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1、时间：2006年9月20日函数的奇偶性函数的奇偶性2021/8/9 星期一1引 入课题：1.已知函数f(x)=x2,求f(0),f(-1),f(1),f(-2),f(2),及f(-x),并画出它的图象。解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(0)=0,f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=(-x)2=x22.已知f(x)=x3,求f(0),f(-1),f(1)f(-2),f(2),及f(-x),并画出它的图象.解:f(-2)=(-2)3=-8 f(2)=8f(0)=0,f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3思考:函数图象上横坐标互为相反
2、数的点的纵坐标有什么关系？f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-2)=-f(2)f(-1)=-f(1)-xxf(-x)f(x)-xf(-x)xf(x)xyoxyo(x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,y)f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)2021/8/9 星期一21.函数奇偶性的概念:偶函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫偶函数.奇函数定义:如果对于f(x)定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫奇函数.2021/8/9 星期一3对奇函数、偶函数定义的说明:(1).函数具有奇偶性的前提是
3、：定义域关于原点对称。a,b-b,-axo（2）若f(x)为奇函数,则f(-x)=f(x)成立。若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)成立。（3）如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。2021/8/9 星期一4练习1.说出下列函数的奇偶性:偶函数奇函数奇函数奇函数f(x)=x4 _ f(x)=x-1 _ f(x)=x _奇函数f(x)=x-2 _偶函数 f(x)=x5 _f(x)=x-3 _ 结论：一般的，对于形如 f(x)=x n 的函数，若n为偶数，则它为偶函数。若n为奇数，则它为奇函数。2021/8/9 星期一5例1.判断下列函数的奇偶性(1)f(
4、x)=x3+2x (2)f(x)=2x4+3x2解:f(-x)=(-x)3+2(-x)=-x3-2x=-(x3+2x)=-f(x)f(x)为奇函数 f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2=f(x)f(x)为偶函数定义域为R解:定义域为R 小结：用定义判断函数奇偶性的步骤:先求定义域，看是否关于原点对称;再判断f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立。2021/8/9 星期一6练习2.判断下列函数的奇偶性(2)f(x)=-x2+1f(x)为奇函数 f(-x)=-(-x)2+1 =-x2+1f(x)为偶函数(1)f(x)=x-1x解：定义域为x|x0解：定义域为Rf(-
5、x)=(-x)-1-x=-x+1 x=-f(x)=f(x)2021/8/9 星期一7(3).f(x)=5 (4)f(x)=0解:f(x)的定义域为R f(-x)=f(x)=5 f(x)为偶函数解:定义域为R f(-x)=0=f(x)又 f(-x)=0=-f(x)f(x)为既奇又偶函数yox5oyx结论:函数f(x)=0 (定义域关于原点对称），为既奇又偶函数。2021/8/9 星期一8(5)f(x)=x2+x解:f(-1)=0,f(1)=2 f(-1)f(1)，f(-1)-f(1)f(x)为非奇非偶函数(6)f(x)=x解:定义域为 0,+)定义域不关于原点对称f(x)为非奇非偶函数2021/
6、8/9 星期一9(7)f(x)=3x解:定义域为R f(-x)=3-x =-3x =-f(x)f(x)为奇函数 小结：根据奇偶性,函数可划分为四类:奇函数偶函数既奇又偶函数非奇非偶函数2021/8/9 星期一10解(1)1-x20|x+2|2-1x1 x0且x-4-1x 1且x 0定义域为-1,0)(0,11-x2（2）f(x)=(x+2)-2（3）f(-x)=1-(-x)2-x1-x2 x-=f(x)为奇函数.例2.判断函数f(x)=的奇偶性。（1）求函数的定义域（2）化简函数表达式（3）判断函数的奇偶性|x+2|-21-x21-x2 x=-f(x)2021/8/9 星期一11奇函数的图象奇
7、函数的图象(如如y=xy=x3 3)偶函数的图象偶函数的图象(如如y=xy=x2 2)yxoaaP/(-a,f(-a)p(a,f(a)-ayxoaP/(-a,f(-a)p(a,f(a)-a(-a,-f(a)(-a,f(a)2.奇偶函数图象的性质:2021/8/9 星期一122.奇偶函数图象的性质:奇函数的图象关于原点对称.反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数为奇函数.偶函数的图象关于y轴对称.反过来,如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数为偶函数.注：奇偶函数图象的性质可用于：.判断函数的奇偶性。.简化函数图象的画法。2021/8/9 星期一13oyx例3 已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如图，画出y=f(x)在 y轴左边的图象。解：画法略2021/8/9 星期一14本课小结:1.两个定义:对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)f(x)为奇函数。如果都有f(-x)=f(x)f(x)为偶函数。2.两个性质:一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称。一个函数为偶函数 它的图象关于y 轴对称。2021/8/9 星期一15书面作业：P43 习题6（A组）B组第3题 2021/8/9 星期一162021/8/9 星期一17