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1、2.2.3 向量数乘运算向量数乘运算及其几何意义及其几何意义2021/8/8 星期日11.1.向量向量加法加法三角形法则三角形法则:首尾相连，始到终首尾相连，始到终共起点，对角线共起点，对角线BAO共起点，后到前共起点，后到前2.2.向量向量加法加法平行四边形法则平行四边形法则:3.3.向量向量减法减法三角形法则三角形法则:2021/8/8 星期日2已知非零向量已知非零向量 ,作出作出 ,你能发现什么？你能发现什么？类比上述结论，类比上述结论，又如何呢？又如何呢？OABCPQMN与与 方向相同方向相同与与 方向相反方向相反探究探究1：2021/8/8 星期日3 一般地，我们规定实数一般地，我们
2、规定实数与向量与向量 的积是一个的积是一个向量向量，这种运算叫做这种运算叫做向量的数乘向量的数乘，记作，记作 ，它的长度和方向，它的长度和方向规定如下：规定如下：（1 1）（2 2）当）当 时，时，的方向与的方向与 的方向的方向相同相同；当当 时，时，的方向与的方向与 的方向的方向相反相反。特别的，当特别的，当 时，时，课本课本P90,P90,练习练习2,32,3练一练练一练:2021/8/8 星期日4(1)根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(2a)和和(6a)(a为非零向量为非零向量)，并进行比较。，并进行比较。=(2)已知向量已知向量 a,b，求作向量，求作向量2(a+b)和和2a+2
3、b，并，并进行比较。进行比较。探究探究2：2021/8/8 星期日51、向量的数乘运算满足如下运算律：2021/8/8 星期日6例例1、计算下列各式、计算下列各式课本课本P90,P90,练习练习5 5练一练练一练:2021/8/8 星期日7成立成立探究探究3：2021/8/8 星期日83、向量共线定理：、向量共线定理：课本课本P90,P90,练习练习4 4 练一练练一练:思考思考思考思考:1):1):1):1)为什么要是非零向量为什么要是非零向量为什么要是非零向量为什么要是非零向量?2)2)2)2)可以是零向量吗可以是零向量吗可以是零向量吗可以是零向量吗?2021/8/8 星期日9例2 如图，
4、已知AD=3AB，DE=3BC，试判断AC与AE是否共线。与与 共线共线 解：解：2021/8/8 星期日10例例3.如图，已知任意两个向量如图，已知任意两个向量 ，试作，试作你能判断你能判断A、B、C三点之三点之间的位置关系吗？为什么？间的位置关系吗？为什么？ABCO2021/8/8 星期日11证明证明证明证明三点共线三点共线三点共线三点共线的方法的方法的方法的方法:AB=BC 且有公共点且有公共点且有公共点且有公共点A,B,CA,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线2021/8/8 星期日12例例5.如图，平行四边形如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点的两条对角线相交于点M，且，
5、且 ，你能用，你能用 、来表示来表示 。ABDCM课本课本P92,11P92,11、1212题题练一练练一练:2021/8/8 星期日13一、一、a 的定义及运算律的定义及运算律 向量共线定理向量共线定理 (a0)b=a 向量向量a与与b共线共线 二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：二、定理的应用：1.1.证明证明证明证明 向量共线向量共线向量共线向量共线 2.2.证明证明证明证明 三点共线三点共线三点共线三点共线:AB=:AB=BC BC 且有公共点且有公共点且有公共点且有公共点 3.3.证明证明证明证明 两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行:AB=AB=CDCD AB AB与与与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上不在同一直线上直线直线直线直线ABAB 直线直线直线直线CDCDA,B,CA,B,C三点共线三点共线三点共线三点共线ABAB CDCD2021/8/8 星期日142021/8/8 星期日15