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1、本章整合第二章第二章 点、直线、平面之间的位置关系点、直线、平面之间的位置关系2021/8/8 星期日12021/8/8 星期日2专题一专题二专题三专题四专题五专题一公理的应用1.证明共面问题证明共面问题,一般有两种证法:一是先由某些元素确定一个平面,再证明其余元素在这个平面内;二是分别由不同元素确定若干个平面,再证明这些平面重合.2.证明三点共线问题证明空间三点共线问题,通常证明这些点都在两个面的交线上,即先确定出某两点在某两个平面的交线上,再证明第三个点是两个平面的公共点,则这个点必在两个平面的交线上.3.证明三线共点问题证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,再证明第三条直线经过这点
2、,把问题转化为证明点在直线上的问题.2021/8/8 星期日3专题一专题二专题三专题四专题五应用如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,点G,H分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12.求证:(1)E,F,G,H四点共面;(2)EG与HF的交点在直线AC上.2021/8/8 星期日4专题一专题二专题三专题四专题五证明:(1)因为BGGC=DHHC,所以GHBD.因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EFBD,所以EFGH.故E,F,G,H四点共面.(2)因为G,H不是BC,CD的中点,所以EFGH,且EFGH,故EFHG为梯形.所以EG与FH必相交,设交点为M.因为E
3、G平面ABC,FH平面ACD,所以M平面ABC,且M平面ACD.因为平面ABC平面ACD=AC,所以MAC,即EG与HF的交点在直线AC上.2021/8/8 星期日5专题一专题二专题三专题四专题五专题二空间中点、线、面的位置关系1.空间中直线与直线的位置关系有三种:平行、相交、异面.2.空间中直线与平面的位置关系:2021/8/8 星期日6专题一专题二专题三专题四专题五应用1已知a平面,b平面,=c,则直线a与直线b的位置关系是.答案:平行、相交、异面2021/8/8 星期日7专题一专题二专题三专题四专题五应用2已知直线a与b不平行,且a平面,b平面,试判断平面与平面的位置关系,并证明你的结论
4、.解:平面与平面一定相交,下面用反证法证明:假设平面与不相交,则.因为a,所以a,又b,所以ab,这和a与b不平行矛盾.所以假设不成立,故平面与平面一定相交.2021/8/8 星期日8专题一专题二专题三专题四专题五专题三平行问题1.平行线的传递性公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.2.直线与平面平行的判定与性质:(1)判定:2021/8/8 星期日9专题一专题二专题三专题四专题五2021/8/8 星期日10专题一专题二专题三专题四专题五应用如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形,ABCD,ADDC,CD=2,
5、DD1=AB=1,P,Q分别是CC1,C1D1的中点.求证:AC平面BPQ.2021/8/8 星期日11专题一专题二专题三专题四专题五证明:连接CD1,AD1,因为P,Q分别是CC1,C1D1的中点,所以PQCD1,且CD1平面BPQ,PQ平面BPQ,所以CD1平面BPQ.又D1Q=AB=1,D1QAB,所以四边形ABQD1是平行四边形.所以AD1BQ,且AD1平面BPQ,BQ平面BPQ,所以AD1平面BPQ.又AD1CD1=D1,所以平面ACD1平面BPQ.因为AC平面ACD1,所以AC平面BPQ.2021/8/8 星期日12专题一专题二专题三专题四专题五专题四垂直问题1.如果两条异面直线所
6、成的角为直角,那么我们就说这两条直线互相垂直.2.直线与平面垂直的判定与性质:(1)判定:2021/8/8 星期日13专题一专题二专题三专题四专题五(3)掌握线面垂直的判定方法,特别是线面垂直的判定定理,在无条件的情况下,要创造条件(即作垂线)把线面关系转化为线线关系.3.平面与平面垂直的判定和性质:(1)判定:2021/8/8 星期日14专题一专题二专题三专题四专题五应用如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,SA平面ABCD,且SA=AB,点E为AB的中点,点F为SC的中点.求证:(1)EFCD;(2)平面SCD平面SCE.2021/8/8 星期日15专题一专题二专题三专题四专
7、题五2021/8/8 星期日16专题一专题二专题三专题四专题五因为SA平面ABCD,所以SACD.又因为CDAD,SAAD=A,所以CD平面SAD,所以CDAG,故EFCD.(2)因为SA=AB,AB=AD,G为SD的中点,所以AGSD.又由(1)知AGCD,且CDSD=D,所以AG平面SCD.因为EFAG,所以EF平面SCD.因为EF平面SEC,所以平面SCD平面SCE.2021/8/8 星期日17专题一专题二专题三专题四专题五专题五空间角空间角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角.这些角是对点、直线、平面所组成的空间图形的位置关系进行定性分析和定量计算的重要组成部分,学习时
8、要深刻理解它们的含义,并能综合应用空间各种角的概念和平面几何的知识熟练解题.求异面直线所成的角常用平移法(转化为两条相交直线的夹角).求直线与平面所成的角常需先作出这个线面角,再在三角形中求解.求二面角常需先作出二面角的平面角.作平面角的常用方法有三种:定义法、垂线法、垂面法.总之,求空间角的大小一般都转化为平面角来计算.其计算步骤为:一作二证三计算.2021/8/8 星期日18专题一专题二专题三专题四专题五应用如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(2)求证:平面PDC平面ABCD;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.2021/
9、8/8 星期日19专题一专题二专题三专题四专题五(1)解:在四棱锥P-ABCD中,因为底面ABCD是矩形,所以AD=BC,且ADBC.故PAD为异面直线PA与BC所成的角.又因为ADPD,在RtPDA中,(2)证明:由于底面ABCD是矩形,故ADCD.又因为ADPD,CDPD=D,所以AD平面PDC.而AD平面ABCD,所以平面PDC平面ABCD.2021/8/8 星期日20专题一专题二专题三专题四专题五(3)解:在平面PDC内,过点P作PECD交直线CD于点E,连接EB.由于平面PDC平面ABCD,而直线CD是平面PDC与平面ABCD的交线,故PE平面ABCD.由此得PBE为直线PB与平面A
10、BCD所成的角.2021/8/8 星期日21123451(2016全国高考乙卷)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为()2021/8/8 星期日2212345解析:(方法一)平面CB1D1,平面ABCD平面A1B1C1D1,平面ABCD=m,平面CB1D1平面A1B1C1D1=B1D1,mB1D1.平面CB1D1,平面ABB1A1平面DCC1D1,平面ABB1A1=n,平面CB1D1平面DCC1D1=CD1,nCD1.B1D1,CD1所成的角等于m,n所成的角,即B1D1C等于m,n所成的角.B1D1C
11、为正三角形,B1D1C=60,2021/8/8 星期日2312345(方法二)由题意画出图形如图,将正方体ABCD-A1B1C1D1平移,补形为两个全等的正方体如图,易证平面AEF平面CB1D1,所以平面AEF即为平面,m即为AE,n即为AF,所以AE与AF所成的角即为m与n所成的角.因为AEF是正三角形,所以EAF=60,答案:A2021/8/8 星期日24123452(2016全国高考甲卷),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)
12、解析:对于,若mn,m,n,则,的位置关系无法确定,故错误;对于,因为n,所以过直线n作平面与平面相交于直线c,则nc.因为m,所以mc,所以mn,故正确;对于,由两个平面平行的性质可知正确;对于,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确命题的编号有.答案:2021/8/8 星期日25123453(2016全国高考丙卷)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.2021/8/8 星期日26123452021/8/8 星期日271
13、23452021/8/8 星期日28123454(2016全国高考甲卷)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;2021/8/8 星期日2912345所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2 )2+12=9=DH2,故ODOH.2021/8/8 星期日3012345由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以,OD平面ABC.2021/8/8 星期日31123455(2016全国高考乙卷)如图,已
14、知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.2021/8/8 星期日3212345(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(2)解在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,2021/8/8 星期日33123452021/8/8 星期日342021/8/8 星期日35