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1、前页前页结束结束后页后页定积分的几何应用定积分在经济问题中的应用 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望前页前页结束结束后页后页 2.2.以点以点x处的函数值为高处的函数值为高,以以 x,x+d+dx 为底的矩形为底的矩形面积做为面积做为AA的近似值的近似值 ,其中其中f(x)d)dx 称称为面积微元为面积微元,记为记为 ,于是面积为于是面积为1.选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间选取一个变量为积分变量，并确定其变化区间a,b,在区间上任在区间上任取
2、一小区间并记为取一小区间并记为 .此方法称为微元法或积分元素法此方法称为微元法或积分元素法.6.1.1 6.1.1 微元法微元法:6.1 6.1 定积分的几何应用定积分的几何应用以曲边梯形面积为例以曲边梯形面积为例,如图曲边梯形如图曲边梯形.前页前页结束结束后页后页 设函数设函数 在区在区间间 上连续上连续,求由曲线求由曲线 及及直线直线 所围成所围成的图形的面积的图形的面积.1.直角坐标下平面图形的面积直角坐标下平面图形的面积6.1.2 6.1.2 用定积分求平面图形的面积用定积分求平面图形的面积前页前页结束结束后页后页(2)(2)以以 为被积表达式为被积表达式,在区间在区间 作定作定积分积
3、分 就是所求图形的面积就是所求图形的面积.(1)(1)在区间在区间 上任取小区间上任取小区间 ,设此小设此小区间上的面积为区间上的面积为 ,它近似于高为它近似于高为 ,底为底为 的小矩形面积的小矩形面积,从而得面积微元为从而得面积微元为分析分析 在这个公式中，无论曲线在这个公式中，无论曲线 在在x 轴的上方或下方都成立，只轴的上方或下方都成立，只要要 在曲线在曲线 的下方即可。的下方即可。前页前页结束结束后页后页 前页前页结束结束后页后页例例1 1 求由曲线求由曲线 所围成的图形的面积所围成的图形的面积A A。解解 两曲线的交点为两曲线的交点为（0,0）,（1,1）,于是积分区间为于是积分区间
4、为0,1面积微元面积微元所求面积为所求面积为前页前页结束结束后页后页面积为面积为 ,则近似于高为则近似于高为d dy,底底同理，设函数同理，设函数 在区间在区间 上连续，上连续，为为 的小矩形面积的小矩形面积,在区间在区间 上任取小区间上任取小区间 ,设此小区间上的设此小区间上的求由曲线求由曲线 及直线及直线 所围成的图形的面积所围成的图形的面积.于是所求面积为于是所求面积为从而得面积微元为从而得面积微元为前页前页结束结束后页后页解解 由由 解得交点解得交点A(2,-1),B(8,2)例例2 2 求抛物线求抛物线 与直线与直线 所围成的图所围成的图形的面积形的面积.A(2,-1),B(8,2)
5、取取y为积分变量为积分变量,于是于是,所求面积为所求面积为:前页前页结束结束后页后页且且 求此曲线与射线求此曲线与射线 所围成的曲边扇形的面积所围成的曲边扇形的面积.(2)(2)极坐标下平面图形的面积极坐标下平面图形的面积 设曲线的极坐标方程设曲线的极坐标方程 在在 上连续上连续,在区间在区间 上任取一小区间上任取一小区间 ,设此小区间上曲边扇形的面积为设此小区间上曲边扇形的面积为 ,则则 近似近似于半径为于半径为 ,中心中心角为角为 的扇形面积的扇形面积,从而可得面积为从而可得面积为从而得到面积微元为从而得到面积微元为前页前页结束结束后页后页例例3 求心形线求心形线 所围成的面积所围成的面积
6、.解解 当当 从从0变到变到 时时,得得 的图形为上半部分的图形为上半部分,心形线所围图形的面积心形线所围图形的面积A为极轴上方为极轴上方部分的两倍部分的两倍,即即前页前页结束结束后页后页 例例4 计算阿基米德螺线计算阿基米德螺线 上对应于上对应于 从从0变变到到 的一段曲线与极轴所围成图形的面积的一段曲线与极轴所围成图形的面积.解解 面积微元为面积微元为于是于是,所求面积为所求面积为前页前页结束结束后页后页6.1.3 6.1.3 用定积分求旋转体的体积用定积分求旋转体的体积1.平行截面面积已知的立体体积平行截面面积已知的立体体积设有一立体价于过点设有一立体价于过点 且垂直于且垂直于 轴的两平
7、面之间轴的两平面之间,求此立体的体积求此立体的体积.如图如图,介于介于 与与 之之间的薄片的体积近似等于底面积间的薄片的体积近似等于底面积为为A(x),高为高为dx的扁柱体的体积的扁柱体的体积,即即体积微元为体积微元为A(x)即对截面积即对截面积A(x)从从a到到b求积分求积分!于是所求体积为于是所求体积为前页前页结束结束后页后页2 2.旋转体旋转体体积体积 设设 ,及及y=0所围图形绕所围图形绕x轴旋转轴旋转,求所得旋转体的体积求所得旋转体的体积.选取选取 为积分变量为积分变量,其变化其变化区间为区间为 ,过点过点x做垂直于做垂直于x 轴的平面轴的平面,截得旋转体截面是半径截得旋转体截面是半径为为 的圆的圆,其截面积为其截面积为从而所求旋转体体积为从而所求旋转体体积为前页前页结束结束后页后页例例4 计算由椭圆计算由椭圆 绕绕x轴旋转一周所成的旋转轴旋转一周所成的旋转体体(旋转椭球体旋转椭球体)的体积的体积.解解前页前页结束结束后页后页前页前页结束结束后页后页例5解前页前页结束结束后页后页前页前页结束结束后页后页6.2 定积分在经济中的应用定积分在经济中的应用前页前页结束结束后页后页前页前页结束结束后页后页例例8解解