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1、空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示北师大版高中数学选修北师大版高中数学选修2-1第第二章空间向量与立体几何二章空间向量与立体几何2021/8/9 星期一1一、向量的直角坐标运算一、向量的直角坐标运算2021/8/9 星期一2已知已知(3,-2,4)，(-2,5,-3)，则，则2021/8/9 星期一3二、距离与夹角二、距离与夹角1.1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。角线的长度。2021/8/9 星期一4在空间直角坐标系中，已知在空间直角坐标系中，已知、，则，则
2、（2 2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式终点坐标减终点坐标减起点坐标起点坐标2021/8/9 星期一52.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。思考：当思考：当 及及 时，的夹角在什么范围内？时，的夹角在什么范围内？2021/8/9 星期一6练习一：练习一：1.求下列两个向量的夹角的余弦：求下列两个向量的夹角的余弦：2.求下列两点间的距离：求下列两点间的距离：2021/8/9 星期一7三、应用举例三、应用举例例例1已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐
3、标和长度；解：设是的中点，则解：设是的中点，则点的坐标是点的坐标是.2021/8/9 星期一8（2）到两点距离相等的点的）到两点距离相等的点的坐标满足的条件。坐标满足的条件。解：点到的距离相等，则解：点到的距离相等，则化简整理，得化简整理，得即到两点距离相等的点的坐标满即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是足的条件是2021/8/9 星期一9例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则2021/8/9 星期一10例例2如图，在正方体中，如图，在正方体中，
4、求与所成的角的余弦值。，求与所成的角的余弦值。2021/8/9 星期一11练习二：练习二：2021/8/9 星期一12练习三：练习三：2021/8/9 星期一13四、课堂小结：四、课堂小结：1.基本知识：基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式；）向量的长度公式与两点间的距离公式；（2）两个向量的夹角公式。）两个向量的夹角公式。2.思想方法：用向量计算或证明几何问题思想方法：用向量计算或证明几何问题时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明。证明。2021/8/9 星期一14思考题：2021/8/9 星期一15