该通过较多的训练，将凑微分法掌握好.可以看到，许多不定积分的计算用凑微分法显得比较简单.该方法的一般计算步骤如下：第10页，本讲稿共45页应用凑微分法时，需注意运用以下几个凑微分思路：第11页，本讲稿共45页第12页，本讲稿共45页解解解解第13页，本讲稿共45页第14页，本讲稿共45页三、利用第二换元积分法求不定积分三、利用第二换元积分法求不定积分第15页，本讲稿共45页先换元后积分的具体计算步骤如下：第16页，本讲稿共45页由以上三步组成的方法称为第二换元积分法.第17页，本讲稿共45页解解第1
5、8页，本讲稿共45页解解第19页，本讲稿共45页解解据题意作图如图 16-1 所示.图 16-1 例 6 示意第20页，本讲稿共45页解解据题意作图如图 16-2 所示.图 16-2 例 7 示意第21页，本讲稿共45页四、利用分部积分法求不定积分四、利用分部积分法求不定积分 如果被积函数是幂函数与指数函数的乘积、幂函数与正(余)弦函数的乘积、幂函数与对数函数或三角函数的乘积以及指数函数与正(余)弦函数的乘积，就可以考虑用分部积分法.第22页，本讲稿共45页表表 16-116-1 分部积分表分部积分表第23页，本讲稿共45页解解第24页，本讲稿共45页解法一解法一据题意作图(见图 16-3).
6、图 16-3 例 9 示意解法二解法二第25页，本讲稿共45页解法三解法三 由此可见，不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法.在具体的问题中，常常是各种方法综合使用，针对不同的问题就采用不同的积分方法.第26页，本讲稿共45页五、可变上限的定积分对上限的求导五、可变上限的定积分对上限的求导解解第27页，本讲稿共45页解解第28页，本讲稿共45页解解第29页，本讲稿共45页六、利用换元积分法计算定积分六、利用换元积分法计算定积分 应用定积分的换元法时，要考虑被积函数的特点，与不定积分换元法类似，定积分的换元法也包括凑微分、简单根式代换、三角代换等.必须指出换元法中定积分与不定积分不同的
7、是：第30页，本讲稿共45页解解解解第31页，本讲稿共45页七、利用分步积分法计算定积分七、利用分步积分法计算定积分 定积分的被积函数的特点与不定积分的分部积分法类似，但不必先由不定积分的分部积分法求出原函数再用牛顿-莱布尼兹公式求出原函数在积分上限和下限值的差，而直接应用定积分的分部积分法，可能会使积分简化.解解第32页，本讲稿共45页解解第33页，本讲稿共45页八、利用函数的奇偶性计算定积分八、利用函数的奇偶性计算定积分解解证证第34页，本讲稿共45页第35页，本讲稿共45页(三三)思考题思考题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案1、凑微分法求不定积分的步骤是什么？2、试写出不定积分与
8、定积分在应用换元法时的区别是什么？4、熟记微积分基本公式即牛顿-莱布尼兹公式.第36页，本讲稿共45页(四四)课堂练习题课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案第37页，本讲稿共45页返返 回回1、先凑微分，再进行变量代换后积分，最后回代.第38页，本讲稿共45页返返 回回2、第一：定积分在换元时，一定要将积分上、下限也作相应 变换.第二：不定积分在换元时，要将变量回代；而定积分不需 回代，它是一个数.第39页，本讲稿共45页返返 回回第40页，本讲稿共45页返返 回回第41页，本讲稿共45页返返 回回第42页，本讲稿共45页返返 回回第43页，本讲稿共45页返返 回回第44页，本讲稿共45页返返 回回第45页，本讲稿共45页