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1、v第第四四十十二二讲(第第四四十十三三讲(文文)直直线和和平平面面垂直与平面和平面垂直垂直与平面和平面垂直2021/8/8 星期日1v回归课本v1.直线与平面垂直v(1)直线和平面垂直的定义v如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直v这条直线平面的垂线v平面直线的垂面v交点垂足垂线在平面内的射影v直线l垂直于平面，记作l.2021/8/8 星期日2v(3)直线与平面垂直的性质定理va，bab；a，bab；va，bab.v(4)点到平面的距离的定义v从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离2021/8/8
2、 星期日3v(5)直线和平面的距离的定义v一条直线和一个平面平行，这条直线上任一点到这个平面的距离叫做这条直线和平面的距离v线到平面的距离是用点到平面的距离来度量的v(6)判定直线与平面垂直的方法v定义；v判定定理；vab，ab；v，aa；vl，l.2021/8/8 星期日4v(7)垂直关系的转化v其中线面是线线、面面转化关系的枢纽，在证题过程中关键要寻求“三级”转化的条件，确定转化目标2021/8/8 星期日5v2三垂线定理及逆定理v(1)三垂线定理v在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直vPO，PA分别为的垂线，斜线，OA是PA在内的射影，a且aO
3、AaPA.2021/8/8 星期日6v(2)三垂线定理的逆定理v在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直v(3)斜线在平面内的射影及射影长定理v连结斜足及斜线上不同于斜足的一点在平面内的射影，所得直线称为斜线在平面内的射影，从平面外一点向平面引垂线和若干条斜线，斜线段长相等射影长相等2021/8/8 星期日7v3平面与平面垂直的有关定理v(1)判定定理v如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直vAB，AB.v(2)性质定理v若，l，m且ml，则m.v若，点P，Pm且m，则m.v若，m，则m.2021/8/8 星期日8v4方法v(1)
4、平面与平面垂直的判定方法v定义法；定理：m，m，则；vm，m，则.v(2)“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”的相互转化在证明两平面垂直时，一般先从现有直线中寻找平面的垂线若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据，并有利于证明，不能随意添加如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，故要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化作用正确进行它们之间的转化是解决这类问题的关键2021/8/8 星期日9v考点陪练v1.已知平面平面，l，Pl，则给出下面四个结论()v过P和l垂直
5、的直线在内；v过P和垂直的直线在内；v过P和l垂直的直线必与垂直；v过P和垂直的平面必与l垂直v其中正确的命题是vABvC Dv解析：满足条件的直线在过点P与l垂直的平面内，故不对；由平面与平面垂直的性质定理知是正确的；满足中条件的直线可在内，故不对；对于，过P与垂直的平面可绕P点转动，不一定与l垂直，故不对v答案：A2021/8/8 星期日10v2正四面体中面SDQ在该四面体的四个面上的射影可能是()2021/8/8 星期日11vA BvC Dv解析：SDQ在面ABD上的射影为图，SDQ在面ABC上的射影为图，SDQ在面BDC上的射影为图，因此选D.v答案：D2021/8/8 星期日12v3
6、平面平面的一个充分条件是()vA存在一条直线l，l，lvB存在一个平面，vC存在一个平面，vD存在一条直线l，l，lv解析：对于A，由l，l知，或与重合；对于B，由，知；对于C，由，知，与平行或相交；都不符合要求，排除选择D.v答案：D2021/8/8 星期日13v4直线a，b是不互相垂直的异面直线，平面，满足a，b，且，则这样的平面，()vA有无数对 B有有限对vC只有一对 D不存在v解析：过直线a作任意一个平面，则直线bB，且b，在b上取异于B的点C，作CD于D，则平面BCD.v答案：Av点评：就是教室里黑板面和地面垂直的模型，这是高考的热门话题因此，记住一些有用的模型，对于快速解答有关问
7、题是大有帮助的2021/8/8 星期日14v5(2011荆州质量检查)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是棱BC、DD1上的点，如果B1E平面ABF，则点E、F满足的条件一定是()2021/8/8 星期日15v解析：取AD上一点M，使AMBE，连结A1M，则只需满足A1MAF，即得B1E平面ABF，则由平面几何的知识可得：只需MDDF1，即CEDF1.v答案：B 2021/8/8 星期日162021/8/8 星期日172021/8/8 星期日18v【典例1】RtABC所在平面外一点S，且SASBSC，D为斜边AC的中点v(1)求证：SD平面ABC；v(2)若ABBC.求
8、证：BD平面SAC.v分析利用线面垂直的判定定理即可得证v证明(1)取AB中点E，连结SE，DE，v在RtABC中，D、E分别为AC、AB的中点，v故DEBC，且DEAB，2021/8/8 星期日19vSASB，SAB为等腰三角形，vSEAB.vSEBA，DEAB，SEDEE，vAB面SDE.v而SD面SDE，ABSD.v在SAC中，SASC，D为AC的中点，SDAC.vSDAC，SDAB，ACABA，vSD平面ABC.v(2)若ABBC，则BDAC，v由(1)可知，SD面ABC，而BD面ABC，SDBD.vSDBD，BDAC，SDACD，vBD平面SAC.2021/8/8 星期日20v点评证
9、线面垂直的方法有：v(1)利用定义，即证直线垂直于平面内任一直线v(2)利用线面垂直的判定定理，它是判定线面垂直的最常用思路v(3)利用线面垂直的性质，即两平行线之一垂直于平面，则另一条线必垂直于该平面v(4)利用面面垂直的性质定理，即两平面互相垂直，在一个面内垂直于交线的直线垂直于另一平面v(5)用面面平行的性质，即一直线垂直于两平行平面之一，则必垂直于另一平面v(6)用面面垂直的性质，即两相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面2021/8/8 星期日21v探究1：P为ABC所在平面外一点，且PA平面ABC，若O、Q分别为ABC和PBC的垂心，求证：OQ平面PCB.v证明：
10、如图，连结AO并延长交BC于E，连结PE.vO为ABC的垂心，AEBC.vPA平面ABC，BC平面ABC，vPABC.vPAAEA，BC平面PAE.vPE平面PAE，BCPE.2021/8/8 星期日22vQ为PBC的垂心，QPE，即OQ平面PAE，vBCOQ.v连结BO并延长交AC于F，连结BQ并延长交PC于H，连结FH.vO为ABC的垂心，BFAC.v又PABF，ACBF，PAACA，vBF平面PAC.v而PC平面PAC，BFPC.v又BHPC，BFBHB，PC平面BFH.v而OQ平面BFH，PCOQ.v又BCOQ，PCBCC，OQ平面PBC.2021/8/8 星期日23v类型二面面垂直的
11、判定与性质v解题准备：利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并有利于证明，不能随意添加2021/8/8 星期日24v【典例2】如图，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中点，求证：v(1)DEDA；v(2)平面BDM平面ECA；v(3)平面DEA平面ECA.v分析(1)要证明DEDA，只需证明RtDFERtDBA；v(2)注意M为EA的中点，可取CA的中点N，先证明N点在平面BDM内，再证
12、明平面BDMN经过平面ECA的一条垂线即可；v(3)仍需证明平面DEA经过平面ECA的一条垂线2021/8/8 星期日252021/8/8 星期日26vMNBD，N点在平面BDM内vEC平面ABC，ECBN，又CABN，vBN平面ECA.vBN在平面MNBD内，v平面MNBD平面ECA.v即平面BDM平面ECA.v(3)DMBN，BN平面ECA，vDM平面ECA，又DM平面DEA.v平面DEA平面ECA.v点评本题涉及线面垂直，面面垂直的性质和判定，其中证明BN平面ECA是关键2021/8/8 星期日27v探究2：如图，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，ABAC，侧面BB1C1
13、C底面ABC.v(1)若D是BC的中点，求证：ADCC1；v(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AMMA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；v(3)AMMA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由2021/8/8 星期日28v分析：(1)显然；对于(2)，延长B1A1与BM是一个好方法；(3)的结论是肯定的，证必要性时，辅助线要重新作出v解析：(1)证明：ABAC，D是BC的中点，vADBC，v底面ABC侧面BB1C1C，vAD侧面BB1C1C，CC1侧面BB1C1CvADCC1.v(2)证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N.vAMMA1，
14、NA1A1B1vA1B1A1C1，A1C1A1NA1B1，vC1NC1B1，2021/8/8 星期日29v底面NB1C1侧面BB1C1C，vC1N侧面BB1C1C.v截面C1NB侧面BB1C1C，v截面MBC1侧面BB1C1C.v(3)结论是肯定的，充分性已由v(2)证明，下面证必要性v过M作MEBC1于E.v截面MBC1侧面BB1C1C，vME侧面BB1C1C，v又AD侧面BB1C1C，2021/8/8 星期日30v点评：证明面面垂直，需要证线面垂直；而要证线面垂直，需要证线线垂直，即线线垂直线面垂直面面垂直2021/8/8 星期日31v类型三三垂线定理及其逆定理的应用v解题准备：1.不同的
15、选择，使问题的解决有难有易，由此也体现出灵活性并非轻而易举地获得，而需要加强训练v2三垂线定理及其逆定理主要用于：v(1)立体几何的证明问题，如线线垂直、线面垂直、面面垂直；v(2)立体几何的计算问题，如求空间一点到平面内某一直线的距离，求两平行直线间的距离，求两条异面直线所成的角等；v(3)二面角问题，主要是构造二面角的平面角2021/8/8 星期日32v【典例3】在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为棱DD1的中点，O为底面正方形ABCD的中心，求证：B1OPA.v证明证法一：如图所示vB1B平面ABCD，vB1BAO.v又BDAO，B1BBDB，vAO平面BDD1B1.v故PO是PA在
16、面BDD1B1内的射影2021/8/8 星期日332021/8/8 星期日34v证法二：如图所示，取AD的中点M，连结OM，则OM平面A1ADD1.v又B1A1平面A1ADD1，vA1M是B1O在平面A1ADD1内的射影v在正方形A1ADD1中，M为AD的中点，P为DD1的中点，PAA1M.vPAB1O(三垂线定理)2021/8/8 星期日35v探究3：如图，已知：平面PAB平面ABC，平面PAC平面ABC，E是点A在平面PBC内的射影v(1)求证：PA平面ABC；v(2)当E为PBC的垂心时v求证：ABC是直角三角形2021/8/8 星期日36v证明：(1)如下图，在平面ABC内取一点D，作
17、DFAC于F.v平面PAC平面ABC，且交线为AC.vDF平面PAC.vPA平面PAC.vDFPA，v作DGAB于G，同理可证：DGPA.vDG、DF都在平面ABC内，且DGDFD，vPA平面ABC.2021/8/8 星期日37v(2)连结BE交PC于H.vE是PBC的垂心，PCBE.v又已知AE是平面PBC的垂线，v由三垂线定理知PCAB.vPA平面ABC，PAAB，AB平面PAC.vABAC，即ABC是直角三角形2021/8/8 星期日382021/8/8 星期日39v【典例4】如图，已知矩形ABCD，过A作SA平面AC，再过A作AESB交SB于E，过E作EFSC交BC于F.v(1)求证：
18、AFSC；v(2)若平面AEF交SD于G.求证：AGSD.v证明(1)SA平面AC，BC平面AC，SABC.vABCD为矩形，ABBC且SAABA.vBC平面SAB.v又AE平面SAB，BCAE.v又SBAE且SBBCB，AE平面SBC，v又SC平面SBC，AESC.v又EFSC且AEEFE，SC平面AEF.v又AF平面AEF，AFSC.2021/8/8 星期日40v(2)SA平面AC，DC平面AC，SADC.v又ADDC，SAADA，DC平面SAD，v又AG平面SAD，DCAG.v又由(1)有SC平面AEF，AG平面AEF，vSCAG且SCCDC，AG平面SDC，v又SD平面SDC，AGSD
19、.2021/8/8 星期日41v探究4：如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.v(1)若G为AD边的中点，求证：BG平面PAD；v(2)求证：ADPB；v(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论2021/8/8 星期日42v证明：(1)在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，v所以BGAD，又平面PAD平面ABCD，v平面PAD平面ABCDAD，v所以BG平面PAD.v(2)连结PG，由PAD为正三角形，vG为AD的中点，得PGAD，v由(1)知BG
20、AD，PGBGG，v所以AD平面PGB.v因为PB平面PGB，v所以ADPB.2021/8/8 星期日43v(3)当F为PC的中点时，v满足平面DEF平面ABCD.v取PC的中点F，连结DE、EF、DF，v在PBC中，FEPB，vEF平面PBG.v在菱形ABCD中，GBDE，vDE平面PBG，FE平面DEF，vDE平面DEF，EFDEE，v所以平面DEF平面PGB，v由(1)得：PG平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，v所以平面DEF平面ABCD.2021/8/8 星期日44v快速解题v技法如图，l，PO于O，PQ于Q，且RS于S，RPO，求证：QSl.2021/8/8 星期日452021/8/8 星期日46