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1、多面体与球的切接问题第1页，本讲稿共27页基本知识回顾：基本知识回顾：一、一、球体的体积与表面积球体的体积与表面积二、球与多面体的接、切二、球与多面体的接、切定义定义1：若一个多面体的：若一个多面体的各顶点各顶点都在一个球的球面上都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的内接多面体内接多面体，这个球是这个这个球是这个 。定义定义2：若一个多面体的：若一个多面体的各面各面都与一个球的球面相切都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的则称这个多面体是这个球的外切多面体外切多面体，这个球是这个这个球是这个 。多面体的多面体的外接球外接球 多面体的多面体的内切球内切球外接
2、球球心到各顶点的距离相等外接球球心到各顶点的距离相等(R)内切球球心到各面的距离相等内切球球心到各面的距离相等(r)第2页，本讲稿共27页一、棱柱与球一、棱柱与球 典例典例1 1：有三个球有三个球,一球切于正方体的各面一球切于正方体的各面,一球切于正方体的各侧棱一球切于正方体的各侧棱,一球过一球过正方体的各顶点正方体的各顶点,求这三个球的体求这三个球的体积之比积之比.第3页，本讲稿共27页中截面中截面球的外切正方体的棱长等于球直径。球的外切正方体的棱长等于球直径。ABCDD1C1B1A1O第4页，本讲稿共27页ABCDD1C1B1A1O中截面中截面正方形的对角线等于球的直径。正方形的对角线等于
3、球的直径。.第5页，本讲稿共27页ABCDD1C1B1A1O对角面对角面球的内接正方体的对角线等于球直径。球的内接正方体的对角线等于球直径。第6页，本讲稿共27页变题：变题：第7页，本讲稿共27页 典例典例典例典例2 2第8页，本讲稿共27页反馈训练反馈训练1：第9页，本讲稿共27页小结小结1如何求直棱柱的外接球半径呢？（1）先找外接球的球心：）先找外接球的球心：它的球心是连接上下两个多边形的它的球心是连接上下两个多边形的外心外心的线段的线段的中点；的中点；（2）再构造直角三角形，勾股定理求再构造直角三角形，勾股定理求 解。解。第10页，本讲稿共27页二、棱锥与球二、棱锥与球 典例典例1 1：
4、正四面体正四面体ABCDABCD的棱长为的棱长为a a，求其内切球半径求其内切球半径r r与外接球半径与外接球半径R.R.第11页，本讲稿共27页ABCDOABCDO正四面体外接球的半径正四面体外接球的半径正方体外接球的半径正方体外接球的半径难点突破：如何求正四面体的难点突破：如何求正四面体的外接球半径外接球半径法法1.补成正方体补成正方体第12页，本讲稿共27页PABCMOPAMDEOD法法2.勾股定理法勾股定理法难点突破：如何求正四面体的难点突破：如何求正四面体的外接球半径外接球半径第13页，本讲稿共27页OHPABCDMh 2R法法3.射影定理法射影定理法难点突破：如何求正四面体的难点突
5、破：如何求正四面体的外接球半径外接球半径第14页，本讲稿共27页变题：变题：1.法法1.勾股定理法勾股定理法法法2.射影定理法射影定理法第15页，本讲稿共27页变题：变题：第16页，本讲稿共27页找三棱锥的外接球的球心找三棱锥的外接球的球心（利用外接球球心到锥体各顶点距离相等的特性）（利用外接球球心到锥体各顶点距离相等的特性）可选择以下思路可选择以下思路 法法1、观察法（适用于较简单的情况）（如以上例、观察法（适用于较简单的情况）（如以上例2）法法2、可以找两条对棱中垂线的交点，即为三棱锥外接球、可以找两条对棱中垂线的交点，即为三棱锥外接球球心。（如以上变式球心。（如以上变式1）法法3、可以找
6、两组线面垂直，垂足为三角形的外心，两个、可以找两组线面垂直，垂足为三角形的外心，两个垂线交点即为外接球球心垂线交点即为外接球球心 第17页，本讲稿共27页 典例典例2 2：第18页，本讲稿共27页变题：变题：第19页，本讲稿共27页变题：变题：第20页，本讲稿共27页 典例典例3 3：第21页，本讲稿共27页变题：变题：第22页，本讲稿共27页变题：变题：第23页，本讲稿共27页求棱锥外接球半径常见的补形有：求棱锥外接球半径常见的补形有：正四面体常补成正方体；正四面体常补成正方体；三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体；三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体；三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体；三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体；侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱总结总结第24页，本讲稿共27页反馈训练反馈训练2：第25页，本讲稿共27页反馈训练反馈训练2：第26页，本讲稿共27页反馈训练反馈训练2：【设计意图：巩固棱锥外接球半径的求法】第27页，本讲稿共27页