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1、几 何 概 型(第一课时第一课时)2021/8/11 星期三1复习复习n古典概型的两个基本特点古典概型的两个基本特点:（1 1）所有的基本事件只有有限个）所有的基本事件只有有限个;（2 2）每个基本事件发生都是等可能的）每个基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢相应的概率应如果求呢?2021/8/11 星期三21 1.取一根长度为取一根长度为30cm30cm的绳子，拉直后在任意位置剪的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于断，那么剪得两段的长度都不小于10cm10cm的概率有的概率有多大？多大？从从30cm
2、30cm的绳子上的任意一点剪断的绳子上的任意一点剪断.基本事件基本事件:问题情境问题情境2021/8/11 星期三3 2 2.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色金色靶心叫靶心叫“黄心黄心”.”.奥运会的比赛靶面直径为奥运会的比赛靶面直径为122cm,122cm,靶心直径为靶心直径为12.2cm.12.2cm.运动员在运动员在70m70m外射箭外射箭,假设假设每箭每箭都能中靶都能中靶,且射中靶面内任一点都是等可能的且射中靶面内任一点都是等可能的,那那么射中黄心的概率是
3、多少么射中黄心的概率是多少?射中靶面直径为射中靶面直径为122cm122cm的大圆内的任意一点的大圆内的任意一点.这两个问题能否用古典概型的方法来求解这两个问题能否用古典概型的方法来求解呢呢?怎么办呢怎么办呢?基本事件基本事件:2021/8/11 星期三4 下图是卧室和书房地板的示意图，下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，小图中每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去，猫分别在卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留在某块方砖上。在哪个房间并随意停留在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在黑砖上的概率大？里，小猫停留在黑砖上的概率大？卧 室书 房情
4、境3：2021/8/11 星期三5对于问题对于问题1.1.记剪得两段绳长都不小于记剪得两段绳长都不小于10cm”10cm”为事件为事件A.A.把绳子三把绳子三“等分等分,于是当剪断位置于是当剪断位置处在中间一段上时处在中间一段上时,事件事件A A发生发生.由于中间一段由于中间一段的长度等于绳长的的长度等于绳长的1/3.1/3.2021/8/11 星期三60.010.011221224 41 112.212.24 41 1(B)(B)事件事件B B发生的概率为发生的概率为P P2 22 2=2021/8/11 星期三7 对于一个随机试验对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解我们将每个基本事件理
5、解为从某个特定的几何区域内随机地取一点为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域该区域中的每一个点被取到的机会都一样中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点定区域中的点.这里的区域可以这里的区域可以是是线段、平面图线段、平面图形、立体图形形、立体图形等等.用这种方法处理随机试验用这种方法处理随机试验,称为称为几何概型几何概型.几何概型的特点几何概型的特点:(1)(1)基本事件有无限多个基本事件有无限多个;(2)(2)基本事件发生是等可能的基本事件发生是等可能的.2021/8/11
6、星期三8 一般地一般地,在几何区域在几何区域D D中随机地取一点中随机地取一点,记记“该点落在该点落在其内部一个区域其内部一个区域d d内内”为事件为事件A,A,则事件则事件A A发生的概率发生的概率:注:(2)D(2)D的测度不为的测度不为0,0,当当D D分别是分别是线段、平面图形、线段、平面图形、立体图形立体图形时时,相应的相应的“测度测度”分别是分别是长度、面长度、面积和体积积和体积.（1 1）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型）古典概型与几何概型的区别在于：几何概型是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的是无限多个等可能事件的情况，而古典概型中的等可能事件只有有限多个；等可能事
7、件只有有限多个；2021/8/11 星期三9（3 3）区域应指）区域应指“开区域开区域”，不包含边界，不包含边界点；在区域点；在区域 内随机取点是指：该点内随机取点是指：该点落在落在 内任何一处都是等可能的，落在内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关比而与其性状位置无关2021/8/11 星期三10 例例1.1.取一个边长为取一个边长为2a2a的正方形及其内切圆，的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率内的概率.2a数学应用2021/8/11 星期三
8、11数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率数学拓展：模拟撒豆子试验估计圆周率由此可得由此可得如果向正方形内撒如果向正方形内撒 颗豆子，其中落在圆内的颗豆子，其中落在圆内的豆子数为豆子数为 ，那么当，那么当 很大时，比值很大时，比值 ，即频率应接近与即频率应接近与 ，于是有，于是有2021/8/11 星期三12例例2.2.两根相距两根相距8m8m的木杆上系一根拉直的木杆上系一根拉直绳子绳子,并在绳子上挂一盏灯并在绳子上挂一盏灯,求灯与两求灯与两端距离都大于端距离都大于3m3m的概率的概率.解：记解：记“灯与两端距离都大于灯与两端距离都大于3m”为事件为事件A，由于绳长由于绳长8m，当挂灯位置介于中间
9、，当挂灯位置介于中间2m时，时，事件事件A发生，于是发生，于是2021/8/11 星期三131.1.某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于电台整点报时，求他等待的时间短于1010分钟的概率分钟的概率.2.2.已知地铁列车每已知地铁列车每10min10min一班一班,在车站停在车站停1min.1min.求乘客求乘客到达站到达站 台立即乘上车的概率台立即乘上车的概率.打开收音机的时刻位于打开收音机的时刻位于5050，6060时间段内则事时间段内则事件件A A发生发生.由几何概型的求概率公式得由几何概型的求概率公式得 P
10、P（A A）=（60-5060-50）/60=1/6/60=1/6即即“等待报时的时间不超过等待报时的时间不超过1010分钟分钟”的概率为的概率为1/6.1/6.练一练练一练:解：记解：记“等待的时间小于等待的时间小于1010分钟分钟”为事件为事件A A，2021/8/11 星期三14 3.3.在在1 1万平方公里的海域中有万平方公里的海域中有4040平方公里的大平方公里的大陆贮藏着石油陆贮藏着石油.假如在海域中任意一点钻探假如在海域中任意一点钻探,钻钻到油层面的概率是多少到油层面的概率是多少?练一练练一练:4.4.如右图如右图,假设你在每假设你在每个图形上随机撒一粒个图形上随机撒一粒黄豆黄豆
11、,分别计算它落到分别计算它落到阴影部分的概率阴影部分的概率.2021/8/11 星期三15例例3.3.在在1L1L高产小麦种子中混入了一粒带高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病麦锈病的种子的种子,从中随机取出从中随机取出10mL,10mL,含有麦锈病种子的概含有麦锈病种子的概率是多少率是多少?5.5.有一杯有一杯1 1升的水升的水,其中含有其中含有1 1个大肠个大肠杆菌杆菌,用一个小杯从这杯水中取出用一个小杯从这杯水中取出0.10.1升升,求小杯水中含有这个细菌的概率求小杯水中含有这个细菌的概率.练一练练一练:2021/8/11 星期三161.1.国家安全机关监听录音机记录了两个国家安全机关监听录
12、音机记录了两个间谍的谈话，间谍的谈话，发现发现30min30min的磁带上，从开始的磁带上，从开始30s30s处处起，有起，有10s10s长的一段内容包含间谍犯罪的长的一段内容包含间谍犯罪的 信息后信息后来发现来发现,这段谈话的部分被某工作人员擦掉了，该这段谈话的部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错后起往后的所有内容都被擦掉了那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？擦掉的概率有多大？思思 考考:解解:记事件记事件A:A:
13、按错键使含有犯罪内容的谈话被部分按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉则事件或全部擦掉则事件A A发生就是在发生就是在-minmin时时间段内按错键故间段内按错键故 P(A)=2 2 3 330=1 1 45452021/8/11 星期三17 2.2.(会面问题会面问题)甲、乙二人约定在甲、乙二人约定在 12 12 点到点到 5 5 点之间在点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去某地会面，先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。能会面的概率。解：解：以以 X,
14、YX,Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是于是 即即 点点 M M 落在图中的阴影部落在图中的阴影部分分.所有的点构成一个正所有的点构成一个正方形，即有方形，即有无穷多个结果无穷多个结果.由于每人在任一时刻到达由于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正都是等可能的，所以落在正方形内各点是方形内各点是等可能的等可能的.M(X,Y)y543210 1 2 3 4 5 x2021/8/11 星期三18二人会面的条件是：二人会面的条件是：0 1 2 3 4 5yx54321y=x+1y=x-1记记“两人会面两人会面”为事件为事件A2021/8/11 星期三19练习练
15、习:假设你家订了一份报纸假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上送报人可能在早上6:307:306:307:30之之间把报纸送到你家间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上你父亲离开家去工作的时间在早上7:007:008:008:00之间之间,问你父亲在离开家前能得到报纸问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件称为事件A)A)的概率的概率是多少是多少?解解:以横坐标以横坐标X表示报纸送到时间表示报纸送到时间,以纵以纵坐标坐标Y表示父亲离家时间建立平面表示父亲离家时间建立平面直角坐标系直角坐标系,由于随机试验落在方由于随机试验落在方形区域内任何一点是等可能的形区域内任何一点是等可能的,所所以
16、符合几何概型的条件以符合几何概型的条件.根据题意根据题意,只要点落到阴影部分只要点落到阴影部分,就表示父亲就表示父亲在离开家前能得到报纸在离开家前能得到报纸,即时间即时间A发生发生,所以所以2021/8/11 星期三20课堂小结课堂小结n1.1.古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别.相同：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；两者基本事件的发生都是等可能的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个几何概型要求基本事件有无限多个.n2.2.几何概型的概率公式几何概型的概率公式.n3.3.几何概型问题的概率的求解几何概型问题
17、的概率的求解.2021/8/11 星期三21 1964 1964年年4545月间，小麦锈病在全国麦区流月间，小麦锈病在全国麦区流行，华北、西北冬麦区大流行。据统计，全行，华北、西北冬麦区大流行。据统计，全国发生面积国发生面积800800万公顷，损失小麦约万公顷，损失小麦约3232亿公斤。亿公斤。发病大都以条锈病为主，发病后蔓延快发病大都以条锈病为主，发病后蔓延快,危危害重害重.小麦感病后，由于养料被病菌夺取小麦感病后，由于养料被病菌夺取,叶绿叶绿素遭受破坏素遭受破坏,光合作用面积减少光合作用面积减少,叶片表皮破裂叶片表皮破裂,水分蒸腾量增加水分蒸腾量增加,呼吸作用加强呼吸作用加强,至使麦株生长至使麦株生长发育受阻。感病轻的发育受阻。感病轻的,麦粒不饱满，影响产量麦粒不饱满，影响产量,出粉率差出粉率差;感病重的感病重的,麦粒不能灌浆麦粒不能灌浆,造成大幅度造成大幅度减产减产。麦锈病的危害麦锈病的危害2021/8/11 星期三222、危害。小麦感病后，由养料被病菌夺取，叶绿素遭受破坏，光合作用面积减少，叶片表皮破裂，水分蒸腾量增加，呼吸作用加强，至使麦株生长发育受阻。感病轻的，麦粒不饱满，影响产量，出粉率差；感病重的，麦粒不能灌浆，造成大幅度减产。2021/8/11 星期三232021/8/11 星期三24