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1、v第九章第九章(B)直直线线、平面、平面、简单简单几何体几何体2021/8/8 星期日1v2012高考调研v考纲要求v理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘v1了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算v2掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两点间距离公式v3理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念v注：其他同第九章(A)2021/8/8 星期日2v考情分析v空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，在高考中占有重要位置在建立了空间直角坐标系后，用坐标表示向量，进行向量的有关运算运用向量工
2、具解决立体几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题，是立体几何考查的新方向，因此必将在高考中重点体现和重点考查v从近几年高考试卷来看，涉及空间角(空间向量)和存在性(开放性)问题的试题，难度多为中档或高档v立体几何试题一般有大、小3道题，分值约22分，占试卷总分的15%左右 2021/8/8 星期日3v 第四十七第四十七讲v(第四十八第四十八讲(文文)空空间向量及其运算向量及其运算2021/8/8 星期日4v回归课本v1.空间向量及其加减与数乘运算v(1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量v(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量对应运算的推广
3、v(3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律v加法交换律：abbav加法结合律：(ab)ca(bc)v数乘分配律：(ab)ab2021/8/8 星期日5v2共线向量与共面向量v(1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量v(2)平行于同一平面的向量叫做共面向量空间任意两个向量总是共面的v(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.2021/8/8 星期日62021/8/8 星期日72021/8/8 星期日82021/8/8 星期日92021/8/8 星期日10v答案：D2021/8/8 星期日11v答案：B2
4、021/8/8 星期日122021/8/8 星期日13v答案：A2021/8/8 星期日14v答案：02021/8/8 星期日15v答案：2021/8/8 星期日16v类型一空间向量的基本定理的应用v解题准备：1.对空间向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数k，使akb.共线向量定理可以分解为以下两个命题：ab(b0)存在唯一实数，使ab.若存在唯一实数，使ab(b0)，则ab.v2空间两向量平行与空间两直线平行是不同的，直线平行是不允许重合的，而两向量平行，它们所在的直线可以平行也可以重合2021/8/8 星期日172021/8/8 星期日182021/8/8 星期日192021/8/
5、8 星期日20v答案2021/8/8 星期日21v探究1：设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点求证：M、N、P、Q四点共面2021/8/8 星期日222021/8/8 星期日23v类型二利用空间向量证明平行与垂直v解题准备：利用空间向量证明空间中的平行关系时：v(1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量v(2)证明线面平行的方法：v证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；v证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；v利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向
6、量是共面向量2021/8/8 星期日24v(3)证明面面平行的方法：v转化为线线平行、线面平行处理；证明这两个平面的法向量是共线向量v(4)证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直v(5)证明线面垂直的方法：v证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；v证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直v(6)证明面面垂直的方法：v转化为线线垂直、线面垂直处理；v证明两个平面的法向量互相垂直2021/8/8 星期日25v【典例2】(理)如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E，F分别是AB，SC的中点求证：EF平面SAD.2021/8/8 星期日26
7、2021/8/8 星期日27v点评由空间向量基本定理，在确定了空间的一个基底后，任意向量都能用它们来表达，再由共面向量定理解决问题，这是本例的基本思路，本题的这个方法是证明线面平行的最基本的方法2021/8/8 星期日28v(文)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M分别为棱BB1、CD、AA1的中点求证：v(1)C1M平面ADE；(2)平面ADE平面A1D1F.2021/8/8 星期日292021/8/8 星期日302021/8/8 星期日312021/8/8 星期日32v4利用空间向量法求直线与平面所成的角，可以有两种方法：一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量
8、，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角v5求二面角的大小，如图所示，在二面角l中，n1和n2分别为平面和的法向量记二面角l的大小为，由cosn1，n2m得，若二面角为锐角，则arccos|m|；若二面角为钝角，则arccos|m|.2021/8/8 星期日33v【典例3】如图，在正四面体ABCD中(1)求AD与平面BCD所成的角；(2)求二面角ABCD的大小2021/8/8 星期日342021/8/8 星期日352021/8/8 星期日362021/8/8 星期日37v点评两个向量相加减，
9、三角形法则、平行四边形法则在空间仍成立要求空间若干向量之和，可以通过平移，将它们转化为首尾相接的向量2021/8/8 星期日38v探究2：如图，v已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与AB、AD的夹角都是120，求：v(1)AC1的长；v(2)直线BD1与AC所成角的余弦值2021/8/8 星期日392021/8/8 星期日402021/8/8 星期日412021/8/8 星期日422021/8/8 星期日432021/8/8 星期日44v类型四利用空间向量求空间距离v解题准备：求两点间的距离即线段的长度，可以转化为求向量的模，运
10、用求模公式|a|.运用空间向量解题，应注意选取恰当的基底对相应向量进行合理的分解，基底的选取应考虑：一是三个向量要不共面，二是这三个向量中两两的夹角都能求出，一般在四面体和正方体、长方体中都是以从同一个顶点出发的三条棱所在向量作为基底2021/8/8 星期日452021/8/8 星期日462021/8/8 星期日472021/8/8 星期日48v点评由于线段的长度是实数，实数与向量之间如何转化是思维中的常见障碍在向量性质中，|a|2aa提供了向量与实数相互转化的工具，运用此公式，可使线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题 2021/8/8 星期日492021/8/8 星期日50v答案：5v点评：本题利用向量的特殊位置关系反向，得出空间两点距离的最大值，避免了复杂的点、线、面间关系的讨论 2021/8/8 星期日512021/8/8 星期日52