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1、第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值第1页，本讲稿共41页实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶瓶本地牌子的果汁，本地牌子的果汁，瓶外地牌子的瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？汁可取得最大收益？每天的收益为每天的收益为求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元
2、函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出第2页，本讲稿共41页第3页，本讲稿共41页1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值第4页，本讲稿共41页(1)例例1 1例例例例第5页，本讲稿共41页2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件第6页，本讲稿共41页证证第7页，本讲稿共41页 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点一阶偏导数极值点一阶偏导数问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？注意：注意：第
3、8页，本讲稿共41页第9页，本讲稿共41页驻点驻点:(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)在在(1,0)处处A=120,B=0,C=6在在(1,0)处取得极小值处取得极小值-5在在(1,2)处处A=120,B=0,C=-6在在(1,2)处没有极值处没有极值第10页，本讲稿共41页在在(-3,0)处处A=-12,B=0,C=6在在(-3,0)处没有极值处没有极值在在(-3,2)处处A=-120,B=0,C=-6在在(-3,2)处取得极大值处取得极大值31第11页，本讲稿共41页第12页，本讲稿共41页求最值的一般方法求最值的一般方法：将函数在将函数在D D内的所有驻点处的函数值及在内
4、的所有驻点处的函数值及在D D的边界的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大值，最小者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值第13页，本讲稿共41页解解如图如图,第14页，本讲稿共41页第15页，本讲稿共41页第16页，本讲稿共41页第17页，本讲稿共41页第18页，本讲稿共41页三三.条件极值条件极值方法：拉格朗日乘数法方法：拉格朗日乘数法作拉格朗日函数作拉格朗日函数1.求z
5、=f(x,y)在满足约束条件 下的极值第19页，本讲稿共41页第20页，本讲稿共41页M(x,y,z)第21页，本讲稿共41页M(x,y,z)解解:设设M(x,y,z),则长、宽、高分别则长、宽、高分别为为2x,2y,c-z则则V=4xy(c-z)满足满足第22页，本讲稿共41页所以：长、宽、高分别为所以：长、宽、高分别为a,b,c/2时长方体体积最大时长方体体积最大第23页，本讲稿共41页第24页，本讲稿共41页第25页，本讲稿共41页第26页，本讲稿共41页多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结第27页，本讲稿共41页思考题思考题第28页，本讲稿共41页思考题解答思考题解答第29页，本讲稿共41页练练 习习 题题第30页，本讲稿共41页第31页，本讲稿共41页练习题答案练习题答案第32页，本讲稿共41页