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1、命题与四种命题命题与四种命题第一章第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语2021/8/9 星期一1 歌德是歌德是歌德是歌德是18181818世纪德国的一位著名文艺大师，一天，世纪德国的一位著名文艺大师，一天，世纪德国的一位著名文艺大师，一天，世纪德国的一位著名文艺大师，一天，他与一位批评家他与一位批评家他与一位批评家他与一位批评家“狭路相逢狭路相逢狭路相逢狭路相逢”，这位文艺批评家生性，这位文艺批评家生性，这位文艺批评家生性，这位文艺批评家生性古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，古怪，遇到歌德走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，古怪，遇到歌德
2、走来，不仅没有相让，反而卖弄聪明，一边高地往前走。一边大声说道：一边高地往前走。一边大声说道：一边高地往前走。一边大声说道：一边高地往前走。一边大声说道：“我从来不给傻子我从来不给傻子我从来不给傻子我从来不给傻子让路！让路！让路！让路！”而对如此的尴尬的局面，但只是歌德笑容可而对如此的尴尬的局面，但只是歌德笑容可而对如此的尴尬的局面，但只是歌德笑容可而对如此的尴尬的局面，但只是歌德笑容可掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道掏，谦恭的闪在一旁，一边有礼貌回答道“呵呵，我呵呵，我呵呵，我呵呵，我可恰恰相反，可恰恰相反，可恰恰相
3、反，可恰恰相反，”结果故作聪明的批评家，反倒自讨没结果故作聪明的批评家，反倒自讨没结果故作聪明的批评家，反倒自讨没结果故作聪明的批评家，反倒自讨没趣。趣。趣。趣。你能分析此故事中歌德与批评家你能分析此故事中歌德与批评家的言行语句吗？的言行语句吗？2021/8/9 星期一2第一章第一章常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语常用逻辑用语 “数学是思维的科学数学是思维的科学”逻辑是研究思维形式和规律的科学逻辑是研究思维形式和规律的科学.逻辑用语是我们必不可少的工具逻辑用语是我们必不可少的工具.通过学习和使用常用逻辑用语通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑掌握常用逻辑用语的用法用语的用法,纠正出现的
4、逻辑错误纠正出现的逻辑错误,体会运用常用体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性.2021/8/9 星期一3命题及其关系命题及其关系1.1.1 命题2021/8/9 星期一4思考思考下列语句的表述形式有什么特点下列语句的表述形式有什么特点?你能判断你能判断它们的真假吗它们的真假吗?l（1）125;l（2）3是是12的约数的约数;l（3）0.5是整数是整数;l（4）对顶角相等）对顶角相等;l（5）3 能被能被2整除整除;l（6）若）若x2=1,则则x=1.语句都是陈述句，语句都是陈述句，并且可以判断真假。并且可以判断真假。2021/8/9 星期一5命题
5、的概念命题的概念l用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。叫做命题。l判断为真的语句叫做真命题。判断为真的语句叫做真命题。l判断为假的语句叫做假命题。判断为假的语句叫做假命题。l理解：理解：1）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准 必必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。2）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。真假。（1）125;（2）3是是12的约数的约数;（3）0.5是整数是整
6、数;（4）对顶角相等）对顶角相等;（5）3 能被能被2整除整除;（6）若）若x2=1,则则x=1.2021/8/9 星期一6用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？1)7是23的约数吗?2)X5.3)-2a3。6)x4。看看下列语句是不是命题？看看下列语句是不是命题？不是（疑问句）不是（疑问句）不是（疑问句）不是（疑问句）不是（感叹句）不是（感叹句）是（否定陈述句）是（否定陈述句）是（肯定陈述句）是（肯定陈述句）不是（开语句）不是（开语句）2021/8/9 星期一8例
7、例1 1 判断下面的语句是否为命题判断下面的语句是否为命题?若是命题，若是命题，指出它的真假。指出它的真假。(1)(1)空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集.(2)(2)若整数若整数a a是素数是素数,则则a a是奇数是奇数.(3)(3)指数函数是增函数吗指数函数是增函数吗?(4)(4)若平面上两条直线不相交若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行则这两条直线平行.(5)(5)(6)x15.（是，真）（是，真）（是，真）（是，真）（是，假）（是，假）（是，假）（是，假）（不是命题）（不是命题）（不是命题）（不是命题）2021/8/9 星期一9练习练习 判断下列语句是否是命题判断下列语句是否
8、是命题.（1）求证）求证 是无理数。是无理数。（2）（3）你是高二学生吗？）你是高二学生吗？（4）并非所有的人都喜欢苹果。）并非所有的人都喜欢苹果。（5）一个正整数不是质数就是合数。）一个正整数不是质数就是合数。（6）若）若 ，则，则（7）x+30.(1)(3)(7)不是命题，不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题。是命题。2021/8/9 星期一10“若若p则则q”形式的命题形式的命题 命题命题“若整数若整数a是素数，则是素数，则a是奇数。是奇数。”具具有有“若若p则则q”的形式。的形式。qpl通常通常,我们把这种形式的命题中的我们把这种形式的命题中的p叫做命题的叫做命题的条条件件,q叫做
9、命题的叫做命题的结论结论。l“若若p则则q”形式的命题是命题的一种形式而不是形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式唯一的形式,也可写成也可写成“如果如果p,那么那么q”“只要只要p,就有就有q”等形式。等形式。l其中其中p和和q可以是命题也可以不是命题可以是命题也可以不是命题.l“若若p则则q”形式的命题的优点是条件与结论容易形式的命题的优点是条件与结论容易辨别辨别,缺点是太格式化且不灵活缺点是太格式化且不灵活.2021/8/9 星期一11“若若p p则则q”q”形式的命题的书写形式的命题的书写l了解命题表示的判断了解命题表示的判断,明确与判断有关的条件与明确与判断有关的条件与结论。结论。
10、l对于一些条件与结论不明显的命题对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先一般采取先添补一些命题中省略的词句添补一些命题中省略的词句,确定条件与结论。确定条件与结论。l如命题如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行垂直于同一条直线的两个平面平行”。l写成写成“若若p p则则q”q”的形式为：的形式为：若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。平行。2021/8/9 星期一12例例2 指出下列命题中的条件指出下列命题中的条件p和结论和结论q：1)若整数若整数a能被能被2整除，则整除，则a是偶数；是偶数；2)菱形的对角线互相垂直且平分。菱形的对角线互相垂
11、直且平分。解：1)条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a 是偶数。2)写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。2021/8/9 星期一13例例3 3 把下列命题改写成把下列命题改写成“若若p p则则q”q”的的形式形式,并判定真假。并判定真假。(1)(1)负数的平方是正数负数的平方是正数.(2)(2)偶函数的图像关于偶函数的图像关于y y轴对称轴对称.(3)(3)垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行(4)(4)面积相等的两个三角形全等面积相等的两个三角形全等.(5)(5)对顶角相等
12、对顶角相等.真命题真命题真命题真命题假命题假命题假命题假命题真命题真命题2021/8/9 星期一14练习练习1、将命题、将命题“a0时，函数时，函数y=ax+b的值随的值随x值的增加值的增加而增加而增加”改写成改写成“p则则q”的形式，并判断命题的真的形式，并判断命题的真假。假。解答解答:a0时，若时，若x增加，则函数增加，则函数y=ax+b的值也随之的值也随之 增加，它是真命题增加，它是真命题 在本题中，在本题中，a0是大前提，应单独给出，是大前提，应单独给出，不能把大前提也放在命题的条件部分内不能把大前提也放在命题的条件部分内2021/8/9 星期一152、把下列命题改写成“若p,则q”的
13、形式，并判断它们的真假.（1）等腰三角形两腰的中线相等；）等腰三角形两腰的中线相等；（2）偶函数的图象关于）偶函数的图象关于y轴对称；轴对称；（3）垂直于同一个平面的两个平面平行。）垂直于同一个平面的两个平面平行。(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的中线相等。这是真命题。这是真命题。(2)若函数是偶函数，则函数的图象关于若函数是偶函数，则函数的图象关于y轴对称，这是真轴对称，这是真命题。命题。(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。这是假命题。这是假命题。2021/8/9 星期
14、一16命题及其关系命题及其关系1.1.2 四种命题2021/8/9 星期一17下列四个命题中，命题下列四个命题中，命题(1)与命题与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么的条件和结论之间分别有什么关系？关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；2.若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；3.若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；不是周期函数；4.若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。不是正弦函数。2021/8/9 星期一18观察命题观察命题(1)与命题与命题
15、(2)的条件和结论之间的条件和结论之间分别有什么关系？分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；2.若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；互逆命题互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。原原 命命 题题：其中一个命题叫做原命题。：其中一个命题叫做原命题。逆逆 命命 题题：另一个命题叫做原命题的逆命题。：另一个命题叫做原命题的逆命题。pqqp即即 原命题原命题:若若p,则则q逆命题逆命题:若若q
16、,则则p例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”的逆命题是的逆命题是“两两直线平行，同位角相等直线平行，同位角相等”。原命题与其逆原命题与其逆原命题与其逆原命题与其逆命题的真假是命题的真假是命题的真假是命题的真假是否存在相关性否存在相关性否存在相关性否存在相关性呢呢呢呢?2021/8/9 星期一19观察命题观察命题(1)与命题与命题(3)的条件和结论之间的条件和结论之间分别有什么关系？分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；3.若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数不是周期函数.pqp 原
17、命题原命题:若若p,则则qq 为书写简便为书写简便,常把条件常把条件p的否定和结论的否定和结论q的否定分别记作的否定分别记作“p”“q”否命题否命题:若若p,则则q互否命题互否命题 原命题原命题 (原命题的原命题的)否命题否命题例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”的否命题是的否命题是“同同位角不相等，两直线不平行位角不相等，两直线不平行”。原命题与其否原命题与其否原命题与其否原命题与其否命题的真假是命题的真假是命题的真假是命题的真假是否存在相关性否存在相关性否存在相关性否存在相关性呢呢呢呢?2021/8/9 星期一20观察命题观察命题(1)与命题与命题(4)的条
18、件和结论之间的条件和结论之间分别有什么关系？分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；4.若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数不是正弦函数.pqq 原命题原命题:若若p,则则qp逆否命题逆否命题:若若q,则则p 互为逆否命题互为逆否命题 原命题原命题 (原命题的原命题的)逆否命题逆否命题例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”的逆否命题是的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等两直线不平行，同位角不相等”。原命题与其逆原命题与其逆原命题与其逆原命题与其逆否命题的真假否命题的真假否命题的真假
19、否命题的真假是否存在相关是否存在相关是否存在相关是否存在相关性呢性呢性呢性呢?2021/8/9 星期一21、互否命题：互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题互否命题。如果。如果把其中一个命题叫做把其中一个命题叫做原命题原命题，那么另一个叫做，那么另一个叫做原命题的否命原命题的否命题题。、互为逆否命题：互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做二个命题的结论的否定和条件的否定
20、，那么这两个命题叫做互为逆否命题互为逆否命题。、互逆命题：互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫么这两个命题叫互逆命题互逆命题。如果把其中一个命题叫做。如果把其中一个命题叫做原命题原命题，那么另一个叫做原命题的那么另一个叫做原命题的逆命题逆命题。三个概念三个概念2021/8/9 星期一22原命题原命题,逆命题逆命题,否命题否命题,逆否命题逆否命题四种命题形式四种命题形式:l 原命题原命题:l 逆命题逆命题:l 否命题否命题:l逆否
21、命题逆否命题:若若 p,p,则则 q q 若若 q q,则则 p p若若p p,则则q q若若q,q,则则p p2021/8/9 星期一23判断正误判断正误,并说明理由并说明理由:(1)(1)若原命题是若原命题是“对顶角相等对顶角相等”,”,它的否命题是它的否命题是“对顶角不相等对顶角不相等”。(2)(2)若原命题是若原命题是“对顶角相等对顶角相等”,”,它的否命题是它的否命题是“不成对顶关系的不成对顶关系的 两个角不相等两个角不相等”。2021/8/9 星期一24否命题与命题的否定否命题与命题的否定l否命题是用否定条件也否定结论的方式否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。构成新命题。
22、l命题的否定是逻辑联结词命题的否定是逻辑联结词“非非”作用于作用于判断判断,只否定结论不否定条件。只否定结论不否定条件。l对于原命题对于原命题:若若 p,p,则则 q q 有有 否命题否命题:若若p,p,则则q q 。命题的否定命题的否定:若若 p p，则则q q 。2021/8/9 星期一25例例 设原命题是设原命题是“当当c 0 时，若时，若a b，则，则ac bc”，写出，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：解：解：逆命题：当逆命题：当c 0 时，若时，若ac bc，则，则a b 逆命题为真逆命题为真否命题：当否命题
23、：当c 0 时，若时，若a b，则，则ac bc 否命题为真否命题为真逆否命题：当逆否命题：当c 0 时，若时，若ac bc，则，则a b 逆否命题为真逆否命题为真2021/8/9 星期一26原结论原结论 反设词反设词 原结论原结论 反设词反设词 是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成立成立对任何对任何x x，不成立不成立 准准确确地地作作出出反反设设(即即否否定定结结论论)是是非非常常重重要要的的，下面是一些常见的结论的否定形式下面是一些常见的结论的否定形式.不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某存在某x，不成立不成立存在某存在某x，成立成立2021/8/9 星期一27练习：分别写出下列命题的逆命题、否命练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。题、逆否命题，并判断它们的真假。（1）若）若q1,则方程则方程 有实根。有实根。（2）若）若ab=0,则则a=0或或b=0.2021/8/9 星期一28