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1、第1 章 导 论1振动力学振动力学参考书目：参考书目：1.王伟等振动力学与工程应用王伟等振动力学与工程应用,郑州大学出版社郑州大学出版社,2008 2.胡少伟等结构振动理论及其应胡少伟等结构振动理论及其应用用,中国建筑工业出版社中国建筑工业出版社,2005第1 章 导 论2课程特点与学习方法课程特点与学习方法 课程性质课程性质:力学专业课力学专业课 课课程程特特点点:理理论论繁繁杂杂、工工程程应应用用性性强强;与与多多门学科紧密相关门学科紧密相关 数数学学基基础础:微微积积分分、微微分分方方程程、线线性性代代数数、复复变函数、积分变换、计算方法、级数等变函数、积分变换、计算方法、级数等;力力学
2、学基基础础:理理论论力力学学、分分析析力力学学、材材料料力力学学、弹性力学、结构力学、有限元等。弹性力学、结构力学、有限元等。第1 章 导 论3第第1章章 导导 论论振动的概念振动的概念振动研究的问题及其分类振动研究的问题及其分类振动分析的力学模型振动分析的力学模型振动问题的研究方法振动问题的研究方法第1 章 导 论41.什么是振动什么是振动 振振动动Vibration，就就是是物物体体在在静静平平衡衡位置附近位置附近所作的所作的往复运动往复运动。我我们们只只研研究究物物体体在在静静平平衡衡位位置置附附近近所作的往复微小弹性运动。所作的往复微小弹性运动。1.1 机械振动概述机械振动概述第1 章
3、 导 论52.机械振动现象机械振动现象 机机械械振振动动是是自自然然界界非非常常普普遍遍的的运运动动现现象象，广泛存在于工程技术和日常生活中。广泛存在于工程技术和日常生活中。如如:日日常常生生活活中中，心心脏脏的的跳跳动动、钟钟摆摆的的摆摆动动、琴弦的振动、车箱的晃动、大海波涛桥等等琴弦的振动、车箱的晃动、大海波涛桥等等;工工程程技技术术领领域域，桥桥梁梁与与建建筑筑物物的的振振动动、飞飞行行器器与与船船舶舶的的振振动动、机机床床与与刀刀具具的的振振动动、各各种种动动力力机机械械的的振振动动、以以及及地地震震、风风振振、噪噪声声等等等等，都都是属于机械振动的范畴。是属于机械振动的范畴。第1 章
4、 导 论63.产生振动的原因产生振动的原因 一一是是由由外外界界干干扰扰引引起起，二二是是结结构构本本身身固固有的原因引起。有的原因引起。4.研究振动问题的目的研究振动问题的目的J 工工程程和和日日常常生生活活中中，振振动动现现象象和和振振动动问问题既有有用的一面也有不利的一面。题既有有用的一面也有不利的一面。J 利利用用振振动动原原理理设设计计出出很很多多常常用用的的物物品品和和机机械械结结构构，如如摆摆钟钟、振振动动筛筛、振振动动物物料料传传送带、振动打桩机械等等。送带、振动打桩机械等等。第1 章 导 论7 而而大大多多数数情情况况下下,振振动动会会产产生生不不良良、甚甚至至严严重、灾难性
5、的后果。重、灾难性的后果。L 由由于于振振动动,降降低低了了机机器器的的动动态态精精度度和和其其它它使使用性能用性能;L 由由于于振振动动,机机器器在在使使用用过过程程中中产产生生巨巨大大的的反反复变动的荷载复变动的荷载,导致使用寿命的降低导致使用寿命的降低;L 有有时时候候振振动动甚甚至至酿酿成成灾灾难难性性事事故故,如如大大桥桥因因共共振振而而倒倒塌塌,烟烟囱囱因因风风振振而而倾倾倒倒,飞飞机机因因颤颤振振而坠落等等。而坠落等等。第1 章 导 论85.研究振动问题的总目标研究振动问题的总目标 研研究究振振动动产产生生的的原原因因和和它它的的运运动规律动规律;寻求控制和消除振动的方法寻求控制
6、和消除振动的方法;振振动动检检测测，分分析析事事故故原原因因及及控控制环境噪声制环境噪声;振动技术的应用振动技术的应用第1 章 导 论91.振动问题中的名词概念振动问题中的名词概念 振振动动系系统统：在在振振动动问问题题中中所所研研究究的的对象。如机器或结构物等。对象。如机器或结构物等。激激励励或或输输入入：外外界界对对振振动动系系统统的的作作用或引起机器运动的力。用或引起机器运动的力。激激励励或或输输入入是是随随时时间间变变化化的的，将将引引起振动的发生。起振动的发生。1.2 振动系统及参量振动系统及参量1.3 振动系统的分类及研究方法振动系统的分类及研究方法第1 章 导 论10 确确定定性
7、性激激励励:可可用用时时间间的的确确定定函函数数来来描描述的激励述的激励;随随机机激激励励:不不能能用用时时间间的的确确定定函函数数表表示示的的激激励励。随随机机激激励励具具有有一一定定的的统统计计规规律律性性，可以用随机函数和随机过程描述。可以用随机函数和随机过程描述。响响应应或或输输出出：机机器器或或结结构构在在激激励励作作用用下产生的动态行为。下产生的动态行为。确确定定性性激激励励下下的的响响应应不不一一定定是是确确定定的的，但但随机激励下的响应随机激励下的响应一定一定是随机的。是随机的。第1 章 导 论112.工程振动分析的类别工程振动分析的类别 振振动动分分析析：研研究究振振动动系系
8、统统、激激励励(输输入入)和和响应响应(输出输出)三者三者之间的关系之间的关系。理理论论上上讲讲，只只要要知知道道两两者者就就可可以以确确定定第第三三者者。这这样样，工工程程振振动动分分析析所所要要解解决决的的问问题题可以归纳为下面几类。可以归纳为下面几类。第1 章 导 论12（1）响应分析）响应分析 已已知知系系统统和和输输入入参参数数，求求系系统统响响应应。包包括括位位移移、速速度度、加加速速度度和和力力的的响响应应。这这为为计计算算和和分分析析结结构构的的强强度度、刚刚度度、允允许许的的振动能量水平等提供了依据。振动能量水平等提供了依据。第1 章 导 论13（2）系统设计）系统设计 已已
9、知知振振动动系系统统激激励励(输输入入)和和所所要要满满足足的的动动态态响响应应(输输出出)的的要要求求，设设计计合合理理的的系系统统参参数数。对对机机器器和和结结构构的的设设计计而而言言，这类问题更为重要。这类问题更为重要。通通常常系系统统设设计计要要依依赖赖于于响响应应分分析析，所所以以在在实实际际工工作作中中，响响应应分分析析和和系系统统设设计这两个问题是交替进行的。计这两个问题是交替进行的。第1 章 导 论14（3）系统识别）系统识别 已已知知振振动动系系统统的的激激励励(输输入入)和和响响应应(输输出出)求求系统参数系统参数,以便了解系统的特性。以便了解系统的特性。系系统统识识别别包
10、包括括物物理理参参数数识识别别(确确定定系系统统的的物物理理参参数数:质质量量、刚刚度度、阻阻尼尼等等)和和模模态态参参数数识识别别(确确定或估计系统的固有特性定或估计系统的固有特性:固有频率、振型等固有频率、振型等)。（4）环境预测）环境预测 在在已已知知系系统统响响应应(输输出出)和和系系统统参参数数的的情情况况下下确定系统的输入确定系统的输入,以判别系统的环境特征。以判别系统的环境特征。第1 章 导 论15 对对结结构构进进行行振振动动分分析析，首首先先要要把把所所研研究究的的对对象象以以及及外外界界对对它它的的作作用用和和影影响响简简化化为为理理想想的的力力学学模模型型。这这种种力力学
11、学模模型型不不但但要要简简单单，而而且且在在动动态态特特性性方方面面，应应尽尽可可能能地地与与原原始始结结构等效。构等效。实实际际工工程程结结构构力力学学模模型型的的建建立立,是是振振动动分分析析中中很很关关键键很很难难的的一一步步。本本课课程程只只学学习习一一些基本的概念。些基本的概念。振振动动系系统统的的力力学学基基本本模模型型中中包包括括三三个个基基本本“元件元件”：质量、弹性和阻尼。：质量、弹性和阻尼。3.3.振动分析的力学模型振动分析的力学模型振动分析的力学模型振动分析的力学模型第1 章 导 论16 质质量量:和和理理论论力力学学的的概概念念一一样样，是是物物体体惯惯性大小的度量。在
12、振动模型中简化为刚体性大小的度量。在振动模型中简化为刚体;弹弹簧簧:表表示示振振动动系系统统弹弹性性的的理理想想模模型型。简简化化为为无无质质量量的的线线弹弹性性元元件件，即即弹弹簧簧弹弹性性力力的的大小与弹簧两端点的相对位移成正比大小与弹簧两端点的相对位移成正比;阻阻尼尼:任任何何振振动动在在没没有有外外界界干干扰扰(激激励励)时时都都会会逐逐渐渐消消失失，因因此此，系系统统存存在在一一种种阻阻碍碍振振动动持持续续进进行行的的阻阻力力，这这种种阻阻力力称称为为阻阻尼尼。简简化化为为无无质质量量的的阻阻力力元元件件。阻阻尼尼力力的的分分析析比比弹弹簧簧力的分析要复杂得多。力的分析要复杂得多。第
13、1 章 导 论17 弹弹簧簧表表示示力力与与位位移移的的关关系系;阻阻尼尼表表示示力力与与速速度度的关系的关系;质量表示力与加速度的关系。质量表示力与加速度的关系。4.振动过程的机理分析振动过程的机理分析 任任何何结结构构，之之所所以以能能产产生生振振动动，是是因因为为它它本本身身具有质量和弹性。具有质量和弹性。从从能能量量关关系系看看,质质量量可可以以储储存存动动能能,弹弹性性可可以以储储存存势势能能。当当外外界界对对系系统统作作功功时时,质质量量就就吸吸收收动动能能而而具具有有运运动动速速度度，进进而而发发生生位位移移，使使弹弹性性元元件件储储存存变变形形能能,因因而而就就具具有有使使质质
14、量量恢恢复复原原来来状状态态的的能力。能力。这这样样，能能量量不不断断地地变变换换就就导导致致系系统统质质量量的的反反复运动（振动）。复运动（振动）。第1 章 导 论185.振动系统的分类振动系统的分类（1）按产生振动的输入）按产生振动的输入(激励激励)特性分类特性分类 分为自由振动、强迫振动和自激振动。分为自由振动、强迫振动和自激振动。自自由由振振动动:系系统统受受到到初初始始激激励励作作用用后后，仅仅靠靠其其本本身身的的弹弹性性恢恢复复力力“自自由由地地”振振动动，其其振振动动的的特特性性仅仅决决定定于于系统本身的物理特性系统本身的物理特性(质量和刚度质量和刚度);（如摆钟）（如摆钟）受受
15、迫迫振振动动或或称称强强迫迫振振动动:系系统统受受到到外外界界持持续续的的激激励励作作用用而而“被被迫迫地地”进进行行振振动动，其其振振动动特特性性除除决决定定于于系系统统本身的物理特性外，还决定于激励的特性本身的物理特性外，还决定于激励的特性;工工程程中中的的大大部部分分振振动动都都属属于于此此类类振振动动(振振动动机机械械、转子偏心引起的振动等转子偏心引起的振动等)。第1 章 导 论19 自自激激振振动动：在在系系统统自自身身控控制制的的激激励励作作用用下下发发生生的的振振动动。在在适适当当的的反反馈馈作作用用下下，系系统统会会自自动动地地激激起定幅振动起定幅振动,一旦振动被激起一旦振动被
16、激起,激励也随之消失。激励也随之消失。例例如如：桥桥梁梁受受风风载载作作用用后后激激发发的的振振动动;电电线线在在风载作用线的舞动等。风载作用线的舞动等。（2）按振动的输出特性分类）按振动的输出特性分类 分为简谐振动、非简谐振动和随机振动。分为简谐振动、非简谐振动和随机振动。简简谐谐振振动动与与非非简简谐谐振振动动：是是否否可可以以用用简简单单的的正正弦函数或余弦函数表述其运动规律弦函数或余弦函数表述其运动规律;第1 章 导 论20 随随机机振振动动:不不能能用用简简单单函函数数或或简简单单函函数数的的组组合合来来表表述述其其运运动动规规律律，只只能能用用统统计计的的方方法法来来研研究究其其规
17、规律律的非周期性振动。的非周期性振动。（3）按振动系统的自由度数目分类）按振动系统的自由度数目分类 单自由度、多自由度和弹性体的振动。单自由度、多自由度和弹性体的振动。（4）按振动微分方程或系统的结构参数特性分类）按振动微分方程或系统的结构参数特性分类 线线性性振振动动:振振动动系系统统的的惯惯性性力力、阻阻尼尼力力、弹弹性性恢恢复复力力分分别别与与加加速速度度、速速度度、位位移移成成线线牲牲关关系系，能能够够用用常系数线性微分方程表述的振动常系数线性微分方程表述的振动;非非线线性性振振动动:振振动动系系统统的的阻阻尼尼力力或或弹弹性性恢恢复复力力具具有有非线性性质非线性性质,只能用非线性微分
18、方程来表述。只能用非线性微分方程来表述。第1 章 导 论21（5）按振动的周期性分类）按振动的周期性分类 周期振动系统、非周期振动周期振动系统、非周期振动(瞬态振动瞬态振动)系统。系统。简简谐谐振振动动属属于于周周期期性性振振动动,非非简简谐谐振振动动也也可可能能是周期性振动。是周期性振动。6.振动问题的研究方法振动问题的研究方法 解解决决振振动动问问题题的的方方法法有有理理论论分分析析、数数值值模模拟拟与与计算、实验研究等。计算、实验研究等。本本课课程程主主要要学学习习振振动动的的基基本本理理论论与与分分析析方方法法，为为进进一一步步解解决决实实际际振振动动问问题题和和开开展展研研究究工工作
19、作打打下下良好的基础。良好的基础。第2章 单自由度系统自由振动22第第2章章 单自由度系统单自由度系统自由振动自由振动第2章 单自由度系统自由振动23单单自自由由度度系系统统:可可以以用用一一个个独独立立坐坐标标来来确确定系统的位置及其运动规律的振动系统定系统的位置及其运动规律的振动系统;单单自自由由度度线线性性系系统统的的振振动动是是最最简简单单的的振振动动系统系统;许许多多实实际际问问题题可可以以足足够够精精确确地地简简化化为为单单自自由度振动系统由度振动系统;单单自自由由度度振振动动系系统统的的一一些些概概念念、特特征征和和研研究方法，是研究复杂振动系统的基础。究方法，是研究复杂振动系统
20、的基础。2.1 引引 言言第2章 单自由度系统自由振动24 根据振动系统结构形式的不同，建根据振动系统结构形式的不同，建立振动微分方程的方法也不同，主要采立振动微分方程的方法也不同，主要采用牛顿定律、动力学基本定理（动量定用牛顿定律、动力学基本定理（动量定理、动能定理、动量矩定理）以及拉格理、动能定理、动量矩定理）以及拉格朗日方程等。朗日方程等。振动微分方程振动微分方程(P6-20)2.2 自由振动系统自由振动系统2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动25m-k系统的自由振动系统的自由振动(P6)m-k系系统统虽虽然然非非常常简简单单，但但
21、却却是是许许多多实实际际结结构构振振动动问问题题的力学模型。的力学模型。已已知知质质量量为为m，弹弹簧簧的的刚刚度度系系数数为为k。取取质质量量的的静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点,当当重重物物偏偏离离 x 时时,利利用用牛牛顿顿定定律律可可得得到到运运动微分方程：动微分方程：2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动26 扭转振动扭转振动(P9)圆圆盘盘在在轴轴的的弹弹性性恢恢复复力力矩矩作作用用下下在在平平衡衡位位置置附附近近作作扭扭转转振振动动。设设q q为为圆圆盘盘相相对对静静平平衡衡位位置置转转过过的的角角度度,J为为圆圆盘盘
22、对对轴轴的的转转动动惯惯量量,kt为为使使轴轴产产生生单单位位转转角角所所需需施施加加的的扭扭矩矩(即轴的扭转刚度即轴的扭转刚度)。则。则2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动27复摆复摆(P12)设设物物体体对对悬悬挂挂点点O的的转转动动惯惯量量为为JO，利利用用定定轴轴转转动动微微分分方方程程可可得得到到用用转转角角f f 表表示示的的转转动动微微分方程分方程:2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动28纯滚动圆盘纯滚动圆盘(P15)已已知知m、r、R，利利用用功功率率方方程程(动动能
23、能定定理理)或或拉拉格格郎郎日日方方程程可可得得到到用用角角度度f f表表示示的的运运动动微微分方程分方程:2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动29梁的横向振动梁的横向振动 质质量量为为m的的重重物物放放在在简简支支梁梁的的中中部部，不不计计梁梁的的质质量量。设设梁梁长长为为l，材材料料的的弹弹性性模模量量为为E，截截面面惯惯性矩为性矩为I。则利用材料力学的概念可得到：。则利用材料力学的概念可得到：2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统d dst第2章 单自由度系统自由振动30振动微分方程的统一形式振动微分方程的
24、统一形式 比较前面几种不同系统的振动微分方程比较前面几种不同系统的振动微分方程2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动31可以写成统一的数学形式可以写成统一的数学形式 meq和和keq分分别别称称为为等等效效质质量量和和等等效效刚刚度度，x为为广广义义坐坐标标。为为方方便便起起见见，以以后后将将等等效效质质量量和和等等效效刚刚度度直直接接写写为为m和和k。则方程变为：则方程变为：因此只讨论此方程的解即可。因此只讨论此方程的解即可。2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动321.方程的解方程的
25、解 设设 振动微分方程的解振动微分方程的解(P6)则方程变为则方程变为 通解为通解为 或或 2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动33 设系统的初始条件为：设系统的初始条件为：t0时，时，xx0，则可确定上述解中的常数为：则可确定上述解中的常数为：2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动342.概念与名词概念与名词(P6-7)一一阶阶线线性性振振动动微微分分方方程程的的解解是是时时间间 t 的的简谐函数，因此这种振动为简谐振动。简谐函数，因此这种振动为简谐振动。方方程程的的解解中中w wn
26、只只决决定定于于系系统统本本身身的的参参数数m和和k，而而与与系系统统的的初初始始条条件件无无关关，是是系系统统本本身身所所固固有有的的特特性性，所所以以称称为为固固有有频频率率，或或称称圆频率或角频率。圆频率或角频率。方方程程解解中中的的A称称为为振振幅幅，是是质质量量偏偏离离静静平平衡位置的最大距离衡位置的最大距离;f f称为初相位。称为初相位。2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动35 从从方方程程的的解解中中还还可可以以看看出出，系系统统属属于于周周期振动，振动的周期为期振动，振动的周期为 周周期期是是系系统统振振动动一一次次所所需
27、需要要的的时时间间，单单位位为秒（为秒（s）。）。周周期期的的倒倒数数称称为为频频率率，是是系系统统每每秒秒钟钟振振动动的次数的次数,单位为单位为1/秒秒(1/s)或赫兹或赫兹(Hz)。记作。记作 f2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动36 固固有有频频率率w wn和和频频率率 f 只只相相差差常常数数2p p，因因此此经经常常通通称称为为固固有有频频率率。是是振振动动分分析析中中极极其重要的参数。其重要的参数。显然显然2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统 因因此此w wn的的物物理理意意义义是是在在2p p时
28、时间间内内振振动动的的次数，单位为弧度次数，单位为弧度/秒秒(rad/s)。圆圆有有频频率率、振振幅幅和和初初相相位位是是简简谐谐振振动动的的三个重要特征量。三个重要特征量。第2章 单自由度系统自由振动371.直接计算法直接计算法 即直接利用固有频率的公式进行计算。即直接利用固有频率的公式进行计算。求求出出振振动动系系统统微微分分方方程程后后，利利用用等等效效刚刚度和等效质量，即可求出固有频率：度和等效质量，即可求出固有频率：固有频率的计算固有频率的计算2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动382.静位移方法静位移方法(P7)m-k系系统统
29、是是所所有有一一阶阶线线性性微微振振动动系系统统的的模模型型，利利用用此此模模型得出的结论具有一般性。型得出的结论具有一般性。质质量量在在静静平平衡衡位位置置时时弹弹簧簧的位移为的位移为则固有频率为则固有频率为2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统d dst第2章 单自由度系统自由振动39复摆系统的固有频率复摆系统的固有频率 用用转转角角f f 表表示示的的转转动动微微分分方程方程:mg则固有频率则固有频率:2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动40纯滚动圆盘系统纯滚动圆盘系统 用用角角度度f f表表示示的的运运动
30、动微分方程微分方程:则固有频率则固有频率:2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动41扭转振动系统扭转振动系统 转动方程为转动方程为则固有频率则固有频率:2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统第2章 单自由度系统自由振动42梁的横向振动系统梁的横向振动系统 利用振动方程利用振动方程固有频率固有频率:或利用材料力学公式计算出静位移或利用材料力学公式计算出静位移:固有频率固有频率:2.2 2.2 自由振动系统自由振动系统自由振动系统自由振动系统d dst第2章 单自由度系统自由振动43 对对无无阻阻尼尼自自由由振振动动系
31、系统统，能能量量（机机械械能能）是是守守恒恒的的。设设系系统统的的动动能能和和势势能能分分别用别用 T 和和 V 表示，则能量方程为表示，则能量方程为 T+V常数常数或或2.3 能量法能量法2.3 2.3 能量法能量法能量法能量法第2章 单自由度系统自由振动44 系系统统在在静静平平衡衡位位置置的的速速度度最最大大，动动能能也也最最大大，势势能能取取为为0位位置置;在在质质量量偏偏离离静静平平衡衡位位置置最最大大时时，速速度度为为0，动动能能也也为为0，而而势势能达到最大，利用能量守恒关系得到能达到最大，利用能量守恒关系得到 TmaxVmax 同时还有下面的关系同时还有下面的关系 利用上面两式
32、可以直接求固有频率。利用上面两式可以直接求固有频率。2.3 2.3 能量法能量法能量法能量法第2章 单自由度系统自由振动45 例例 利利用用能能量量法法求求纯纯滚滚动动圆圆盘盘系系统统作作微微幅振动的固有频率。幅振动的固有频率。2.3 2.3 能量法能量法能量法能量法第2章 单自由度系统自由振动46 一一般般不不考考虑虑弹弹性性元元件件的的质质量量对对振振动动系系统统的的影影响响，当当这这些些质质量量不不可可忽忽略略的的时时候候，“瑞瑞利利法法”的的思思想想是是：将将这这些些弹弹性性元元件件所所具具有有的的多多个个集集中中质质量量或或分分布布质质量量简简化化到到系系统统的的集集中中质质量量上上
33、去去，从而变成典型的单自由度振动系统。从而变成典型的单自由度振动系统。遵遵循循的的原原则则是是：简简化化后后系系统统的的动动能能与与原原系系统统的的动动能能相相等等，但但并并不不考考虑虑重重力力势势能能的的影影响响。这种简化只是一种近似方法，但误差不大。这种简化只是一种近似方法，但误差不大。2.4 2.4 瑞利法瑞利法瑞利法瑞利法2.4 瑞利法瑞利法第2章 单自由度系统自由振动47 P17例例2-4-1 质质量量-弹弹簧簧系系统统，集集中中质质量量为为m，弹弹簧簧长长度度为为l，刚刚度度为为k，质质量量为为m1，求求考考虑虑弹弹簧簧质质量量影影响响时时的的固固有有频频率。率。2.4 2.4 瑞
34、利法瑞利法瑞利法瑞利法d dstlsds第2章 单自由度系统自由振动48题题2.13(a)求图示系统的固有频率。求图示系统的固有频率。（与（与P15例例2-3-1对比）对比）举举举举 例例例例单单单单 自自自自 由由由由 度度度度 自自自自 由由由由 振振振振 动动动动 举举举举 例例例例 用用定定轴轴转转动动微微分方程，能量法分方程，能量法第2章 单自由度系统自由振动49 题题2.15 求求图图示示系系统统微微幅幅振振动动的的微微分分方程（方程（m2视为均质圆盘）。视为均质圆盘）。作业：作业：T2.1，4，13举举举举 例例例例单单单单 自自自自 由由由由 度度度度 自自自自 由由由由 振振
35、振振 动动动动 举举举举 例例例例用能量法用能量法第2章 单自由度系统自由振动50 无无阻阻尼尼系系统统振振动动过过程程中中能能量量守守恒恒，振振幅幅保保持持不不变变。而而实实际际情情况况并并非非如如此此，必必须须考考虑虑阻阻力力对振动过程的影响。对振动过程的影响。实实际际阻阻力力的的形形式式很很多多，有有滑滑动动摩摩擦擦表表面面的的阻阻力力、空空气气或或流流体体阻阻力力、弹弹性性材材料料的的内内摩摩擦擦阻阻力等，因此阻力的大小变化规律也各不相同。力等，因此阻力的大小变化规律也各不相同。阻阻力力大大小小与与速速度度成成正正比比的的阻阻尼尼称称为为粘粘性性阻阻尼或线性阻尼。这是最简单的情况。尼或
36、线性阻尼。这是最简单的情况。2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动511.振动微分方程及其解（振动微分方程及其解（P21）以以静静平平衡衡位位置置为为坐坐标标原原点点建建立立坐坐标标系系，可可得得系统的运动微分方程系统的运动微分方程 其其中中c为为粘粘性性阻阻尼尼的的比比例例常常数，称为粘性阻尼系数。数，称为粘性阻尼系数。mgFkFc2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由
37、度系统自由振动52令阻尼比为令阻尼比为则方程可写为则方程可写为令其解为令其解为代入方程得到代入方程得到此特征方程的两个根是此特征方程的两个根是2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动53 不不同同的的阻阻尼尼比比x x，对对应应的的解解的的形形式式不不同同，运动性质也不同。运动性质也不同。2.解及运动形式的讨论（解及运动形式的讨论（P22-26）（1）x x1（大阻尼情况）（大阻尼情况）此时特征方程有两个不同的实根，通解为此时特征方程有两个不同的实根，通解为2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性
38、阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动54给出初始条件：给出初始条件：t0时时则可确定系数则可确定系数B和和D2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动55 这这种种情情况况对对应应的的运运动动是是一一种种衰衰减减运运动动，但但不不是是我我们们所所关关心心的的振振动动形形式式。设设x00，v00，则则运动图形大致如下。运动图形大致如下。2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统
39、自由振动56（2）x x1（临界阻尼情况）（临界阻尼情况）此时特征方程有重根，通解为此时特征方程有重根，通解为利用初始条件确定常数为利用初始条件确定常数为 此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为此时的阻尼系数称为临界阻尼系数，记为cc2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动57 临临界界阻阻尼尼情情况况也也是是一一种种非非振振动动形形式式的的衰衰减减运运动，按不同的初始条件其运动图形如下。动，按不同的初始条件其运动图形如下。2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统
40、具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动58（3）0 x x 1（小阻尼情况）（小阻尼情况）此时特征方程有一对共轭复根，通解为此时特征方程有一对共轭复根，通解为或写为或写为利用初始条件确定出常数利用初始条件确定出常数2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动59 解解中中有有两两个个因因子子，一一个个是是衰衰减减的的指指数数函函数数 ,它它将将使使振振幅幅越越来来越越小小，直直至至振振动最终消失动最终消失;2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性
41、阻尼的振动系统 另另一一个个是是正正弦弦函函数数 ，它表示系统以相同的周期通过平衡位置。它表示系统以相同的周期通过平衡位置。因因此此系系统统呈呈现现为为一一种种衰衰减减形形式式的的等等周周期期振动形式。振动形式。第2章 单自由度系统自由振动602.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动61 单单自自由由度度粘粘性性阻阻尼尼系系统统在在小小阻阻尼尼情情况况下下的的衰衰减减振振动动是是我我们们最最为为关关心心的的振振动动形形式式。这种衰减振动具有下列特性：这种衰减振动具有下列特性：（1）振幅衰减振幅衰减 由由
42、前前面面的的解解可可以以看看出出，振振幅幅不不再再是是常常量量，而是以几何级数而是以几何级数 快速衰减快速衰减;（2）等时性）等时性 系统仍以相同的周期通过平衡位置系统仍以相同的周期通过平衡位置;2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动62（3）振动频率变小，周期变长振动频率变小，周期变长 此时系统振动的频率和周期为：此时系统振动的频率和周期为：因因此此：衰衰减减振振动动的的固固有有频频率率比比无无阻阻尼尼系系统统的的固固有有频频率率小小，振振动动周周期期变变大大，但但影影响响不不大大，特特别别是是当当
43、阻阻尼尼很很小小（x x1）时时，可可以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。2.5 2.5 具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统具有黏性阻尼的振动系统第2章 单自由度系统自由振动63 振振幅幅衰衰减减的的快快慢慢程程度度可可用用相相邻邻振振幅幅的的比比值值来来表表示示，称称为为衰衰减减率率或或减减幅幅率率或或减减缩缩率率；也也可可以以用用衰衰减减率率的的自自然然对对数数来来表示，称为对数衰减率。表示，称为对数衰减率。2.6 2.6 对数衰减率对数衰减率对数衰减率对数衰减率2.6 对数衰减率对数衰减率第2章 单自由度系统自由振动64利用
44、前面给出的解利用前面给出的解可得到衰减率为可得到衰减率为对数衰减率为对数衰减率为2.6 2.6 对数衰减率对数衰减率对数衰减率对数衰减率第2章 单自由度系统自由振动65 若若用用X0表表示示系系统统最最初初的的振振幅幅，经经过过n次次循循环环后的振幅为后的振幅为Xn，则对数衰减率又可以表示为，则对数衰减率又可以表示为证明：证明：相乘得相乘得则则即即2.6 2.6 对数衰减率对数衰减率对数衰减率对数衰减率第2章 单自由度系统自由振动661.4 1.4 衰减振动和对数衰减率衰减振动和对数衰减率衰减振动和对数衰减率衰减振动和对数衰减率 题题2-16 求求图图示示系系统统振振动动的的微微分分方方程程和
45、和固固有频率（不计杆的质量，有频率（不计杆的质量，c为黏性阻尼）。为黏性阻尼）。第2章 单自由度系统自由振动671.4 1.4 衰减振动和对数衰减率衰减振动和对数衰减率衰减振动和对数衰减率衰减振动和对数衰减率 题题2-18 图图示示系系统统，在在空空气气中中振振动动周周期期为为T1，在在液液体体中中振振动动周周期期为为T2。试试证证明明液液体的粘性阻尼系数为体的粘性阻尼系数为作业：作业：T2-8、17第2章 单自由度系统自由振动68小小小小 结结结结3.无阻尼自由振动方程的解无阻尼自由振动方程的解方程方程或或通解为通解为 或或 第2章 单自由度系统自由振动69小小小小 结结结结1.名词与概念名
46、词与概念 固固有有频频率率,振振幅幅,周周期期,相相位位角角；线线性性阻阻尼尼系系数数,临临界界阻阻尼尼系系数数，阻阻尼尼比比；衰衰减减率与对数衰减率；等效质量率与对数衰减率；等效质量,等效刚度。等效刚度。2.建立振动微分方程的方法建立振动微分方程的方法 牛牛顿顿定定律律、动动能能定定理理（功功率率方方程程、机机械能守恒）、定轴转动微分方程等。械能守恒）、定轴转动微分方程等。本 章 小 结第2章 单自由度系统自由振动70小小小小 结结结结（2）静位移法）静位移法 4.固有频率的确定固有频率的确定（1）按定义直接计算）按定义直接计算（3）能量法）能量法（无阻尼自由振动系统）（无阻尼自由振动系统）
47、以及以及第2章 单自由度系统自由振动71小小小小 结结结结5.考虑弹性元件质量时的等效质量考虑弹性元件质量时的等效质量 将将这这些些弹弹性性元元件件所所具具有有的的多多个个集集中中质质量量或或分分布布质质量量简简化化到到系系统统的的集集中中质质量量上上去去，简简化化后后系系统统的的动动能能与与原原系系统统的的动动能相等。能相等。第2章 单自由度系统自由振动72小小小小 结结结结或或第2章 单自由度系统自由振动73小小小小 结结结结6.黏滞阻尼自由振动系统的解黏滞阻尼自由振动系统的解（1）方程）方程或或阻尼比阻尼比（2）小阻尼解）小阻尼解第2章 单自由度系统自由振动74小小小小 结结结结（3）临
48、界阻尼系数（）临界阻尼系数（z z1时）时）（4）衰减振动频率与周期）衰减振动频率与周期（5）对数衰减率）对数衰减率第2章 单自由度系统自由振动75小小小小 结结结结教材例题与习题：教材例题与习题：习题习题 2-1，3，4，8，9，1113，1518第2章 单自由度系统自由振动76第第3章章 单自由度系单自由度系统强迫振动统强迫振动第2章 单自由度系统自由振动77 系系统统在在外外部部激激励励作作用用下下的的振振动动称称为为受迫振动或强迫振动。受迫振动或强迫振动。自自由由振振动动只只是是系系统统对对初初始始扰扰动动(初初始始条条件件)的的响响应应。由由于于阻阻尼尼的的存存在在,振振动动现象很快
49、就会消失。现象很快就会消失。要要使使振振动动持持续续进进行行，必必须须有有外外界界激激励输入给系统以补充阻尼消耗的能量。励输入给系统以补充阻尼消耗的能量。第2章 单自由度系统自由振动78所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。3.1 单自由度系统在谐和单自由度系统在谐和激振下的强迫振动激振下的强迫振动3.1 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动 设设激激励励为为F(t)=F0sinw wt，这这里里w w为为激激振振频频率率，利利用用牛牛顿顿定律并引入阻尼比定律并
50、引入阻尼比x x可得到可得到第2章 单自由度系统自由振动79齐次方程的通解上章已经给出。设其特解为齐次方程的通解上章已经给出。设其特解为:代入方程确定系数代入方程确定系数X0和和f f为：为：其中：其中：为频率比。为频率比。3.1 3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动单自由度系统在谐和激振下的强迫振动3.1.1 3.1.1 非齐次方程的特解（非齐次方程的特解（非齐次方程的特解（非齐次方程的特解（P33-34P33-34）第2章 单自由度系统自由振动80稳态响应分析稳态响应分析稳态响应分析稳态响应分析(P34-39)(P3