2022年初中数学相关定理及证明.docx-淘文阁

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 高中数学相关定理、公式及结论证明一、三角函数部分1. 正弦定理证明内容：在ABC 中,a ,b,c分别为角A,B ,C的对边,就aAbBcC.sinsinsin证明： 1. 利用三角形的高证明正弦定理（1）当ABC是锐角三角形时,设边AB上的高是 CD,A A b b C a C B 立. 依据锐角三角函数的定义,有CDbsinACD asinB ；由此,得aAbB ,同理可得cCbB,sinsinsinsinD a 故有aAbBcC . sinsinsin从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当ABC是钝角三角形时,过点C作 AB边上的

2、高,交 AB的延长线于点 D,依据锐角三角函数的定义,有CD asinCBD asinABC,CDbsinA；B D 由此,得aAsinbABC,同理可得cCsinbABCsinsin故有aAsinbABCcC . sinsin（3）在RtABC中,sinAa,sinBb,ccaAbBc,sinsinC90,sinC1 .aAbBcC.sinsinsin由12 （3）可知,在ABC中,aAbBcC成sinsinsin2. 外接圆证明正弦定理在 ABC中, 已知 BC=a,AC=b,AB=c,作 ABC的外接圆 , O为圆心 , 连结 BO并延长交圆于 B, 设 BB=2R.就依据直径所对的

3、圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到BAB=90 , C =B,1 _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - sin C=sin B=sinCsinBc. 2Rc2R.2R ,bB2 R. aAbBcC2R.sinC同理 , 可得asinAsinsinsinsin3. 向量法证明正弦定理OCACcosA90 bsinAbBOCBCsinBasinBasinBbsinAcabsinAsinB同理sinCsin故有aAbBcC . sinsinsin2. 余弦定理证明内容：在ABC 中,a,b,c分别为角A ,B,

4、C的对边,b2c22 bccosA就a2b2c22 bccosAa2b2a2c22 accosBc2a2b22 abcos C证明：如图在ABC中,a2a2BC2ACAB ACAB 22AC2ACABAB22AC2ACABcosAABb2c22 bccosA同理可证：a2b2c22 bccosA所以2 ba2c22 accos Bc2a2b22abcosC22c2ab2 abcos C3. 两角和（差）的余弦公式证明如图在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,sin）就：OPOQOPOQcoscos2 _精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 10 页_归纳总结汇总_ -

5、- - - - - - - - OPOQcoscossinsincos cos cos sin sin在单位圆中设 P（cos ,sin）,Q（cos ,-sin）就：OP OQ OP OQ cos cos OP OQ cos cos sin sincos cos cos sin sin（或） cos cos 4. 两角和（差）的正弦公式证明二、两角和（差）的正弦公式证明；内容：sinsincoscossin,sinsincoscossin证明：sincos2cos2cos2cossin2sinsinsin2coscossin2cos2cossin2sincoscossincoscossin5

6、两角和（差）的正切公式证明内容：tantantan,tantantan1tantan1tantan证明：tansinsincoscossinsincoscossintantancoscoscoscoscoscoscossinsincoscossinsin1tantancoscoscoscossincoscossintansinsincoscossincoscoscoscostantancoscoscossinsincoscossinsin1tantancoscoscoscos3 _精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - -

7、 6半角公式证明内容：sin21cos,cos21cos,tan21cos2sin1cos221cos1cos2sin证明：由二倍角公式cos212sin21cos22cos2,cos21cos用代替 2,得cos12sin22,得sin21coscos22 cos2221tan2sin2sin22cos22sin,tan2sin2sin22sin21coscoscos2cos1coscos2sincos22sin222227. 诱导公式x公式：sin）-sincos）cosytan）tan如图：Px,y设的终边与单位圆（半径为单位长度1 的园）交MO于点 Px,y ,就角 -的终边与单位圆的

8、交点必为P x ,-y 由正弦函数、余弦函数的定义,即可得Px,-y4-5-2sin=y, cos=x, sin-=-y, cos-=x, 所以： sin-= -sin, cos-= cos 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-诱导公式；公式：sin）-sincos）-cosytan）tan与角的正弦值（或余弦值）它刻画了角 180o+之间的关系,这个关系是：以角终边的反向延长线Px,y180MPx-x,-y第 4 页,共 10 页为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或MO圆交于点 P x ,y ,就角终边的反向延长线,即4 4-5-1_精品资料_ - - - - - - -_归纳

9、总结汇总_ - - - - - - - - - 180o+角的终边与单位圆的交点必为P -x ,-y （如图 4-5-1 ）由正弦函数、余弦函数的定义,即可得sin=y,cos=x, sin180o+=-y, cos180o+=-x, 所以 :sin180o+=-sin,cos180 o+=-cos由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式；相应诱导公式公式一：设为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k +）=sin kz cos（2k +） =cos kz tan（ 2k +）=tan k z 公式二： sin（ +） = sin cos（ +）= cos tan（

10、+）=tan公式三： sin（） = sin 公式四：利用公式二和公式三可以得到- 与的三角函数值之间的关系：sin（） =sin cos（） =cos tan（） = tan 公式五：利用公式一和公式三可以得到 2- 与的三角函数值之间的关系：sin（ 2 ） =sin cos（ 2 ） =cos tan（2）=tan 公式六： /2 与的三角函数值之间的关系：sin（ /2+） =cos cos（ /2+）=sin tan（ /2+） = cot sin（ /2）=cos cos（ /2）=sin tan（ /2 ）=cot 二. 数列部分1等差数列前 n 项和公式证明内容：

11、an是等差数列,公差为 d ,首项为a ,S 为其 n前项和,就Sna 1nnn1 dn a 12an2证明：由题意,S na 1a 1da12d.a1n1 dan反过来可写为：Snanandan2d.ann1d+得： 2Sna 1na 1n .a 1nn 个所以,Snna12an,把a na 1n1 d代入中,得Sna1nnn1dna 1222等比数列前 n 项和公式证明5 _精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - na1,q1 内容：an是等比数列,公比为 q ,首项为a , n S 为其 n 前项和,就S =a

12、1anqa 1 1qn,q1 证明：S na 1a 1qa 1q2.a 1qn11q1qqS na1qa1q2a 1q3.a 1qn得：1qS na1a1 qn,当q1时,Sna11a 1qna 1 1qn所以,q1q把ana 1qn1代入中,得Sna 1anq1q当q1时；很明显Snna1na 1,q1 S =a 1anqa 11qn,q11q1q三. 立体几何部分1. 三垂线定理及其逆定理内容：在平面内的一条直线,假如和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直；证明：已知：如图（ 9）,直线 l 与平面相交与点 A, l 在上的射影 OA垂直于a,a求证： l

13、a证明：过 P作 PO垂直于POPO a 又 a OA ,POOA=O a 平面 POA a l2. 求证：假如一条直线与一个平面平行线平行 . 6 , 那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 如下列图已知a,a 在平面,=b,求证： ab.a和,也没有公共点,证明a,a和没有公共点又b在内 ,a和b也没有公共点而a和b都在内,bab.3. 求证：假如两个平行平面同时与第三个平面相交如下列图已知 , a ,b .求证： a b.证明：a 和分别在平面 b、内且

14、,a 和不相交,b又 a 和都在平面 b 内,a b ., 那么它们的交线平行 . 4. 求证：假如两个平面相互垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 如下列图已知,=MN,AB在内,ABMN于B点；求证：AB.证明：在平面内做直线BCMN,就ABC是二面角-MN-的平面角, AB,ABC =90,BC又ABMN,AB5. 求证：假如两条直线同垂直于一个平面如下列图已知 a,b, 垂足分别为A、B.求证： ab.证明：假设 a和b不平行,过B点作 a的平行线b, 那么这两条直线平行 . 由异面直线垂直定义,b 与平面内过点 A 的任意直线都垂直,也即有 b,

15、 b b B , 故直线 b 与b与确定一个平面,记,= , 在平面内,过 B 点有且仅有一条直线垂直于 ,故直线 b 与 b重合,所以 a b.7 _精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 四、解析几何部分1.点到直线距离公式证明内容：已知直线l:AxByC0,直线外一点Mx0y0.就其到直线 l 的距离为dAx0A2By 02C；B向量法证明 1：设直线l:AxByC,0直线外一点Mx0y0.直线上一点Px,y .可得直线的Ax 0By 02C|一个方向向量为vB,A ,设其法向

17、0|AB2A2B证明 3：依据定义,点 P 到直线 l 的距离是点 P 到直线 l 的垂线段的长,如图1,设点 P到直线 l 的垂线为l ,垂足为 Q,由ll 可知l 的斜率为BAl 的方程：yy 0Bxx 0与 l 联立方程组A解得交点Q2 B x 0ABy 0AC,2 A y 0AABx 0BC2 AB22B28 _精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - |PQ2 |2 B x 0ABy0ACx 02A2 A y0AABx0BCy 02PQ|Ax0By 02C|A2B22B22 A x 0ABy0AC22 B y

18、02ABx 0BC22 AB2 AB2B2A2Ax0By02C2B2Ax0By02C2Ax02 ABy02C2A2B2A2B2B五、平面对量部分 1. 平行向量定理内容：如两个向量（与坐标轴不平行）平行,就它们相应的坐标成比例；如两个向量相对应的坐标成比例,就两向量平行；证明：设a,b是非零向量,且ax 1,y 1,bx 2,y 2xx 1iy 1jx 2iy2jx 2iy2j.如a /b,就存在实数使ab,且由平面对量基本定理可知x 1x2,y1y2y2x 得：x 1y22y10如y1,0y20（即向量a,b不与坐标轴平行）就x 1x2y 1y22. 平面对量基本定理内容：假如e 1,e

19、 2是同一平面内的两个不共线的向量,那么对于这一平面内的任意一向量a ,存在唯独一对实数1,2,使得a1e 12e 2.a,过点 C分别作直A于点 N,有且只证明：如图过平面内一点O,作OAe 1,OBe 2,OC线 OA和直线 OB的平行线,交OA于点 M,交 OBe2B有一组实数,使NC得OM1OA ,ON2OBOCOMONaMe1OC1OA2OBO即a1e 12e 2.3. 共线向量定理内容：如图 A,B,C 为平面内的三点,且A,B 不重合,点 P 为平AC面内任一点,如 C在直线 AB上,就有PCPA 1PB9 B_精品资料_ P第 9 页,共 10 页- - - - - -

20、-_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 证明：由题意, BC 与 BA 共线,BCBABCPCPB,BAPAPBPCPBPAPBPB化简为：PCPA 1六、柯西不等式如 a、b、c、d 为实数,就a22b2c2d2acbd2或|acbd|a2b22 c2 cd2d2acbd2证法：（综合法）a2b2cd22 a c22 a d22 2b c2 b d2d . acbd2adbc2acbd2. 证法：（向量法）设向量m , a b ,n , c d ,就|m|a2b ,|n|mnacbd ,且m n|m| |n| cosm n,就 |m n| |m| |n . a2b2c2七、函数和导数部分换底公式证明内容：logbNNlogaNN,a,b;0a ,b1 ,NaXlogbaaY证明：设logaabY,就bX,loglogbNlogaYaXXlogaaXlogaNlogabYY10 _精品资料_ - - - - - - -第 10 页,共 10 页

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