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1、经济数学经济数学经济数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用第第4 4章章 不定积分不定积分 4.1 4.1 不定积分的概念与基本积分公式不定积分的概念与基本积分公式4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用4.2 4.2 换元积分法换元积分法4.3 4.3 分部积分法分部积分法经济数学经济数学经济数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用4.4 4.4 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用?已知某边际成本函数已知某边际成本
2、函数 ,固定成本为固定成本为5000如何求总成本函数如何求总成本函数 .经济数学经济数学经济数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用4.4 4.4 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用这类问题的求解思路：这类问题的求解思路：1.对边际函数求不定积分；对边际函数求不定积分；3.写出这个满足初始条件的经济函数。写出这个满足初始条件的经济函数。2.由给出的由给出的初始条件初始条件，确定积分常数，确定积分常数C；经济数学经济数学经济数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在
3、经济问题中的应用4.4 4.4 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用例例1 1 已知某厂生产某产品总产量已知某厂生产某产品总产量 的变化率是时间的变化率是时间 的函数的函数 ,当当 时时 ,求该产品的求该产品的总产量函数总产量函数 .分析分析:(1):(1)总产量的变化率即总产量函数的导数总产量的变化率即总产量函数的导数;(2)(2)即初始条件即初始条件经济数学经济数学经济数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用4.4 4.4 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在
4、经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用解：解：因为因为 ,所以所以 (C为任意常数为任意常数)又因为时，又因为时，代入上式得代入上式得故所求总产量函数为故所求总产量函数为例例1 1经济数学经济数学经济数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用4.4 4.4 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用例例分析分析:(1):(1)边际成本即成本函数的导数边际成本即成本函数的导数;(2)(2)固定成本固定成本50005000元即初始条件元即初始条件,产量为零时的成
5、本产量为零时的成本某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际某工厂生产某种产品，已知每月生产的产品的边际成本是成本是,且固定成本是且固定成本是5000元元.求总成本求总成本C与月产量与月产量 的函数关系的函数关系.经济数学经济数学经济数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用4.4 4.4 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用解：解：(C0为任意常数为任意常数)又因为固定成本为又因为固定成本为5000元元,即即C(0)=5000,代入上式得代入上式得于是所求函数为于是所求函数为:
6、例例2 2因为因为 ,所以所以 C0=5000,经济数学经济数学经济数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用4.4 4.4 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用例例3 3分析分析:(1):(1)总收入总收入R R的变化率即总收入函数的导数的变化率即总收入函数的导数;(2)(2)即初始条件即初始条件,为默认条件为默认条件 已知某产品生产已知某产品生产 个单位时总收入个单位时总收入R的变化率为的变化率为求生产了求生产了50个单位产品时的总收入个单位产品时的总收入 经济数学经济数学经济
7、数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用4.4 4.4 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用解：解：(C为任意常数为任意常数)又因为时，又因为时，代入上式得代入上式得所以总收入函数为所以总收入函数为例例3 3因为因为 ,所以所以 经济数学经济数学经济数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用4.4 4.4 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用例例4 4 已知某商品的最
8、大需求量为已知某商品的最大需求量为A,有关部门给出这种有关部门给出这种商品的需求量商品的需求量 的变化率模型为的变化率模型为 .其其中中 表示商品的价格表示商品的价格,求这种商品的价格求这种商品的价格.分析分析:(1):(1)最大需求量最大需求量A A可理解为价格为零时的需求可理解为价格为零时的需求,即即 ;(2)(2)需求量变化率即边际需求需求量变化率即边际需求;经济数学经济数学经济数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用4.4 4.4 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用解：
9、解：将将 ，代入上式得代入上式得所以这种商品的需求函数为所以这种商品的需求函数为例例4 4由由 ,积分得积分得 经济数学经济数学经济数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用4.4 4.4 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用例例5 5分析分析:(1):(1)边际成本即成本函数的导数边际成本即成本函数的导数;(2)(2)假设商品的需求量假设商品的需求量 =商品的销售量商品的销售量 ;(3)(3)利润利润=收益收益-成本成本 已知某种商品的需求函数已知某种商品的需求函数 ,其中其中
10、为为 需求量需求量(单位单位:件件),为单位价格为单位价格(单位单位:元元/件件).又已知此又已知此种商品的边际成本为种商品的边际成本为 ,且且C(0)=10,试确定试确定当销售单价为多少时当销售单价为多少时,总利润为最大总利润为最大,并求出最大总利润并求出最大总利润.经济数学经济数学经济数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用4.4 4.4 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用解：解：由需求函数由需求函数 得收益函数得收益函数R:令，得令，得又又例例5 5故边际利润为故边际利润
11、为故故 时时,利润最大利润最大经济数学经济数学经济数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用4.4 4.4 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用解：解：由初始条件由初始条件C(0)=10,可得可得C0=10所以当所以当 时，时，总利润最大时，时，总利润最大,最大利润为最大利润为:240元元.则总成本函数为则总成本函数为:故总利润函数为故总利润函数为例例5 5又由边际成本又由边际成本 ,可得可得 总成本函数总成本函数C:经济数学经济数学经济数学经济数学4.4 不定积分在经济问题中的应
12、用不定积分在经济问题中的应用4.4 4.4 4.4 4.4 不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用不定积分在经济问题中的应用课堂练习课堂练习某产品的边际成本某产品的边际成本MCMC2 2x,x,固定成本固定成本C C0 0100100，边际收益，边际收益MRMR20204x4x（单位：万元（单位：万元/台）。台）。求（求（1 1）总成本函数）总成本函数C(xC(x)；（2 2）收益函数）收益函数R(xR(x)；（3 3）生产量为多少台时，总利润最大。）生产量为多少台时，总利润最大。总成本函数总成本函数收益函数收益函数边际利润边际利润当时利润最大。当时利润最大。经济数学经济数学经济数学经济数学4.3 分部积分法分部积分法习题习题4 4P98P986 69 9 作业作业