第十六章一元函数积分学课件.ppt

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1、第十六章一第十六章一 元元 函函 数数 积积 分分 学学(一) 本 章 内 容 小 结(二) 常见问题分类及解法(三) 思 考 题(四) 课 堂 练 习( (一一) ) 本章内容小结本章内容小结一、主要内容一、主要内容1、原函数和不定积分的概念；基本积分公式，基本积分法则，换元法，分部积分法.2、定积分的定义；微积分基本定理；牛顿-莱布尼兹公式及其应用.二、重点和难点二、重点和难点 本章重点是不定积分的计算和利用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分. 难点是不定积分的计算和定积分的定义.四、对学习的建议四、对学习的建议 1、不定积分的计算掌握得熟练与否不仅影响着定积分的计算和应用，而且将影响到今后学习

2、多元函数积分的计算以及微分方程的求解等，因此务必给予重视. 不定积分的计算中凑微分法的使用是个难点，它的基本思路是通过恒等变化积分表达式中的微分形式，使积分表达式在形式上符合基本积分公式，从而解决积分问题. 要熟练掌握凑微分法，一是要熟记基本积分公式，二是熟悉常用的微分公式，三是多做多看，积累经验，熟悉技巧. 分部积分法主要是针对被积函数为乘积形式的积分，其方法是将所给积分化为形如 , 然后利用公式udv，udvuvvdu其中 的选取有两个原则：一是 便于求出；二是 好积.uvvdu( )1( )( )( ) 对于计算不定积分具体操作的建议是，拿到一个题目首先考虑是否通过变化被积函数而可使用基

3、本积分法则或者使用凑微分法；被积函数若含根式，一般首先考虑第二换元法；被积函数若为乘积形式，仍要首先考虑可否使用凑微分法，然后考虑使用分部积分法，其中被积函数为乘积形式也可广义理解，例如， 可以认为是 ，并且有时被积函数为一个函数时也可考虑使用分部积分法.f xf xg xg x 总之，不定积分的解法很灵活，求解途径不止一种，以下所说都是一些基本情况和常规思路，而实际上面对的情况是千变万化的，有时解法需要技巧性很强，例如，即使被积函数中无根式，也可考虑使用第二换元法等. 这就要求多看多练，多总结归纳. 2、对于定积分的定义应通过引入例题深刻理解，它的精要之处是“分割求近似，求和取极限”，这种数

4、学思想在利用定积分解决实际问题中尤为重要.( ) 利用牛顿-莱布尼兹公式 ( )( )( )(注意 ( )在 ， 上连续)解定积分，关键在于求出 ( ) 的一个原函数 ( )，这就把定积分问题转化成了不定积分问题.因此，从根本上说这个公式已经解决了定积分的计算问题，但在实际操作上仍有一些小技巧： 若在求 的过程中需要利用第baf x dxF bF af xabf xF xF x( )( )babbbaaaF xF xudvudvuvvdu二换元法，可把定积分的上下积分限做相应的改变，这样就不需要把引入的新变量再还原成原来的积分变量，这个过程广义地称之为“换元变限” . 若在求 的过程中需要利用

5、分部积分法，则不需要求出 后，再利用牛顿-莱布尼兹公式，而是把被积表达式先化成 的形式，然后直接用公式 计算. 无穷积分是广义积分的一种，即积分区间是无穷的. 从无穷积分定义来看，无穷积分是一般定积分与求极限的结合，应该说没有多少新的内容，但它在实际中的应用是很有意义的. 已经知道，把火箭发射到太空所要做的功为22 为引力常数 计算的结果表明，把火箭送到无穷远处所做的功却是有限的，这不是很有趣吗?RMmGdrmgRrR gGM五、本章关键词五、本章关键词不定积分积分法定积分公式定理( (二二) ) 常见问题分类及解法常见问题分类及解法一、直接积分法求不定积分一、直接积分法求不定积分解解2222

6、12sin2 cos(1)1 求下列不定积分： (1) ； (2) ； (3) .xdxxdxdxxxxxxx例例1 1 许多不定积分先要对被积函数适当变形，根据不定积分的性质，结合代数和三角公式的恒等变形，直接利用基本积分公式求不定积分.(1) 用分式拆项法，得21xdxxx222(1)(1)(1)x xxdxxxxx222(1)(1)x xxdxxx221x dxx xdx32211 (1)32xxd x33221(1)33 ；xxc(2) 用三角公式恒等变换与分式拆项法，得sin2 cosdxxx22sin cosdxxx222sincos2sincosxxdxxx1tan seccsc

7、2xxdxxdx1(secln |csccot|)2 ；xxxc(3) 用分式拆项法得22212(1)xdxxx2222(1)(1)xxdxxx22111dxdxxx1arctan .xcx 二、利用第一换元积分法二、利用第一换元积分法 (凑微分法) 求不定积分求不定积分 在不定积分的计算中，凑微分法就是根据被积函数，利用微分形式不变性，“凑”成一个在基本积分公式中的函数，求出不定积分. 凑微分法比较灵活，应该通过较多的训练，将凑微分法掌握好. 可以看到，许多不定积分的计算用凑微分法显得比较简单. 该方法的一般计算步骤如下： ( )( ) ( ) ( ) 凑微分 先凑微分，即 ；fxx dxf

8、x dx( )( ) ( ) ( )( )( ) 令 再进行变量代换后积分，令 ， 即 ；uxuxfx dxf u duF uc( )( ) ( ) 回代 最后回代，即 这种先 凑微分式，再进行变量代换的积分方法，称为第一换元 法，也称凑微分法.f u duF ucFxc应用凑微分法时，需注意运用以下几个凑微分思路：222sin2(2sin)2sin2sin 当分母函数的导数正好是分子函数时，将分子凑微分，如 xdxdxxx222111(1)2 当根号内函数的导数等于根号外函数 (或相差常数倍) 时， 将根号外函数凑微分，如 xx dxx dxsinsinsinsincossincossinc

9、ossin 通常以被积式中的复合函数的中间变量为目标凑微分，如 积分 ， 是复合函数，以中间变量 为目标，将 凑成 ，即 xxxxxedxexxdxdxxedxedx2222lnln1(ln1)ln(ln1)ln12ln1 有时需分步完成凑微分，如 xxdxdxdxxxxxsin cos 求不定积分 .dxxx例例2 2解解用凑微分法，得sin cosdxxx2tan cosdxxx(tan )tandxxln|tan| .xc432sin cos1 sinlntan9sin cos 求下列不定积分： (1) ； (2) ； (3) ； (4) .axxxdxdxaxxxxdxdxxxx例例3

10、 3解解用凑微分法，得22222212()dxad axaxax(1) axdxax22axdxax1222arcsin() ；xaaxca4sin cos1 sin(2) xxdxx4sinsin1 sinxdxx2221(sin)2 1 (sin)dxx21arctan(sin)2 ；xc329(3) xdxx2221()29xd xx222199()29xd xx22219(9)()229d xd xx2219ln(9)22 ；xxclntansin cos(4) xdxxx2lntantan cosxdxxxlntan(tan )tanxdxxlntanln(tan )xdx21ln

11、(tan )2 .xc三、利用第二换元积分法求不定积分三、利用第二换元积分法求不定积分1( ) ( )( )( )( )( )( )( ) 在不定积分的计算中，若被积函数有根式，一般都先消去根号，再求不定积分. 第二类换元积分法基本思想也是消去根号，因此要具体地根据被积函数的情况，选择合适的变换 ，使得新的被积函数 具有原函数 ，再从 中得出反函数 代入 ，即得 的原函数. 当被积函数中含有被开方因式为一次式的根式 mxtfttF txttxF tf xaxb222222sintansec时，令 ，可以消去根号，从而求得积分. 当被积函数中含有被开方因式为二次式的根式，一般地说，可进行三角代换

12、：若被积函数含有 ，可进行代换 ；若被积函数含有 ，可进行代换 ；若被积函数含有，可进行代换 . 在具体解题时，要具体分析，用什么样的积分方法为好，有时用凑微分法可能会更好.maxbtaxxataxxatxaxat先换元后积分的具体计算步骤如下：( )( )( ) ( )( ) 先换元，令 ，即 ；xtxtf x dxftt dt ( ) ( )( ) 积分 再积分，即 ；ftt dtF tc1( )11( )( )( )回代 最生回代，即 .txtxF tcFxc 由以上三步组成的方法称为第二换元积分法.1( )( )( )0( )( ) 运用第二换元积分法的关键是选择合适的变换函数. 对于

13、 ，需要单调可微，且 ，其中 是 的反函数.xtxtttxxt26666ln |1|2 (回代 )tttctx321 求 .dxxx例例4 4解解6令 ，tx656则 ，xtdxt dt321所以 dxxx36121dttt53416t dttt261tdtt21 161tdtt 1611tdtt 366366ln|1| .xxxc323 求 .xdxx例例5 5253513325 (回代 )ttctx 解解33令 ，tx3233则 ， .xtdxt dt 323故 xdxx3223( 3 )ttdtt 43 (5)ttdt 233 19(3)52 .xxc 2233153(3)(3) (3)

14、25xxxc 29 求 .xdxx例例6 6解解3sec令 ，xt3sec tan则 dxttdt29故 xdxx据题意作图如图 16-1 所示.29sec tan3secttdtt23 tan tdt23sec tdtdt3tan3ttc2393arccos .xcxtx329x 图 16-1 例 6 示意421 求 .dxxx例例7 7解解tan令 ，xt2sec则 ，dxtdt421故 dxxx据题意作图如图 16-2 所示.24secsec tantdttt42(sin )(sin )sinsindtdttt2323(1)13 .xxcxx tx121x图 16-2 例 7 示意311

15、sin3sintct 四、利用分部积分法求不定积分四、利用分部积分法求不定积分,udvudv 在不定积分的计算中，当遇到两个不同类型的函数相乘时，一般用分部积分法. 运用分部积分法的关键是恰当地选择 和 一般选择 和 的原则如下： 要用凑微分法容易求出.v 要比 容易积出.vduudv 表 16-1 给出了适用分部积分法求不定积分的题型及 和 的选取法.udv 如果被积函数是幂函数与指数函数的乘积、幂函数与正(余)弦函数的乘积、幂函数与对数函数或三角函数的乘积以及指数函数与正(余)弦函数的乘积，就可以考虑用分部积分法.表表 16-116-1 分部积分表分部积分表不定积分的题型、 选取udv(

16、)axP x e dx( )sinP xaxdx( )cosP xaxdx( )lnP xxdx( )arcsinP xxdx( )arctanP xxdxsinaxebxdxcosaxebxdx( )uP x( )uP x( )uP xlnuxarcsinuxarctanuxsinubxaxuecosubxaxueaxdve dxsindvaxdxcosdvaxdx( )dvP x dx( )dvP x dx( )dvP x dxsin或axdve dxdvbxdxcos或axdve dxdvbxdx( )注：其中 表示 的多项式； ， 为常数.P xxab2lncos(ln ) 求下列不定

17、积分： (1) ； (2) .xxdxx dx例例8 8解解2ln(1) xxdx3222ln()3xd x32224lnln33xxxxdx3322228lnln()39xxxd x33222288lnln399xxxxxdx33322222816lnln3927xxxxxc322248lnln339 ；xxxccos(ln )(2) x dxcos(ln )sin(ln )xxx dxcos(ln )sin(ln )cos(ln )，xxxxx dxcos(ln )cos(ln )sin(ln )2所以 .xx dxxxc21 求不定积分 .dxx x 例例9 9解法一解法一sec用三角换

18、元法，令 ，xtsec tan则 得dxttdt据题意作图(见图 16-3).tx121x 图 16-3 例 9 示意21dxx x sec tansec tanttdtttdttc 1arccos ；cx解法二解法二21用直接换元法，令 ，tx21则 xdxdtx即 ，有xdxtdt21dxx x 221xdxxx2(1)tdttt2(1)dttarctantc2arctan1 ；xc 解法三解法三1用倒数换元法，令 ，xt21则 ，得dxdtt 21dxx x 21dtt arcsintc 1arcsin .cx 由此可见，不定积分计算要根据被积函数的特征灵活运用积分方法. 在具体的问题中

19、，常常是各种方法综合使用，针对不同的问题就采用不同的积分方法.五、可变上限的定积分对上限的求导五、可变上限的定积分对上限的求导 如果定积分的上限是 的函数，那么利用复合函数求导数公式来对上限求导；如果定积分的下限是 的函数，那么将定积分的下限变为可变上限的定积分，利用复合函数求导数公式来对上限求导；如果定积分的上限、下限都是 的函数，那么利用区间可加性将定积分写成两个定积分的和，其中一个定积分的上限是 的函数，另一个定积分的下限也是 的函数，都可以化为可变上限的定积分来对上限求导.xxxxx12sin( ) ，求 .xdyytdtdx例例1 10 0解解21sin( )因 ，xytdt 22s

20、in()()sin()故 .dyxxxdx 003cos0 设 ，求 .yxtdye dttdtdx例例1 11 1解解003cos0方程 确定了 是 的隐函数，方程两端对 求导，得yxte dttdtyxx3cos0ydyexdx3cos故 .ydyxdxe 3241( )( )1 已知 ，求 .xxF xdtF xt例例1 12 2解解3241( )1xxF xdtt3204401111xxdtdttt2344001111xxdtdttt ( )所以 F x2381211()()11xxxx 21283211 .xxxx六、利用换元积分法计算定积分六、利用换元积分法计算定积分 应用定积分的

21、换元法时，要考虑被积函数的特点，与不定积分换元法类似，定积分的换元法也包括凑微分、简单根式代换、三角代换等.必须指出换元法中定积分与不定积分不同的是： 定积分在换元时，若用新的字母表示积分变量一定要 换积分限； 应用换元法计算出不定积分后，要将变量回代，即要 代回原来的积分变量. 而定积分的最后结果是数值， 不需要变量回代.30(1 sin) 求 .d例例1313解解30(1 sin)d300sindd 200(1 cos) cosd301(coscos)343 .ln8ln31 求 .xe dx例例1 14 4解解1令 ，xte222ln(1)1则 ，txtdxdttln32ln83当 时

22、，当 时 ，于是xtxtln8ln31xe dx232221tdtt322221dtt3212ln1ttt2ln3ln2 .七、利用分步积分法计算定积分七、利用分步积分法计算定积分 定积分的被积函数的特点与不定积分的分部积分法类似，但不必先由不定积分的分部积分法求出原函数再用牛顿-莱布尼兹公式求出原函数在积分上限和下限值的差，而直接应用定积分的分部积分法，可能会使积分简化.40cos(1) 求 .xdx例例1 15 5解解1令 ，xt 2(1)则 dxtdt0141当 时，；当 时， .xtxt 40cos(1)于是 xdx112(1)costtdt112(1) sintdt11112(1)s

23、in2sintttdt4sin1 .1( )sin ln( ) 已知 的一个原函数是 ，求 .f xxxxfx dx例例1 16 6解解( )sin ln因 的一个原函数是 ，f xxxsin( )(sin )ln cos ln故 xf xxxxxx1( )于是 xfx dx1( )xdf x11( )( )xf xf x dx11 (cos )lnsin (sin )ln xxxxxxlnsin1 . 八、利用函数的奇偶性计算定积分八、利用函数的奇偶性计算定积分100|sin| 求 .x dx例例1717解解|sin|由于 以 为周期，据周期函数积分的性质：x100|sin|x dx2210

24、|sin| x dx2020sin20 .xdx0sinsin 证明：如果 ， 是正整数，那么 . mnmnmxnxdxmn例例1 18 8证证1sinsincos()cos() 2因为 mxnxmn xmn x所以 当 时，mnsinsinmxnxdx1cos()cos() 2mn xmn x dx0cos()cos() mn xmn x dx011sin()sin()0 ；mn xmn xmnmn当 时，mnsinsinmxnxdx2sin nxdx0(1 cos2)nx dx01sin22，xnxn0sinsin 所以 . mnmxnxdxmn(三三) 思考题思考题答答 案案答答 案案答

25、答 案案答答 案案1、凑微分法求不定积分的步骤是什么？2、试写出不定积分与定积分在应用换元法时的区别是什么？4、熟记微积分基本公式即牛顿-莱布尼兹公式.23223 10 ? ?、是否正确为什么xxdx(四四) 课堂练习题课堂练习题答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案21 .1、求xdxe2 cos.、求xxedx203 sin.、求xxdx2020sin4 lim.、求xxtdtx返返 回回1、先凑微分，再进行变量代换后积分，最后回代.返返 回回2、第一：定积分在换元时，一定要将积分上、下限也作相应 变换.第二：不定积分在换元时，要将变量回代；而定积分不需 回代，它是一个数.返返 回回3 .、是正确的，因为被积函数是奇函数，它在区间 -2,2 上积分为零返返 回回 4 .、bbaaf x dxF xF bF a返返 回回1、：解212211112ln 1.xxxxxxedxdxdeeeeeC 返返 回回2、：解coscossin.xxxxedxxdxe dxxeC返返 回回3、：解22220000sincoscoscosxxdxxdxxxx dx 20sinsinsin01.2x返返 回回4、：解220200sinsinlimlim0.2 2xxxtdtxxxx