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1、第四章第四章 证券组合分析证券组合分析1本章主要内容本章主要内容n4.1结合线结合线 n4.2寻找证券组合的最小方差集合寻找证券组合的最小方差集合 n4.3寻找证券组合的有效集寻找证券组合的有效集 2证券组合优化模型证券组合优化模型n利用证券组合的预期收益率和风险度量公式，利用证券组合的预期收益率和风险度量公式，Harry.M.Markowitz 于于1952年建立了如下的证券组合优化模型：年建立了如下的证券组合优化模型：（4.1）n其其中中，Rp是是证证券券组组合合的的预预期期收收益益率率，Ri（i=1,2,n）是是证证券券i的的预预期期收收益益率率，xi是是证证券券i在在证证券券组组合合中
2、中的的权权重重，n是是证证券券组组合合中中证证券券的的数数目目，2p是是证证券券组组合合的的方方差差，其其开开方方p是是证证券券组组合合的的标标准准差差，被被用用来来度度量量证证券券组组合合的的风风险险，是是种证券的协方差矩阵。种证券的协方差矩阵。3n从从系系统统（4-1）可可知知，Markowitz模模型型是是一一个个双双目目标规划模型。标规划模型。nMarkowitz为为了了求求解解该该模模型型，将将其其中中一一个个目目标标（预预期期收收益益率率公公式式）转转化化为为约约束束条条件件，从从而而将将该该双目标规划模型变换为可求解的单目标模型。双目标规划模型变换为可求解的单目标模型。n但但这这
3、样样无无疑疑将将增增加加投投资资者者的的决决策策难难度度，那那么么有有没没有一种方法来直接求解系统（有一种方法来直接求解系统（4-1）呢？）呢？n屠屠新新曙曙在在1998年年3月月给给出出了了一一种种方方法法来来直直接接求求解解系系统统（4-1），并并在在2000年年10月月将将这这种种方方法法进进行行了完善。了完善。44.1 结合线结合线n设设有有两两种种风风险险证证券券A与与B，它它们们的的预预期期收收益益率率分分别别是是RA和和RB，它它们们的的标标准准差差分分别别是是A和和B，它它们们之之间间的的相相关关系系数数是是，它它们们在在证证券券组组合合中中的的权权重重分分别别是是xA和和xB
4、，则则有有：xB=1-xA，同同时时证证券券组组合合的的预预期收益率和风险方程分别是：期收益率和风险方程分别是：（4.2）（4.3）n从从上上两两式式可可以以看看到到，两两支支风风险险证证券券在在证证券券组组合合中中的的权重不同，证券组合的预期收益率和风险也不同。权重不同，证券组合的预期收益率和风险也不同。5结合线图结合线图n由公式（由公式（4.2）和（）和（4.3），在），在R（即标准差（即标准差预期收益率）预期收益率）平面上可以得到一条经过平面上可以得到一条经过A和和B的连续曲线（图的连续曲线（图4-1），称之），称之为结合线，其上每一点由给定权重的证券组合的标准差与预为结合线，其上每一点
5、由给定权重的证券组合的标准差与预期收益率所确定。期收益率所确定。n结合线在结合线在R平面上平面上n描述了风险证券描述了风险证券A和和Bn的所有可能的组合。的所有可能的组合。6结合线方程结合线方程n为了更细致地讨论两支风险证券构成的证券组合为了更细致地讨论两支风险证券构成的证券组合的结合线及其性质，我们不妨设，这也符合实际的结合线及其性质，我们不妨设，这也符合实际情况。由公式（情况。由公式（4-2），我们可得：），我们可得：（4.4）n将（将（4-4）代入到公式（）代入到公式（4-3）中，得到）中，得到（4.5）n为了更清楚地研究公式（为了更清楚地研究公式（4-5）的性质，我们对它）的性质，我们
6、对它进行一些数学处理。得到：进行一些数学处理。得到：7（4.6）n如果如果|1，则：，则：20，同同时时证证券组合的预期收益率和风险方程分别是：券组合的预期收益率和风险方程分别是：（4.12）（4.13）n化简，得：化简，得：（4.14）n这这是是R（即即标标准准差差预预期期收收益益率率）平平面面上上的的一一条条直直线线，且且经过经过A(A,RA)和和B(0,RB)，如图，如图4-3所示。所示。16n如果投资者持有的证券组合介于点如果投资者持有的证券组合介于点A、B之间，则表示他同时之间，则表示他同时投资于风险证券投资于风险证券A与无风险证券与无风险证券B。n如果投资者持有的证券组合位于点如果
7、投资者持有的证券组合位于点A右上方的那段结合线上，右上方的那段结合线上，则表示他卖空无风险证券则表示他卖空无风险证券B，将所得资金投资于风险证券，将所得资金投资于风险证券A。n无风险证券与风险无风险证券与风险证券构成的证券组证券构成的证券组合的在合的在R平面上平面上是一条直线，这条是一条直线，这条直线实际上是从无直线实际上是从无风险利率出发，经风险利率出发，经过风险证券的一条过风险证券的一条射线。射线。174.2 寻找证券组合的最小方差集合寻找证券组合的最小方差集合n由第二章和第三章的内容可知由第二章和第三章的内容可知，n种证券构成的证种证券构成的证券组合的预期收益率公式与方差公式组成系统：券
8、组合的预期收益率公式与方差公式组成系统：（4.15）n给定一个证券组合的预期收益率给定一个证券组合的预期收益率Rp，可以有无穷，可以有无穷多种证券组合方式来实现该预期收益率。多种证券组合方式来实现该预期收益率。n对于一个给定的风险水平，也有无穷多种组合方对于一个给定的风险水平，也有无穷多种组合方式来实现它。式来实现它。18n在在R平面上，系平面上，系统（统（4-15）的解是）的解是一个由一条弹丸形一个由一条弹丸形曲线围成的区域曲线围成的区域（见图（见图44），称），称这个区域为证券组这个区域为证券组合的可行集。合的可行集。n可行集是所有可能可行集是所有可能的证券组合的集合的证券组合的集合.可行
9、集可行集19最小方差集合最小方差集合n由于大多数投资者是风险厌恶者，因而他们总是在一定预由于大多数投资者是风险厌恶者，因而他们总是在一定预期收益率和一定风险水平下选择证券组合。期收益率和一定风险水平下选择证券组合。n理性的投资者总是希望：在所能承受的风险水平下，获得理性的投资者总是希望：在所能承受的风险水平下，获得最大的预期收益；或者在一个已知的预期收益率下，使投最大的预期收益；或者在一个已知的预期收益率下，使投资风险达到最小。资风险达到最小。n也就是说，理性的投资者希望在也就是说，理性的投资者希望在图图44中的可行集的边界中的可行集的边界弹丸形曲线上获取某一位置，我们称这条弹丸形曲线弹丸形曲
10、线上获取某一位置，我们称这条弹丸形曲线为证券组合的为证券组合的最小方差集合最小方差集合。n最小方差集合中的每一点都表示一个由最小方差集合中的每一点都表示一个由n种证券构成的证种证券构成的证券组合，区别只是组合中各支证券在组合中的权重不同。券组合，区别只是组合中各支证券在组合中的权重不同。n这些证券组合都遵循一个原则：在给定的预期收益率水平这些证券组合都遵循一个原则：在给定的预期收益率水平下，最小方差集合中的证券组合风险在所有可能的证券组下，最小方差集合中的证券组合风险在所有可能的证券组合中是最低的。合中是最低的。20n最小方差集合是在给定的预期收益率水平下使风险达到最最小方差集合是在给定的预期
11、收益率水平下使风险达到最小的那些证券组合组成的集合。小的那些证券组合组成的集合。n最小方差集合可由点最小方差集合可由点MVP分为两半：分为两半：n上半部分是在风险一定时使预期收益率达到最大的证券组上半部分是在风险一定时使预期收益率达到最大的证券组合的组成的集合，被称为证券组合的合的组成的集合，被称为证券组合的有效集有效集，也称为证券，也称为证券组合的组合的有效前沿有效前沿；n下半部分是风险一定时使预期收益率达到最小的证券组合下半部分是风险一定时使预期收益率达到最小的证券组合组成的集合，被称为证券组合的组成的集合，被称为证券组合的低效集低效集。n对于对于图图44中证券组合最小方差集合中的点中证券
12、组合最小方差集合中的点A和和B来说，来说，点点A就是证券组合的有效集中的点，而点就是证券组合的有效集中的点，而点B却是证券组合却是证券组合的低效集中的点。的低效集中的点。n理性的投资者最希望拥有有效集中的证券组合，最不希望理性的投资者最希望拥有有效集中的证券组合，最不希望得到低效集中的证券组合。得到低效集中的证券组合。214.2.1 全局风险最小的证券组合全局风险最小的证券组合n点点MVP表示在所有的证券组合中，风险最小的证表示在所有的证券组合中，风险最小的证券组合，被称为券组合，被称为全局最小方差组合全局最小方差组合。n那么点那么点MVP所对应的证券组合权重是怎样的呢？所对应的证券组合权重是
13、怎样的呢？n它对应的预期收益率和风险又是多大？它对应的预期收益率和风险又是多大？n令令 22n则系统（则系统（4-15）就可写成）就可写成（4.16）n证券组合的风险函数证券组合的风险函数p与其方差与其方差p2的最小值有一致性，的最小值有一致性，可通过确定可通过确定p2的最小值来确定的最小值来确定p的最小值。的最小值。n要求点要求点MVP，实际上就是求解如下的数学规划问题，实际上就是求解如下的数学规划问题:（4.17）n这是一个有约束条件的极值问题这是一个有约束条件的极值问题。23n构造一个构造一个Lagrange乘子函数：乘子函数：n由高数知识，条件极值问题（由高数知识，条件极值问题（4.1
14、7）的解是：）的解是：（4.18）n因为因为是正定矩阵，所以是正定矩阵，所以-1存在，因此由公式存在，因此由公式（4.18）可得）可得点点MVP的证券组合的权重向量的证券组合的权重向量：（4.19）24n点点MVP的预期收益率和方差分别是：的预期收益率和方差分别是：（4.20）（4.21）n因此，一旦选定了因此，一旦选定了n种证券，在不考虑预期收种证券，在不考虑预期收益率的情况下，使这益率的情况下，使这n种证券进行组合把风险种证券进行组合把风险降到最低程度的证券组合权重是降到最低程度的证券组合权重是XMVP。n此时，证券组合降到的最低风险是此时，证券组合降到的最低风险是MVP=1/(FT-1F
15、)1/2n该最小风险的证券组合的预期收益率是该最小风险的证券组合的预期收益率是RMVP。254.2.2 最小方差集合最小方差集合n为了求解双目标规划模型（为了求解双目标规划模型（4.1），），Markowitz将将其转化为能用其转化为能用Lagrange乘子方法求解的单目标规乘子方法求解的单目标规划模型：划模型：（4.22）n模型（模型（4.22）表示的是：投资者在期望获得一定）表示的是：投资者在期望获得一定的收益情况下，使证券组合的风险最小。的收益情况下，使证券组合的风险最小。n模型（模型（4.22）也是一个有约束条件的极值问题）也是一个有约束条件的极值问题。26n模模型型(4.1)的的解解
16、集集是是系系统统(4.15)的的解解集集的的子子集集，而而模模型型(4.22)的的解解只只是是模模型型(4.1)解集中的一个元素。解集中的一个元素。n在在图图44中中，模模型型(4.1)的的解解集集是是可可行行集集的的边边界界弹弹丸丸形形曲曲线线，即即最最小小方方差差集集合合.n模模型型(4.22)的的解解只只是是弹丸形曲线上的一点弹丸形曲线上的一点.n（见图（见图45）n称模型称模型(4.22)的解是在给定预期收益水平下的最优证券组合，的解是在给定预期收益水平下的最优证券组合，其权重称为给定预期收益水平下证券组合的最优投资权重。其权重称为给定预期收益水平下证券组合的最优投资权重。27求解单目
17、标规划模型（求解单目标规划模型（4-22）n构造两个矩阵：构造两个矩阵：n则模型（则模型（4-22）就变为：）就变为：（4.23）n构造一个构造一个Lagrange乘子函数：乘子函数：n其中，其中，。28n由高数知识，条件极值问题（由高数知识，条件极值问题（4.23）的解是：）的解是：（4.24）n因因为为是是正正定定矩矩阵阵，-1存存在在，所所以以 A-1AT是是可可逆逆矩阵矩阵，因此单目标规划模型（因此单目标规划模型（4.22）的解是：）的解是：（4.26）n此时证券组合相应的最小风险就是：此时证券组合相应的最小风险就是：（4.27）29n【例【例4.1】已知三种证券的预期收益率分别是：】
18、已知三种证券的预期收益率分别是：n它们的协方差矩阵为：它们的协方差矩阵为：n求满足给定预期收益率下证券组合的最优投资求满足给定预期收益率下证券组合的最优投资权重。权重。30n解：我们记：解：我们记：n则：则：n故，在给定预期收益率故，在给定预期收益率Rp的条件下，使证券组合的风的条件下，使证券组合的风险达到最小的最优投资权重向量为：险达到最小的最优投资权重向量为：314.2.3 最小方差集合曲线最小方差集合曲线n因为协方差矩阵因为协方差矩阵 是正定矩阵，所以它是对称矩阵，它是正定矩阵，所以它是对称矩阵，它的逆矩阵的逆矩阵-1也是对称矩阵，因此，也是对称矩阵，因此，A-1AT也是对称矩也是对称矩
19、阵，当然，其逆矩阵阵，当然，其逆矩阵A-1AT-1也是对称矩阵。也是对称矩阵。n令：令：n那么由公式（那么由公式（4.27），当证券组合的预期收益率），当证券组合的预期收益率Rp不断不断变化时，我们在变化时，我们在R平面上就可得到证券组合最小方差平面上就可得到证券组合最小方差集合曲线的方程：集合曲线的方程：（4.28）32n公式（公式（4-28）可以看成是）可以看成是Markowitz优化模型（优化模型（4-1）在在R平面上的解，即证券组合的最小方差集合。平面上的解，即证券组合的最小方差集合。n由公式（由公式（4-28），可得：），可得：n因为因为 A-1AT-1是正定矩阵，所以，是正定矩阵，
20、所以，h110，h11h22 h212 0n故上式可化简：故上式可化简：（4.29）33n其中其中 n公式（公式（4-29）说明）说明n种证券组成的证券组合的种证券组成的证券组合的最小方差集合也是最小方差集合也是R平面上的一条双曲线的平面上的一条双曲线的右半支。右半支。n请仔细比较一下两支证券组成的证券组合的结合请仔细比较一下两支证券组成的证券组合的结合线与线与 n 种证券组成的证券组合的最小方差集合这种证券组成的证券组合的最小方差集合这两条两条R平面上的双曲线有什么不同？平面上的双曲线有什么不同？344.2.4 限制卖空的最小方差集合限制卖空的最小方差集合n唐小我等人在唐小我等人在1994年
21、开始研究限制卖空的证券组合，年开始研究限制卖空的证券组合，即研究如下的单目标规划模型即研究如下的单目标规划模型：（4.30）n很显然，如果模型（很显然，如果模型（4-23）的解是非负向量，那么它）的解是非负向量，那么它一定是模型（一定是模型（4-30）的解。）的解。n如果模型（如果模型（4-23）的解不是非负向量，那么在给定预）的解不是非负向量，那么在给定预期收益率下的证券组合最优权重向量就有一些负分量期收益率下的证券组合最优权重向量就有一些负分量.n这些负分量的存在意味着在为了获得给定的预期收益这些负分量的存在意味着在为了获得给定的预期收益率下使证券组合的风险达到最小，投资者要卖空这些率下使
22、证券组合的风险达到最小，投资者要卖空这些负权重的证券。负权重的证券。35n现在要限制卖空，投资者就必然要删除那些负权重的现在要限制卖空，投资者就必然要删除那些负权重的证券，然后再重新求解降维后的模型（证券，然后再重新求解降维后的模型（4-23），可以），可以证明这时求得的证券组合最优权重是非负向量。证明这时求得的证券组合最优权重是非负向量。n由于限制卖空，投资者对证券组合的预期收益率由于限制卖空，投资者对证券组合的预期收益率Rp不不能无限制地大，即有：能无限制地大，即有：n记：记：，则有，则有 。n我们令我们令（4.31）36n由公式（由公式（4-26），模型（），模型（4-23）的解就是：）
23、的解就是：（4.32）n由上式，我们可得证券的投资权重为：由上式，我们可得证券的投资权重为：（4.33）n所以，我们有：所以，我们有：（4.34）37n证券组合的权重向量无负分量的条件为：证券组合的权重向量无负分量的条件为：（4.35）n我们说我们说ui不为不为0，同时，同时，ui要么是正数，要么是负数，要么是正数，要么是负数，并且至少有一个为正数，也至少有一个为负数。并且至少有一个为正数，也至少有一个为负数。n记：记：（4.36）n则：则：（4.37）n这样，这样，si把区间把区间 划分成了有限个相互邻接的子划分成了有限个相互邻接的子区间，在每个子区间内部，证券组合对应的各个权重区间，在每个
24、子区间内部，证券组合对应的各个权重符号一致。符号一致。38n根据投资者预期收益率根据投资者预期收益率Rp所属的子区间，由公式所属的子区间，由公式（4-37）做出判断，删除一些证券，然后利用公）做出判断，删除一些证券，然后利用公式（式（4-26），就可求出限制卖空时证券组合的最），就可求出限制卖空时证券组合的最优权重了。优权重了。n【例【例4.2】已知三种证券的预期收益率分别是】已知三种证券的预期收益率分别是n它们的协方差矩阵为：它们的协方差矩阵为：n求限制卖空时满足给定预期收益率下证券组合的求限制卖空时满足给定预期收益率下证券组合的最优权重。最优权重。39n解：由题意，解：由题意，0.05 R
25、p 0.15。我们记：。我们记：n则：则：n因此，因此，40n由于由于 ，且，且40，这说明对于任，这说明对于任意的预期收益率意的预期收益率Rp(0.05，0.15)，投资者都要购买第，投资者都要购买第二种证券。于是二种证券。于是s1和和s3把区间把区间 分成了三个相分成了三个相互邻接的子区间：互邻接的子区间：n在每个子区间内部，构成证券组合的证券是相同的。在每个子区间内部，构成证券组合的证券是相同的。n当当Rp(0.05，0.07)时，因为时，因为x10，x20，x30，x20，x30，所，所以以三种证券都购买，三种证券都购买，这时证券组合的最优投资权重向这时证券组合的最优投资权重向量为：量
26、为：n当当Rp(0.12，0.15)时，因为时，因为x10，x30，所，所以以要删掉第一种证券，而购买第二、三种证券，要删掉第一种证券，而购买第二、三种证券，这时这时证券组合的最优投资权重向量为：证券组合的最优投资权重向量为：42n综上所述，可得限制卖空时证券组合的最优投资综上所述，可得限制卖空时证券组合的最优投资权重向量为：权重向量为：n也就是说，限制卖空时证券组合的最优投资权重也就是说，限制卖空时证券组合的最优投资权重向量向量Xp是是0.05，0.15 上关于证券组合预期收益上关于证券组合预期收益率率Rp的逐段线性向量函数。的逐段线性向量函数。n注注：在在R平平面面上上关关于于证证券券组组
27、合合预预期期收收益益率率Rp的的区区间间0.05，0.07位位于于低低效效集集上上；0.07，0.12一一部部分分在在低低效效集集上上，一一部部分分在在有有效效集集上上；而而0.12，0.15则则位位于于有有效效集集上上.434.3 寻找证券组合的有效集寻找证券组合的有效集n在在上上节节中中，我我们们系系统统地地介介绍绍了了在在给给定定预预期期收收益益率率下下，如如何何利利用用Lagrange乘乘子子法法求求解解使使证证券券组组合合的的风风险险达达到到最最小小的的最最优优投投资资权权重，由此可以得到证券组合的最小方差集合。重，由此可以得到证券组合的最小方差集合。n但但是是，如如果果投投资资者者
28、希希望望在在一一个个能能承承受受的的风风险险水水平平下下使使证证券券组组合合的预期收益率达到最大，那该如何解决呢？的预期收益率达到最大，那该如何解决呢？n即如何寻找证券组合的有效集？即如何寻找证券组合的有效集？n显然，显然，Lagrange乘子法对此无能为力！乘子法对此无能为力！n为为此此，屠屠新新曙曙在在1998年年3月月提提出出了了一一种种方方法法几几何何方方法法解解决决了了这这个个问问题题，一一年年后后又又用用这这种种几几何何方方法法讨讨论论了了限限制制卖卖空空时时的的情情况，并在况，并在2000年年10月对这种几何方法进行了总结。月对这种几何方法进行了总结。n几几何何方方法法不不但但能
29、能同同时时求求解解给给定定预预期期收收益益率率下下使使风风险险达达到到最最小小的的证证券券组组合合优优化化模模型型和和给给定定所所能能承承受受的的风风险险水水平平下下使使预预期期收收益益率率达达到到最最大大的的证证券券组组合合优优化化模模型型，而而且且彻彻底底解解决决了了Markowitz优优化模型（化模型（4-1）。）。444.3.1 证券组合的临界线证券组合的临界线n假假设设我我们们只只对对A、B、C三三种种证证券券进进行行投投资资，这这三三种种证证券券的的预预期期收收益益率率分分别别是是：R1，R2和和R3，且且R1 R2R2R3，112233。由于不能卖空任何证券，因而每种证券的投资权
30、重必须是0与1之间的数，即xi 0（i=1,2,3），x1+x2+x3=1，这意味着只能在图48中的三角形 的边线上或 内部投资。由上一节的讨论，我们可以知道，允许卖空的临界线就是图48中的直线NY，它交AB于点H，它交OB于点E，其有效部分是点MVP右端部分，即图48中直线NY的实线。其中，点MVP是所有可能的证券组合中风险最小的证券组合投资权重。由节，我们可得到点MVP处证券组合的预期收益率Rp0与方差p02。因而，在x1x2平面中，限制卖空的证券组合临界线应该是折线OEHA，其有效部分是由线段 和 构成的连线。644.3.2 限制卖空时证券组合的临界线限制卖空时证券组合的临界线n还是从由
31、三种证券构成的证券组合开始。不妨设三种证券还是从由三种证券构成的证券组合开始。不妨设三种证券的预期收益率与方差满足：的预期收益率与方差满足：R1R2R3，11 22 33。n由于不能卖空任何证券，因而每种证券的投资权重必须是由于不能卖空任何证券，因而每种证券的投资权重必须是0与与1之间的数，即之间的数，即xi 0（i=1,2,3），），x1+x2+x3=1，这意味，这意味着只能在图着只能在图48中三角形的边线上或内部投资。中三角形的边线上或内部投资。n允许卖空的临界线就是图允许卖空的临界线就是图48中的直线中的直线NY，它交，它交AB于点于点H，它交，它交OB于点于点E，其有效部分是点，其有效
32、部分是点MVP右端部分，即图右端部分，即图48中直线中直线NY的实线。的实线。n因而，在因而，在x1x2平面中，限制卖空的证券组合临界线应该平面中，限制卖空的证券组合临界线应该是折线是折线OEHA，其有效部分是由线段和构成的连线。，其有效部分是由线段和构成的连线。6566n由公式（由公式（4.42）可知，直线）可知，直线NY的方程为：的方程为：n故它与直线故它与直线AB的交点的交点H的坐标是：的坐标是：67此时，证券组合的预期收益率与方差分别是：此时，证券组合的预期收益率与方差分别是：（4.49）（4.50）当当 时，限制卖空的证券组合临界线方程就是方时，限制卖空的证券组合临界线方程就是方程（
33、程（4.42），我们称它为），我们称它为第一类临界线第一类临界线。当当 时，限制卖空的证券组合临界线方程就是方程时，限制卖空的证券组合临界线方程就是方程 x1+x2=1 （4.51）我们称它为我们称它为第二类临界线第二类临界线。68n因而，给定一个预期收益率因而，给定一个预期收益率Rp，如果，如果n那么联立方程（那么联立方程（4.38）和（）和（4.42）即可求出限制卖）即可求出限制卖空时证券组合的最优投资权重，使证券组合的风险空时证券组合的最优投资权重，使证券组合的风险达到最小。达到最小。n如果如果n那么联立方程（那么联立方程（4.38）和（）和（4.51）即可求出限制卖）即可求出限制卖空时
34、证券组合的最优投资权重，使证券组合的风险空时证券组合的最优投资权重，使证券组合的风险达到最小，并进而由方程（达到最小，并进而由方程（4.40）可求出相应的最）可求出相应的最小方差（风险）。小方差（风险）。69n给定一个方差（风险）值给定一个方差（风险）值p 2，如果，如果n那么联立方程（那么联立方程（4.40）和（）和（4.42）即可求出限制）即可求出限制卖空时证券组合的最优投资权重，使证券组合的卖空时证券组合的最优投资权重，使证券组合的预期收益率达到最大。预期收益率达到最大。n如果如果n那么联立方程（那么联立方程（4.40）和（）和（4.51）即可求出限制）即可求出限制卖空时证券组合的最优投
35、资权重，使证券组合的卖空时证券组合的最优投资权重，使证券组合的预期收益率达到最大，并由方程（预期收益率达到最大，并由方程（4.38）可求出）可求出相应的最大预期收益率。相应的最大预期收益率。70现在我们考虑一般情形，不妨设现在我们考虑一般情形，不妨设R1R2Rn，11 22 nn由于由于x1+x2+xn-1+xn=1，故，故xn=1-x1-x2-xn-1。因而证券组合的预期收益率与方差公式分别是因而证券组合的预期收益率与方差公式分别是(4.43)和和(4.44).由于由于xi 0，所以在权重空间（，所以在权重空间（x1，x2，xn-1）中投资权重）中投资权重只能位于由下列只能位于由下列n个超平
36、面围成的区域个超平面围成的区域G内：内：由节可得区域由节可得区域G内点内点MVP处证券组合的预期收益率与方差分处证券组合的预期收益率与方差分别是（别是（4-20）和（）和（4-21）。）。71类似于三种证券时第一类临界线的定义，我们可得到类似于三种证券时第一类临界线的定义，我们可得到n种证种证券的第券的第1类临界线，它就是允许卖空的临界线，其方程是由类临界线，它就是允许卖空的临界线，其方程是由n-2个线性方程构成的方程组：个线性方程构成的方程组：（4-52）其中其中72在权重空间（在权重空间（x1，x2，xn-1）中，第）中，第1类临界线与投资区域类临界线与投资区域的边界：的边界：交于点交于点
37、H1。同理，可定义第同理，可定义第2类临界线，它的方程为：类临界线，它的方程为：（4.53）其中其中73进一步，可得第进一步，可得第k类临界线方程为：类临界线方程为：（4-54）其中其中74n类似于三种证券第二类临界线的定义，可得类似于三种证券第二类临界线的定义，可得n种证券的第种证券的第n-1类临界线方程：类临界线方程：n第第1类临界线，第类临界线，第2类临界线，类临界线，第，第n-1类临界线，都类临界线，都统称为证券组合的临界线。统称为证券组合的临界线。n由定义可知，证券组合的临界线为一条连续但不光滑的空由定义可知，证券组合的临界线为一条连续但不光滑的空间折线，折点分别记为间折线，折点分别
38、记为H1，H2，Hn-2。n在权重空间（在权重空间（x1、x2、xn-1）中，折点）中，折点Hk的坐标的坐标n可由第可由第k类临界线方程和方程类临界线方程和方程n求得，由此以及方程（求得，由此以及方程（4.43）和（）和（4.44）可求得）可求得Hk处处n种证种证券组合的预期收益率和方差。券组合的预期收益率和方差。75由于由于故由临界线定义可知：故由临界线定义可知：因此，对于证券组合任意一个给定的预期收益率，如果因此，对于证券组合任意一个给定的预期收益率，如果则联立第则联立第k类临界线方程和方程（类临界线方程和方程（4.43），都可在临界线上），都可在临界线上找到使证券组合的风险（或方差）达到
39、最小的最优权重。找到使证券组合的风险（或方差）达到最小的最优权重。再由方程（再由方程（4.44），便可求得这个最小方差。），便可求得这个最小方差。76n由于每一类临界线方程的秩是由于每一类临界线方程的秩是n-2，因而它的基础解，因而它的基础解系所含向量个数为系所含向量个数为1，所以，所以x1、x2、xn-1要么是要么是0，要么可由要么可由x1线性表示，这样对于任意一个给定的证券线性表示，这样对于任意一个给定的证券组合方差组合方差 ,如果如果n则联立第则联立第k类临界线方程和方程（类临界线方程和方程（4.44），都可在临界），都可在临界线上找到使证券组合的预期收益率达到最大的最优权线上找到使证券
40、组合的预期收益率达到最大的最优权重。重。n再由方程（再由方程（4.43），便可求得这个最大预期收益率。），便可求得这个最大预期收益率。77思考题：思考题：n1、假设证券、假设证券A和和B不相关，它们的预期收益率分别是不相关，它们的预期收益率分别是12%和和6%，它们的风险分别是，它们的风险分别是10%和和8%，请算出这两种证券的结，请算出这两种证券的结合线，并在标准差合线，并在标准差预期收益率平面上画出该结合线。预期收益率平面上画出该结合线。n2、在上题中，假如你有、在上题中，假如你有10000元可用于投资，并打算卖空元可用于投资，并打算卖空5000元的证券元的证券B以投资于证券以投资于证券A
41、，请计算该证券组合的预期收，请计算该证券组合的预期收益率和风险。益率和风险。n3、假设证券、假设证券A和和B完全正相关，它们的风险分别是完全正相关，它们的风险分别是10%和和15%，请问它们的投资比例是怎样时才能得到一个零风险的，请问它们的投资比例是怎样时才能得到一个零风险的证券组合？如果它们完全负相关，那么情况又会是怎样的？证券组合？如果它们完全负相关，那么情况又会是怎样的？n4、凭直觉，为什么在允许卖空的情况下，大多数证券的权重、凭直觉，为什么在允许卖空的情况下，大多数证券的权重不是正的就是负的？不是正的就是负的？n5、什么是等预期收益率直线？什么是等方差椭圆？、什么是等预期收益率直线？什
42、么是等方差椭圆？n6、请比较最小方差集合和有效集。、请比较最小方差集合和有效集。n7、如何定义临界线？如何找出临界线？、如何定义临界线？如何找出临界线？78n8、给定一组证券、给定一组证券A、B、C，假设你拥有最小方差集合中的，假设你拥有最小方差集合中的两个组合，在允许卖空的情况下，这两个组合的权重如下两个组合，在允许卖空的情况下，这两个组合的权重如下:组合组合1：XA=0.24、XB=0.52、XC=0.24；组合组合2：XA=0.36、XB=0.72、XC=0.64 a）如果对组合）如果对组合1投资投资2000元，对组合元，对组合2投资投资1000元，那么元，那么新组合中各证券的权重是多少
43、？新组合中各证券的权重是多少？b）将组合）将组合1和组合和组合2画在画在XAXB图中，合并后的组合是否图中，合并后的组合是否落在临界线上？落在临界线上？c）假设）假设3000元中的元中的1500元投资于证券元投资于证券A，如何在证券，如何在证券B和和C之间分配余下的之间分配余下的1500元，才能使组合落在最小方差集合中元，才能使组合落在最小方差集合中？79n9、已知证券、已知证券A、B、C的预期收益率分别是：的预期收益率分别是：6%、8%、12%，它们的协方差矩阵为：，它们的协方差矩阵为：n求限制卖空时满足给定预期收益率下证券组合的最优权重。求限制卖空时满足给定预期收益率下证券组合的最优权重。n10、在上题中，如果允许卖空，求满足证券组合的风险为、在上题中，如果允许卖空，求满足证券组合的风险为30时，使预期收益率达到最大的证券组合最优权重。时，使预期收益率达到最大的证券组合最优权重。80