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1、第六节多元函数的极值及其求法本讲稿第一页，共三十七页【实例】【实例】某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1 1元，外元，外地牌子每瓶进价地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖x元，外地元，外地牌子的每瓶卖牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出元，则每天可卖出70 5x+4y瓶本地牌子的果汁瓶本地牌子的果汁，80+6x 7y瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？果汁可取得最大收益？每天的收益为每天的收益为求最大收益即为求求最大
2、收益即为求二元函数的最大值二元函数的最大值.一、问题的提出一、问题的提出进价：进价：1元元售价：售价：x元元进价：进价：1.2元元售价：售价：y 元元收益：收益：x 1元元/瓶瓶收益：收益：y 1.2元元/瓶瓶本讲稿第二页，共三十七页播放播放二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值【实例实例】1 1、【二元函数极值的定义二元函数极值的定义】本讲稿第三页，共三十七页【二元函数极值的定义二元函数极值的定义】【例【例1】椭圆抛物面椭圆抛物面(1)本讲稿第四页，共三十七页(2)(3)【例【例2】【例【例3】圆锥面圆锥面双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）本讲稿第五页，共三十七页2、【多元函
3、数取得极值的条件多元函数取得极值的条件】【证证】本讲稿第六页，共三十七页仿照一元函数，凡能使一阶偏导数仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零同时为零的点，均称为函的点，均称为函数的数的驻点驻点.驻点驻点可偏导函数极值点可偏导函数极值点【问题】【问题】如何判定一个驻点是否为极值点？如何判定一个驻点是否为极值点？【注意】【注意】驻点驻点极值点极值点举例举例本讲稿第七页，共三十七页二元函数极值的判定定理二元函数极值的判定定理本讲稿第八页，共三十七页【解】【解】（此为隐函数的极值问题）（此为隐函数的极值问题）本讲稿第九页，共三十七页本讲稿第十页，共三十七页本讲稿第十一页，共三十七页（1）有界闭区域上的
4、连续函数有界闭区域上的连续函数求最值的一般方法求最值的一般方法 将函数在将函数在D内内的所有驻点处的函数值及在的所有驻点处的函数值及在D的的边界边界上上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值者即为最小值.与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值数的最大值和最小值.3、【二元函数的最值二元函数的最值】分为分为(1)有界闭区域上的连续函数求最值有界闭区域上的连续函数求最值(2)实际问题求最值实际问题求最值本讲稿第十二页，共三十七页【解】【解】如图如图,
5、本讲稿第十三页，共三十七页本讲稿第十四页，共三十七页【解】【解】由由【例【例6】(夹逼准则夹逼准则)本讲稿第十五页，共三十七页（2）实际问题求最值）实际问题求最值实际问题中，若据问题的性质，知道最值一定在实际问题中，若据问题的性质，知道最值一定在D的内的内部取得，而在部取得，而在D内只有一个驻点，则可断定该驻点处的函内只有一个驻点，则可断定该驻点处的函数值就是实际所求的最值数值就是实际所求的最值【例例7】某厂要用铁板做成一个体积为某厂要用铁板做成一个体积为 2 m3 的有盖长方体水箱。问长、的有盖长方体水箱。问长、宽、高各取怎样的尺寸，才能用料最省宽、高各取怎样的尺寸，才能用料最省.【解】【解
6、】水箱用材料面积为水箱用材料面积为即即目标函数目标函数即在定义域内有唯一驻点即在定义域内有唯一驻点本讲稿第十六页，共三十七页 例例8 某公司在生产中使用甲、乙两种原料，已知甲和乙某公司在生产中使用甲、乙两种原料，已知甲和乙两种原料分别使用两种原料分别使用x单位和单位和y单位可生产单位可生产Q单位的产品，且单位的产品，且已知甲原料单价为已知甲原料单价为20元元/单位，乙原料单价为单位，乙原料单价为30元元/单位，单位，产品每单位售价为产品每单位售价为100元，产品固定成本为元，产品固定成本为1000元，求元，求该公司的最大利润。该公司的最大利润。解：设解：设L表示该公司的利润，则表示该公司的利润
7、，则其中其中x 0,y 0。本讲稿第十七页，共三十七页由方程组由方程组求得唯一驻点求得唯一驻点(5,8)。所以所以L(x,y)在在(5,8)处取得极大值处取得极大值L(5,8)=16000，从而，从而是最大值，即该公司的最大利润为是最大值，即该公司的最大利润为16000元。元。无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件并无其他条件.本讲稿第十八页，共三十七页三、条件极值拉格朗日乘数法三、条件极值拉格朗日乘数法实例实例小王有小王有200 元钱，他决定用来购买两种急需的物元钱，他决定用来购买两种急需的物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买品：计算机
8、磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，张磁盘，y盒录音盒录音磁带达到最佳效果，效果函数磁带达到最佳效果，效果函数 ，每张，每张磁盘磁盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最元以达到最佳效果佳效果问题的实质问题的实质求求 在条件在条件 下的极值下的极值(1)【无条件极值无条件极值】对自变量除了限制在定义域内外，并无其对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件。他条件。1、【无条件极值与条件极值】、【无条件极值与条件极值】y盒录音磁带盒录音磁带单价：单价：10元元x张磁盘张磁盘单价：单价：8 8元元(2)【条件极值条件极值】对自变量有附加条件的极值。对自变量
9、有附加条件的极值。本讲稿第十九页，共三十七页条件极值的求法条件极值的求法法法:化为无条件极值化为无条件极值如教材例如教材例5和补例和补例5法法:拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法对三元以上的函数特别有用对三元以上的函数特别有用2、【拉格朗日乘数法】、【拉格朗日乘数法】本讲稿第二十页，共三十七页拉格朗日乘子（乘数）拉格朗日乘子（乘数）【总结【总结拉格朗日乘数法】拉格朗日乘数法】称为拉格称为拉格朗日函数朗日函数本讲稿第二十一页，共三十七页乘数法的推广乘数法的推广（条件与自变量均多于两个的情况）（条件与自变量均多于两个的情况）本讲稿第二十二页，共三十七页【解】【解】则则本讲稿第二十三页，共三十七页 例例1
10、0 设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为x和和y（单（单位：千件），利润函数为位：千件），利润函数为已知生产这两种产品时，每千克产品均需消耗某种原料已知生产这两种产品时，每千克产品均需消耗某种原料2000kg，现有该原料，现有该原料12000kg，问两种产品各生产多少千，问两种产品各生产多少千件时，总利润最大？最大利润为多少？件时，总利润最大？最大利润为多少？解：依题设有约束条件解：依题设有约束条件2000(x+y)=12000,即即x+y=6.所以该问题就是在所以该问题就是在 x+y=6的条件下求利润函数的条件下求利润函数 L(x,y)的的最大值，为此
11、设拉格朗日函数为最大值，为此设拉格朗日函数为本讲稿第二十四页，共三十七页本讲稿第二十五页，共三十七页多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法条件极值条件极值（取得极值的（取得极值的必要必要条件、条件、充分充分条件）条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结四、小结条件极值的求法条件极值的求法法法:化为无条件极值化为无条件极值法法:拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法本讲稿第二十六页，共三十七页【思考题】【思考题】【思考题解答】【思考题解答】本讲稿第二十七页，共三十七页例例1例例2例例3返回返回驻点且是极值点驻点且是极值点极值点但非驻点极值点但非驻点驻点但非极值点驻点但非极值点本讲稿第三十七页，共三十七页