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1、22等差数列等差数列22.1等差数列的概念等差数列的概念课标要求：课标要求：1.理解等差数列的概念，会判断一个数列是理解等差数列的概念，会判断一个数列是否为等差数列否为等差数列2掌握等差中项的概念，并会运用等差中项解决简单掌握等差中项的概念，并会运用等差中项解决简单问题问题重点难点：重点难点：本节重点：等差数列的定义和等差中项本节重点：等差数列的定义和等差中项本节难点：对等差数列定义的理解和应用本节难点：对等差数列定义的理解和应用课标定位课标定位基础知识梳理基础知识梳理1等差数列的有关概念等差数列的有关概念定义：一般地，如果一个数列从第定义：一般地，如果一个数列从第_项起，每一项项起，每一项减
2、去它的减去它的_所得的所得的差差都等于都等于_常数，那么这常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_，公差通常用，公差通常用_表示表示说明：说明：(1)由定义可知，如果由定义可知，如果anan1(n2)是同一个是同一个常数，那么数列常数，那么数列an就是等差数列就是等差数列(2)对于公差对于公差d，需强调的是它是每一项与前一项的差，需强调的是它是每一项与前一项的差(从第从第2项起项起)，要防止把被减数与减数弄颠倒，要防止把被减数与减数弄颠倒二二前一项前一项同一个同一个公差公差d2等差中项等差中项定义：如果定义：如果a，A，b这三个数成
3、这三个数成_，则，则A叫做叫做a和和b的等差中项的等差中项说明：说明：(1)a，A，b成等差数列成等差数列A是是a与与b的等差中项的等差中项AabA2AabA.(2)等差数列从第二项起，每一项是它前一项与后一项等差数列从第二项起，每一项是它前一项与后一项的等差中项，一个等差数列至少有三项的等差中项，一个等差数列至少有三项(3)三个数成等差数列，可依次设为三个数成等差数列，可依次设为ad，a，ad；四；四个数成等差数列，可依次设为个数成等差数列，可依次设为a3d，ad，ad，a3d.等差数列等差数列课堂互动讲练课堂互动讲练1在等差数列中要强调在等差数列中要强调“从第从第2项起项起”和和“同一个常
4、数同一个常数”，也就是说，若一个数列不是从第，也就是说，若一个数列不是从第2项起，而是从第项起，而是从第3或第或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，则该数列不是等差数列；若一个数列从第则该数列不是等差数列；若一个数列从第2项起，每一项起，每一项与它的前一项的差是个常数，但这个常数不相同，项与它的前一项的差是个常数，但这个常数不相同，则这个数列一定不是等差数列则这个数列一定不是等差数列题型一题型一题型一题型一等差数列有关概念的理解等差数列有关概念的理解2虽然等差数列的任意一项减去它的后一项也是同一虽然等差数列的任意一项减去它的后一项也是同一个常
5、数，但它不是公差，而是公差的相反数个常数，但它不是公差，而是公差的相反数已知数列已知数列an的通项公式的通项公式anpnq，其中，其中p、q为为常数，且常数，且p0，那么数列，那么数列an是否为等差数列？如果是，是否为等差数列？如果是，求其首项与公差求其首项与公差【分析分析】根据等差数列的定义可知，要证明一个数根据等差数列的定义可知，要证明一个数列是等差数列，只要说明该数列从第二项起，每一项列是等差数列，只要说明该数列从第二项起，每一项与它前一项的差为同一个常数，即与它前一项的差为同一个常数，即anan1d(n2，nN*)即可即可【解解】取数列取数列an的任两项的任两项an和和an1(n2)，
6、则，则anan1pnqp(n1)qpnqpnpqp.例例例例1 1p是一个与是一个与n无关的常数，无关的常数，an是等差数列，且公差是等差数列，且公差为为p.在通项公式在通项公式anpnq中，令中，令n1，可得首项，可得首项a1pq.于是于是an的首项为的首项为pq，公差为，公差为p.【点评点评】深刻理解等差数列的定义，应紧扣深刻理解等差数列的定义，应紧扣“从第二从第二项起，每一项与它前一项的差为同一个常数项起，每一项与它前一项的差为同一个常数”，且这个，且这个常数与常数与n无关如无关如anan1n(n2)，数列，数列an就不是等就不是等差数列差数列判断一个数列判断一个数列(可以是三项、多项、
7、无限项可以是三项、多项、无限项)是等差是等差数列或不是等差数列，要回归到原始定义中去，这数列或不是等差数列，要回归到原始定义中去，这是最基本、最常用的方法是最基本、最常用的方法题型二题型二题型二题型二等差数列的判定等差数列的判定已知数列已知数列an的通项公式的通项公式anpn2qn(p，qR，且且p，q为常数为常数)(1)当当p和和q满足什么条件时，数列满足什么条件时，数列an是等差数列？是等差数列？(2)求证：对任意实数求证：对任意实数p和和q，数列，数列an1an是等差数列是等差数列例例例例2 2【解解】(1)欲使欲使an是等差数列，是等差数列，则则an1anp(n1)2q(n1)(pn2
8、qn)2pnpq应是一个与应是一个与n无关的常数，无关的常数，所以只有所以只有2p0，所以，所以p0.即即p0，qR时，数列时，数列an是等差数列是等差数列(2)因为因为an1an2pnpq，所以所以an2an12p(n1)pq.而而(an2an1)(an1an)2p为一个常数，为一个常数，所以所以an1an是等差数列是等差数列变式训练变式训练变式训练变式训练在等差数列中，为减少运算量，要注意设元的技巧，在等差数列中，为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为如奇数个数成等差，可设为，a2d，ad，a，ad，a2d，(公差为公差为d)；偶数个数成等差，可设；偶数个数成等差，可设为
9、为，a3d，ad，ad，a3d，(公差为公差为2d)题型三题型三题型三题型三等差数列中的基本运算等差数列中的基本运算已知三个数成等差数列，它们的和是已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是，积是48，求这三个数，求这三个数【分析分析】三个数成等差数列，可根据定义设出这三三个数成等差数列，可根据定义设出这三个数，设法要尽量利用题中条件，使解答简化个数，设法要尽量利用题中条件，使解答简化例例例例3 3【解解】设这三个数依次是设这三个数依次是ad，a，ad，则由题意，则由题意可知，可知，(ad)a(ad)12，得，得a4.由由(ad)a(ad)48，得，得d2，所求的三个数是所求的三个数是2,4,6或或6,4,2.【点评点评】此种设法比较巧妙，应仔细体会并熟练掌此种设法比较巧妙，应仔细体会并熟练掌握握规律方法总结规律方法总结等差数列的判定或证明是考查的重点，通常有以下方等差数列的判定或证明是考查的重点，通常有以下方法：法：(1)定义法：定义法：an1an常数常数(nN*)an为等差数列；为等差数列；(2)通项公式法通项公式法(此法将在下一节学到此法将在下一节学到)：anknb(nN*)an为等差数列；为等差数列；(3)中项公式法：中项公式法：2an1anan2(nN*)an为等为等差数列差数列