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1、1 高中数学相关定理、公式及结论证明一、三角函数部分1. 正弦定理证明内容：在ABC中，cba,分别为角CBA,的对边，则.sinsinsinCcBbAa证明： 1. 利用三角形的高证明正弦定理（1）当ABC 是锐角三角形时，设边AB上的高是 CD ，根据锐角三角函数的定义，有sinCDbAsinCD aB。由此，得sinsinabAB，同理可得sinsincbCB，故有sinsinabABsincC. 从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当ABC 是钝角三角形时，过点C作 AB边上的高，交 AB的延长线于点 D，根据锐角三角函数的定义，有sinsinCD aCBD aABC，sinCDb
2、A。由此，得sinsinabAABC，同理可得sinsincbCABC故有sinsinabAABCsincC. （3）在ABCRt中，,sin,sincbBcaAcBbAasinsin，.1sin,90CC.sinsinsinCcBbAa由(1)(2) （3）可知，在ABC 中，sinsinabABsincC成立. 2. 外接圆证明正弦定理在ABC 中, 已知 BC=a,AC=b,AB=c, 作ABC 的外接圆 , O为圆心, 连结 BO并延长交圆于 B, 设 BB =2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到BAB =90， C =B，a b D A B C A B
3、C D b a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 sin C =sin B=RcBC2sinsin. RCc2sin.同理, 可得RBbRAa2sin,2sin. RCcBbAa2sinsinsin.3. 向量法证明正弦定理cos(90 )sinOCACAbAouu uu ruu u rsinsinOCBCBaBuu uu ruu u rsinsinaBbAsinsinabAB同理sinsincbCB故有sinsinabABsincC. 2. 余弦定理证明内容：在ABC中，cba,分别为角CBA,的对边，则Ca
4、bbacBaccabAbccbacos2cos2cos2222222222证明：如图在ABC中，)(222ABACABACBCaa2222cos22ABAABACACABABACAC?Abccbcos222同理可证：CabbacAbccbacos2cos2222222所以CabbacBaccabAbccbacos2cos2cos22222222223. 两角和（差）的余弦公式证明如图在单位圆中设P（cos,sin）,Q（cos,sin）则：)cos()cos(?OQOPOQOP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3
5、sinsincoscos?OQOP)cos(sinsincoscos在单位圆中设 P（cos,sin）,Q（cos,-sin）则：)cos()cos(?OQOPOQOPsinsincoscos?OQOP)cos(sinsincoscos（或） cos()cos()4. 两角和（差）的正弦公式证明二、两角和（差）的正弦公式证明。内容：sincoscossin)sin(,sincoscossin)sin(证明：sin)2sin(cos)2cos()2cos()(2cos)sin(sincoscossinsin)2sin(cos)2cos()2cos()(2cos)sin(sincoscossin5
6、两角和（差）的正切公式证明内容：tantan1tantan)tan(，tantan1tantan)tan(证明：coscossinsincoscoscoscoscoscossincoscoscoscossinsinsincoscossincoscossin)cos()sin()tan(tantan1tantancoscossinsincoscoscoscoscoscossincoscoscoscossinsinsincoscossincoscossin)cos()sin()tan(tantan1tantan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
7、-第 3 页，共 10 页4 xyP(x,y)P(x ，-y)MO(4-5-2)180 xyP(x,y)P(-x ，-y)MM O(4-5-1)6半角公式证明内容：sin2cos1cos1sin2cos1cos12tan,2cos12cos,2cos12sin证明：由二倍角公式1cos22cossin212cos22用代替 2，得12cos2cos2sin21cos22，得2cos12cos,2cos12sin?2cos22cos2cos22sin2cos2sin2tancos1sin2，?2sin22cos2sin22sin2cos2sin2tansin2cos17. 诱导公式公式：如图：设
8、的终边与单位圆（半径为单位长度1 的园）交于点 P(x，y) ，则角 -的终边与单位圆的交点必为P (x ，-y) 由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y， cos=x, sin(-)=-y, cos(-)=x, 所以： sin(-)= -sin, cos(-)= cos 由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-诱导公式。公式：-sinsin(）-coscos(）tantan(）它刻画了角 180o+与角的正弦值（或余弦值）之间的关系，这个关系是：以角终边的反向延长线为终边的角的正弦值（或余弦值）与角的正弦值（或圆交于点 P( x ，y) ，则角终边的反向延长线，即coscos(）tan
9、tan(）-sinsin(）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 180o+角的终边与单位圆的交点必为P (-x ，-y) （如图 4-5-1 ）由正弦函数、余弦函数的定义，即可得sin=y，cos=x, sin(180o+)=-y, cos(180o+)=-x, 所以 :sin(180o+)=-sin，cos(180 o+)=-cos由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。相应诱导公式公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2k+ ）=sin k z cos（2k+）=cos k
10、 z tan（2k+）=tan k z 公式二： sin（+ ）= sin cos（+ ）= costan（+ ）=tan公式三： sin（ ）=sin 公式四：利用公式二和公式三可以得到 -与 的三角函数值之间的关系：sin（ ）=sin cos（ ）=cos tan（ ）=tan 公式五：利用公式一和公式三可以得到2 -与 的三角函数值之间的关系：sin（2 ）=sin cos（2 ）=cos tan（2 ）=tan 公式六：/2 与 的三角函数值之间的关系：sin（/2+）=cos cos（/2+）=sin tan（/2+） = cot sin（/2 ）=cos cos（/2 ）=sin
11、 tan（/2 ）=cot 二. 数列部分1等差数列前n项和公式证明内容：na是等差数列，公差为 d ， 首项为1a，nS为其n前项和，则2)(2)1(11nnaandnnnaS证明：由题意，)1(.)2()(1111dnadadaaSn反过来可写为：) 1(.)2()(dnadadaaSnnnnn+得： 2nS个nnanana111.所以，2)(1nnaanS，把dnaan)1(1代入中，得2)(2) 1(11nnaandnnnaS2等比数列前n项和公式证明精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 内容：na是等比数
12、列，公比为 q， 首项为1a，nS为其n前项和， 则nS=)1(,1)1(1)1( ,111qqqaqqaaqnann证明：112111.nnqaqaqaaSnnqaqaqaqaqS131211.得：nnqaaSq11)1 (，当1q时，nSqqaqqaann1)1(1111把11nnqaa代入中，得nSqqaan11当1q时。很明显nS1na所以，nS=) 1( ,1)1 (1)1(,111qqqaqqaaqnann三. 立体几何部分1. 三垂线定理及其逆定理内容：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。证明：已知：如图（ 9） ，直线
13、l与平面相交与点 A，l在上的射影 OA垂直于aa,求证：l a证明：过 P作 PO垂直于PO PO a又 aOA ，PO OA=O a平面 POA al2. 求证：如果一条直线与一个平面平行, 那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 :a,a=PP如图所示 已知在平面，b,求证： ab.,babb.aabaaabQPQP证明和没有公共点,又在内 ,和也没有公共点,而和都在内，和也没有公共点,3. 求证：如果两个平行平面同时与第三个平面相交, 那么它们的交线
14、平行 . :,.abPP如图所示 已知求证： ab.bbb.aaaabQPQP证明：和 分别在平面、 内且，和 不相交，又和 都在平面内，4. 求证：如果两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. :ABMNBAB如图所示 已知,=MN,AB 在 内，于点。求证：.BCMNABC-MN-ABC =90 ABBCABMNABoQ证明：在平面内做直线，则是二面角的平面角，又，5. 求证：如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行 . :,AB.BbbAb bb,b= ,BBlPII如图所示 已知a,b垂足分别为、求证： ab.证明：假设 a和b不平行，过点作
15、 a的平行线由异面直线垂直定义，与平面内过点的任意直线都垂直，也即有，故直线与b与确定一个平面，记，在平面内，过点有且仅有一条bab.l直线垂直于 ，故直线与b重合，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 四、解析几何部分1.点到直线距离公式证明内 容 ： 已 知 直 线,0:CByAxl直 线 外 一 点).,(00yxM则 其 到 直 线 l 的 距 离 为2200BACByAxd。向量法 证明 1：设直线, 0:CByAxl直线外一点).,(00yxM直线上一点).,(yxP可得直线的一个方向向量为),(A
16、Bv设其法向量为),(tsn则0?AtBsnv，可得直线一法向量为),(BAnn的单位向量为),(22220BABBAAnnn由题意，点 M 到直线的距离为PM在0n 上的射影，所以，220022000)()()(BAByAxByAxBAyyBxxAnPMd?因为点),(yxP在直线上，所以)(ByAxC所以，把代入中，得2200BACByAxd证明 2：设直线:0(0,0)lAxByCAB的一个法向量(1,)BnAr，Q直线上任意一点，101010102222110000112222|()|()() |1|0,BxxyyA xxB yyn PQAdnBABAAxByAxByAxByCPAxB
17、yCdABABr uuu rrQ点在直线 l 上,从而证明 3：根据定义，点 P 到直线 l 的距离是点 P到直线 l 的垂线段的长，如图1，设点 P到直线l的垂线为l，垂足为 Q ，由ll可知l的斜率为BAl的方程：00()ByyxxA与l联立方程组解得交点2200002222(,)B xAByACA yABxBCQABAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 2222200000022222222000022222222200000022222222|()()()()()()()()()B xAByACA yA
18、BxBCPQxyABABA xAByACB yABxBCABABAAxByCBAxByCAxByCABABAB0022|AxByCPQAB五、平面向量部分1. 平行向量定理内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行。证明：设ba,是非零向量，且),(),(2211yxbyxa若ba /， 则存在实数使ba， 且由平面向量基本定理可知.)(222211jyixjyixjyix21xx，21yy2y2x得：01221yxyx若0, 021yy（即向量ba,不与坐标轴平行）则2211yxyx2. 平面向量基本定理内容：如果21,ee是同
19、一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量a，存在唯一一对实数21,，使得.2211eea证明：如图过平面内一点O ，作aOCeOBeOA,21，过点 C分别作直线 OA和直线 OB的平行线，交OA于点 M ，交 OB于点 N ，有且只有一组实数，使得OBONOAOM21,OBOAOCONOMOC21即.2211eea3. 共线向量定理内容：如图 A,B,C 为平面内的三点，且A,B 不重合，点 P 为平面 内 任一点，若 C在直线 AB上，则有PBPAPC)1(CBAPaCNMBAOe2e1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
20、 -第 9 页，共 10 页10 证明：由题意，BC与BA共线，BABC)(,PBPAPBPCPBPABAPBPCBC化简为：PBPAPC)1(六、柯西不等式若 a、b、c、d 为实数，则22222()()()abcdacbd或2222|acbdabcdg证法： （综合法）222222222222()()abcda ca db cb d222()()()acbdadbcacbd. 证法： （向量法）设向量( , )ma bur，( , )nc dr，则22|mabur，22|ncdr. mnacbd?u rr，且| | cos,m nmnm nu r ru rrur rggg，则| | |m nmnu r ru rrgg. 22222()()()abcdacbd七、 函数和导数部分换底公式证明内容：)1,; 0,(logloglogbabaNbNNaab证明：设YbXNaalog,log，则XYaNab,bNYXaYXaNaaaXabYlogloglogloglog精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页