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1、2.2.3一元二次不等式的解法2021/8/8 星期日12021/8/8 星期日21.一元二次不等式的概念一元二次不等式的概念形如形如ax2+bx+c0的不等式称为一元二次不等式，其中的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且是常数，而且a0.式中的不等号也可以是式中的不等号也可以是“0是一元二次不等式吗？是一元二次不等式吗？提示：提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式不是，一元二次不等式一定为整式不等式.(2)一元二次不等式的一般形式中一元二次不等式的一般形式中“a0”可以省略可以省略吗？吗？提示：提示：不可以，若不可以，若a=0a=0，就不是二次不等式了，就不是二次不等式了
2、.2021/8/8 星期日42.一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法(1)因式分解法：因式分解法：如果如果x1x2，则不等式，则不等式(x-x1)(x-x2)0的解集是的解集是(-，x1)(x2，+).2021/8/8 星期日5(2)配方法：配方法：一元二次不等式一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)通过配方总是可以变通过配方总是可以变为为(x-h)2k或或(x-h)20k=0kk转转化化为为|x-h|，解，解集集为为(-，h-)(h+，+)(-，h)(h，+)R(x-h)2k转转化化为为|x-h|，解，解集集为为(h-，h+)2021/8/8 星期日7【思考思考】(1)因式分解法的实质
3、是什么？因式分解法的实质是什么？提示：提示：通过对不等式的左边进行因式分解，转化为等通过对不等式的左边进行因式分解，转化为等价不等式组求解价不等式组求解.(2)配方法的实质是什么？配方法的实质是什么？提示：提示：通过对不等式左边进行配方，转化为绝对值不通过对不等式左边进行配方，转化为绝对值不等式求解等式求解.2021/8/8 星期日8【素养小测素养小测】1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”，错的打，错的打“”)(1)mx2-5x0是一元二次不等式是一元二次不等式.()(2)若方程若方程ax2+bx+c=0可以变形为可以变形为a(x-1)(x+1)=0，则，则ax2+bx+c0(a0)通过
4、配方总是可以通过配方总是可以变为变为(x-h)2k或或(x-h)20a0时，时，axax2 2+bx+c0+bx+c1或或x-1【解析解析】选选B.2xx2+1x2-2x+10(x-1)20，所以，所以x R.2021/8/8 星期日123.不等式不等式(2x-5)(x+3)0，则，则 RA=()世纪金榜导学号世纪金榜导学号A.x|-1x2B.x|-1x2C.x|x2D.x|x-1 x|x22021/8/8 星期日14【思维思维引引】解一元二次不等式可得集合解一元二次不等式可得集合A，再求其补，再求其补集即可集即可.【解析解析】选选B.由由x2-x-20左边因式分解得左边因式分解得(x+1)(
5、x-2)0，解得解得x2，则，则A=x|x2，所以，所以 RA=x|-1x2.2021/8/8 星期日15【素养素养探探】本例考查一元二次不等式的解法与集合的运算，同时本例考查一元二次不等式的解法与集合的运算，同时考查了逻辑推理与数学运算的核心素养考查了逻辑推理与数学运算的核心素养.本例若改为：设集合本例若改为：设集合A=x|x2-4x+30，则，则AB=()2021/8/8 星期日16【解析解析】选选D.由由x2-4x+30，得，得(x-1)(x-3)0，解得，解得1x0，解得，解得x，所以，所以B=.所以所以AB=.2021/8/8 星期日17角度角度2配方法配方法【典例典例】解下列不等式
6、解下列不等式(1)3x2-5x-20.【思维思维引引】用配方法解答用配方法解答.2021/8/8 星期日18【解析解析】(1)原不等式可化为原不等式可化为 ，因为，因为 ，所以原不等式可化为，所以原不等式可化为 ，两，两边开平方得边开平方得 ，所以，所以 ，即，即 ，所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 .2021/8/8 星期日19(2)(2)原不等式可化为原不等式可化为x x2 2-6x+100-6x+100，因为因为x x2 2-6x+10=(x-3)-6x+10=(x-3)2 2+1+1，所以原不等式可化为所以原不等式可化为(x-3)(x-3)2 2-1k或或(x-h)2k的形的形
7、式式.(3)根据根据k值情况确定不等式的解集值情况确定不等式的解集.2021/8/8 星期日21【习练习练破破】1.(2019天津高考天津高考)设设x R，使不等式，使不等式3x2+x-20成立成立的的x的取值范围为的取值范围为_.【解析解析】3x3x2 2+x-20+x-20，即，即(x+1)(3x-2)0(x+1)(3x-2)0，即，即-1x -1x0.2021/8/8 星期日23【解析解析】(1)原不等式可化为原不等式可化为 ，因为因为 ，所以原不等式可化为，所以原不等式可化为 ，两边开平方得，两边开平方得 ，所以所以 ，所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 .2021/8/8 星期
8、日24(2)(2)原不等式可化为原不等式可化为x x2 2-3x+0-3x+0，因为因为 ，所以原不等式可化为，所以原不等式可化为 ，所以只要所以只要 ，不等式即成立，所以原不等式的解集，不等式即成立，所以原不等式的解集为为 .2021/8/8 星期日25【加练加练固固】解不等式解不等式(1)2x2-3x-20.2021/8/8 星期日26【解析解析】(1)由由2x2-3x-20得得(x-2)(2x+1)0，解得，解得-x-1，显然成立，所以原不等式的解集为，显然成立，所以原不等式的解集为R.2021/8/8 星期日27类型二解简单的分式不等式类型二解简单的分式不等式【典例典例】1.不等式不等
9、式 0的解集是的解集是_.2.解不等式解不等式 2.世纪金榜导学号世纪金榜导学号【思维思维引引】先把分式不等式转化为整式不等式后再先把分式不等式转化为整式不等式后再求解求解.2021/8/8 星期日28【解析解析】1.因为因为 0，所以，所以(x-2)(x+4)0，故，故-4x0原不等式两边同乘以原不等式两边同乘以(x-2)2得：得：(x+1)(x-2)2(x-2)2且且x-20，即即(x-2)(-x+5)0，所以，所以(x-2)(x-5)0，所以，所以x0f(x)g(x)0；0f(x)g(x)0或或f(x)=0；0f(x)g(x)0且且g(x)0f(x)g(x)0或或x-1=0，解得解得x1
10、或或x=1，所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 .2021/8/8 星期日36【加练加练固固】解不等式解不等式 1.【解析解析】由题意由题意x+30 x+30，所以，所以(x+3)(x+3)2 200，原不等式两，原不等式两边同乘以边同乘以(x+3)(x+3)2 2得：得：(2-x)(x+3)(x+3)(2-x)(x+3)(x+3)2 2且且x+30 x+30，即即(x+3)(-2x-1)0(x+3)(-2x-1)0，所以，所以(x+3)(2x+1)0(x+3)(2x+1)0，故故-3x-3x-，故原不等式的解集为，故原不等式的解集为 .2021/8/8 星期日37类型三一元二次不等式的
11、实际应用类型三一元二次不等式的实际应用【典例典例】某农贸公司按每担某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按元收购某农产品，并按每每100元纳税元纳税10元元(又称征税率为又称征税率为10个百分点个百分点)，计划可，计划可收购收购 a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低品，决定将征税率降低x(x0)个百分点，预测收购量可个百分点，预测收购量可增加增加2x个百分点个百分点.世纪金榜导学号世纪金榜导学号2021/8/8 星期日38(1)写出税收写出税收y(万元万元)与与x的函数关系式的函数关系式.(2)要使此项税收在税率调节后，不少于
12、原计划税收的要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定，试确定x的取值范围的取值范围.2021/8/8 星期日39【思维思维引引】由题意构建函数关系或不等式解决问题由题意构建函数关系或不等式解决问题.2021/8/8 星期日40【解析解析】(1)降低税率后的税率为降低税率后的税率为(10-x)%，农产品的，农产品的收购量为收购量为a(1+2x%)万担，收购总金额为万担，收购总金额为200a(1+2x%).依题意：依题意：y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(100+2x)(10-x)(0 x10).2021/8/8 星期日41(2)(2)原计划税收为原计划税收为20
13、0a200a10%=20a(10%=20a(万元万元).).依题意得：依题意得：a(100+2x)(10-x)20a83.2%a(100+2x)(10-x)20a83.2%，化简得，化简得，x x2 2+40 x-840+40 x-840，所以，所以-42x2.-42x2.又因为又因为0 x100 x10，所以，所以0 x2.0 x2.所以所以x x的取值范围是的取值范围是x|0 x2.x|0 x2.2021/8/8 星期日42【内化内化悟悟】求实际应用问题中未知数的取值范围，应注意什么隐求实际应用问题中未知数的取值范围，应注意什么隐含信息？含信息？提示：提示：应注意未知数具有的应注意未知数具
14、有的“实际含义实际含义”，隐含着其，隐含着其取值范围的限制取值范围的限制.2021/8/8 星期日43【类题类题通通】解不等式应用题的四步骤解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系系.(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系设：引进数学符号，用不等式表示不等关系.(3)求：解不等式求：解不等式.2021/8/8 星期日44(4)答：回答实际问题答：回答实际问题.特别提醒：确定答案时应注意变量特别提醒：确定答案时应注意变量具有的具有的“实际含义实际含义”.2021/8/8 星期日45【习练习练破破】某自来水厂的蓄水
15、池存有某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，水，t小时内供水总量为小时内供水总量为120吨吨(0t24).(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？少？最少水量是多少吨？2021/8/8 星期日46(2)若蓄水池中水量少于若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧小时内，有几小时出现供水紧张现象？张现象？
16、2021/8/8 星期日47【解析解析】(1)设设t小时后蓄水池中的水量为小时后蓄水池中的水量为y吨，则吨，则y=400+60t-120(0t24).令令x=，则，则t=，所以所以y=400+10 x2-120 x=10(x-6)2+40(0 x12)，所以当所以当x=6，即，即t=6时，时，ymin=40，2021/8/8 星期日48即从供水开始到第即从供水开始到第6 6小时时，蓄水池水量最少，只有小时时，蓄水池水量最少，只有4040吨吨.2021/8/8 星期日49(2)(2)由已知由已知400+10 x400+10 x2 2-120 x80-120 x80，得得x x2 2-12x+32
17、0-12x+320，解得，解得4x84x8，即即 ，而，而 ，所以每天约有所以每天约有8 8小时供水紧张小时供水紧张.2021/8/8 星期日50【加练加练固固】有一批净水机原销售价为每台有一批净水机原销售价为每台800元，在甲、乙两元，在甲、乙两家家电商场均有销售家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一甲商场用如下的方法促销：买一台单价为台单价为780元，买两台每台单价都为元，买两台每台单价都为760元，依次类元，依次类推，每多买一台则所买各台单价均再减少推，每多买一台则所买各台单价均再减少20元，但每元，但每台最低不能低于台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的元；乙商场一律都
18、按原价的75%销销2021/8/8 星期日51售售.某单位需购买一批此类净水机，问去哪家商场购买某单位需购买一批此类净水机，问去哪家商场购买花费较少？花费较少？2021/8/8 星期日52【解析解析】设该单位需购买设该单位需购买x台净水机，甲、乙两商场的台净水机，甲、乙两商场的购货款的差价为购货款的差价为y元，元，则因为去甲商场购买共花费则因为去甲商场购买共花费(800-20 x)x，据题意，据题意，800-20 x440，所以，所以1x18.去乙商场购买共花费去乙商场购买共花费600 x，x N*，2021/8/8 星期日53所以所以y=y=(xN (xN*)=(xN=(xN*)得得 2021/8/8 星期日54故若买少于故若买少于1010台，去乙商场花费较少；若买台，去乙商场花费较少；若买1010台，去台，去甲、乙商场花费一样；若买超过甲、乙商场花费一样；若买超过1010台，去甲商场花费台，去甲商场花费较少较少.2021/8/8 星期日552021/8/8 星期日562021/8/8 星期日57