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1、1.1.1正弦定理2021/8/9 星期一1在在RtABC中中,各角与其对边各角与其对边(角角A的对边的对边一般记为一般记为a，其余类似，其余类似)的关系的关系:不难得到:CBAabc2021/8/9 星期一2在非直角三角形在非直角三角形ABCABC中有这样的关系吗中有这样的关系吗?AcbaCB2021/8/9 星期一3所以AD=csinB=bsinC,即同理可得DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有若三角形是若三角形是锐角三角形锐角三角形,如图如图1,2021/8/9 星期一4且防上面可得D若三角形是若三角形是钝角三角形钝角三角形,且角且角C是是钝角钝角如图如图2,此时也有交BC延长线
2、于D,过点A作ADBC，CAcbB图22021/8/9 星期一5正弦定理:即在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？2021/8/9 星期一6（R为为ABC外接圆半径）外接圆半径）另证:2021/8/9 星期一7证明：证明：OC/cbaCBA作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,2021/8/9 星期一8三角形的面积公式：三角形的面积公式：证明：BACDabc而同理ha2021/8/9 星期一9剖析定理、加深理解1 1、正弦定理可以解决三角形中的问题：、正弦定理可以解决三角形中的问题：已知已知两角和一边两角和
3、一边，求其他角和边，求其他角和边 已知已知两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角，求另一边，求另一边的对角，进而可求其他的边和角的对角，进而可求其他的边和角 一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角A A，B B，C C和它们的对和它们的对边边a a，b b，c c叫做叫做三角形的元素三角形的元素。已知三角形的几个元。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫素求其他元素的过程叫解三角形解三角形2021/8/9 星期一10剖析定理、加深理解2 2、A+B+C=A+B+C=3 3、大角对大边，大边对大角、大角对大边，大边对大角2021/8/9 星期一11剖析定理、加深理解4 4、正弦定理的
4、变形形式、正弦定理的变形形式5 5、正弦定理、正弦定理，可以用来判断三角形的，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化系的转化2021/8/9 星期一12定理的应用例例 1 1、在、在ABC ABC 中，已知中，已知c=10,c=10,A=45A=45。,C=30,C=30。，解三角形解三角形(精确到精确到0.010.01）已知两角和任意边，已知两角和任意边，求其他两边和一角求其他两边和一角BACabc2021/8/9 星期一131.根据下列条件解三角形(1)b=13，a=26，B=30.练习(2)b=40，c=20，C=45.A=90，
5、C=60，c=无解2021/8/9 星期一14例 2、已知a=16，b=，A=30.解三角形已知两边和其中一边已知两边和其中一边的对角的对角,求其他边和角求其他边和角解：由正弦定理得所以60,或120当 时60C=90C=30当120时B16300ABC163162021/8/9 星期一152021/8/9 星期一16练习练习2、在、在 ABC中，若中，若 a=2bsinA，则，则B A、B、C、D、或或或或练习练习3、在、在 ABC中，中，则，则 ABC的形状是的形状是 A、等腰三角形、等腰三角形 B、直角三角形、直角三角形 C、等腰直角三角形、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形、等腰三角形或直角三角形练习练习1、在、在 ABC中，若中，若A：B：C=1：2：3，则，则 a:b:c()A、1:2:3 B、3:2:1 C、1:2 D、2:1自我提高！自我提高！2021/8/9 星期一17课堂小结（3）正弦定理应用范围：已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)(1)正弦定理：2R（2）2021/8/9 星期一18