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1、3.2 均值不等式 2021/8/9 星期一星期一1 如果如果a，b R，那么那么a2+b22ab（当且仅当（当且仅当a=b 时取时取“=”）证明：证明：1指出定理适用范围：指出定理适用范围：2强调取强调取“=”的条件：的条件：重要不等式：重要不等式：2021/8/9 星期一星期一2 如果如果a,bR+，那么，那么（当且仅当（当且仅当a=b时，式中等号成立）时，式中等号成立）证明：证明：即：即：当且仅当当且仅当a=b时时均值不等式：均值不等式：2021/8/9 星期一星期一3注意注意1适用的范围：适用的范围：a,b 为非负数为非负数.2语言表述：两个非负数的算术平语言表述：两个非负数的算术平均
2、数不小于它们的几何平均数。均数不小于它们的几何平均数。称称为为a，b 的算术平均数的算术平均数，3.我们把不等式我们把不等式 (a0,b0)称为基本不等式称为基本不等式称称的几何平均数的几何平均数。为为a，b2021/8/9 星期一星期一4几何直观解释：几何直观解释：令正数令正数a，b为两条线段的长，用几何作图为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为的方法，作出长度为 和和的两条线段，然后比较这两条线段的长。的两条线段，然后比较这两条线段的长。具体作图如下：具体作图如下：（1）作线段）作线段AB=a+b，使，使AD=a，DB=b,（2）以）以AB为直径作半圆为直径作半圆O；（3）过）过D点
3、作点作CDAB于于D，交半圆于点，交半圆于点C2021/8/9 星期一星期一5（4）连接）连接AC，BC，CA，则，则当当ab时，时，OCCD，即，即当当a=b时，时，OC=CD，即，即2021/8/9 星期一星期一6把把看做两个看做两个正数正数a，b的等差中项，的等差中项，看做看做正数正数a，b的等比中项，的等比中项，那么上面不等式可以叙述为：那么上面不等式可以叙述为：两个正数的等差中项两个正数的等差中项不小于不小于它们的等比它们的等比中项。中项。2021/8/9 星期一星期一7 例例1.已知已知x0,y0,xy=24,求求4x+6y的最小值，的最小值，并说明此时并说明此时x,y的值的值 练
4、习练习1.已知已知a+b=4,求求y=2a+2b的最小值的最小值当且仅当当且仅当2021/8/9 星期一星期一8例2、已知ab0，求证：并推导出式中等号成立的条件。练习2、已知，求证2021/8/9 星期一星期一9例3、已知，求函数的最小值.练习3、已知，求函数的最大值.思考：已知，求函数的值域.2-22021/8/9 星期一星期一10例例4已知函数，已知函数，求函数的最小值求函数的最小值2021/8/9 星期一星期一11课后延伸：课后延伸：已知已知x0,y0,且且x+y=1,求求的最小值的最小值练习：练习：已知已知x,y为正数为正数,且且2x+y=2求求 最小值最小值提示：提示：“1”的妙用的妙用2021/8/9 星期一星期一12下面几道题的解答可能下面几道题的解答可能有错有错，如果，如果错了错了，那么那么错错在哪里？在哪里？已知函数已知函数 ，求函数的，求函数的最小值和此时最小值和此时x的取值的取值 运用均值不等式的过程中，忽略了运用均值不等式的过程中，忽略了“正数正数”这个条件这个条件2021/8/9 星期一星期一13已知函数，已知函数，求函数的最小值求函数的最小值 用均值不等式求最值，必须满足用均值不等式求最值，必须满足“定值定值”这这个条件个条件2021/8/9 星期一星期一14