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1、6 6.2 2垂直关系的性质2021/8/8 星期日11.理解并掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质定理.2.会用两个性质定理解决相关问题.3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系.2021/8/8 星期日21.直线与平面垂直的性质定理 2021/8/8 星期日3名师点拨名师点拨1.利用线面垂直的性质来证明线线平行时,其关键是找出一个平面,使所证直线都与该平面垂直.2.线面垂直的性质定理、线面平行的性质定理、平行于同一直线的两条直线平行都是证明线线平行的依据.证明线面平行、面面平行,归结到最后还是证明线线平行.3.垂直于同一直线的两个平面互相平行.2021/8/8 星期日42.平面与
2、平面垂直的性质定理 2021/8/8 星期日5名名师点点拨1.应用面面垂直的性质定理时必须注意到两个条件:(1)线在平面内;(2)线垂直于两平面的交线,因此找准两平面的交线是关键.2.已知面面垂直的条件,其性质定理就给出了作辅助线的一种方法,设法找出(作出)一个平面内的一条直线垂直于它们的交线,就可得到线面垂直的结论.2021/8/8 星期日6【做一做】如图所示,已知平面平面,=b,直线a,且a.求证:a.证明:如图所示,在平面内作直线c,使cb.因为,=b,所以c.又a,因此,ac.又a,c,所以a.2021/8/8 星期日7题型一题型二题型三题型四【例1】已知直线m,n,平面,下列说法正确
3、的是()A.m,n,mn,则B.,m,n,则mnC.,m,n,则mnD.,=m,mn,则n2021/8/8 星期日8题型一题型二题型三题型四解析:如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线C1C平面ABCD,直线D1C1平面A1B1C1D1,直线C1C直线D1C1,但是平面ABCD与平面A1B1C1D1平行,排除A选项;平面ABCD平面D1DCC1,直线C1C平面ABCD,B1B平面D1DCC1,但是B1BC1C,排除B选项;平面ABCD平面A1ABB1,平面ABCD平面A1ABB1=AB,ABBC1,但是BC1不垂直于平面A1ABB1,排除D选项.答案:C反思反思本题是符号语言表述
4、的位置关系的判断题,以选择题的形式出现,通常借助几何模型,利用排除法,排除错误的选项.2021/8/8 星期日9题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知平面平面,m是内一条直线,n是内一条直线,且mn,那么:m;n;m或n;m且n.这四个结论中,不正确的三个是()A.B.C.D.解析:本题主要考查面面垂直的性质和线面垂直的判定,解决问题的关键是正确理解定理的条件及结论.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,令平面ABCD和平面CDD1C1分别为和,若m为AB,n为CC1,则mn,但m,故错误;同理错误.故选B.答案:B2021/8/8 星期日10题型一题型二题型三题型四【例2】如图所示,在正
5、方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且EFA1D,EFAC.求证:EFBD1.分析:题目条件中给出了线线垂直,通过转化可证得线面垂直,要证EFBD1,只需证明EF与BD1同垂直于某一平面即可,由条件可知这里选择平面AB1C.2021/8/8 星期日11题型一题型二题型三题型四证明:连接AB1,B1C,BD,B1D1,如图所示.DD1平面ABCD,AC平面ABCD,DD1AC.又ACBD,AC平面BDD1B1.BD1平面BDD1B1,ACBD1.同理BD1B1C,又ACB1C=C,BD1平面AB1C.EFA1D,且A1DB1C,EFB1C.又EFAC,且AC B1C=
6、C,EF平面AB1C.EFBD1.反思反思当题中垂直条件很多,但又需证明两条直线平行时,就要考虑用直线与平面垂直的性质定理,从而完成由垂直向平行的转化.2021/8/8 星期日12题型一题型二题型三题型四【变式训练2】(1)本例中的“正方体ABCD-A1B1C1D1”换为“长方体ABCD-A1B1C1D1”,结论“EFBD1”还成立吗?(2)本例中去掉点E,点F,线段A1D,若AC与BD的交点为O,DD1的中点为G,证明:GO平面ACB1.2021/8/8 星期日13题型一题型二题型三题型四(1)解:不一定成立.如例题解析在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BD与AC不一定垂直,故BD1与平
7、面AB1C不一定垂直,所以EFBD1不一定成立.(2)证明:如图所示,连接BC1,B1D1,则B1CBC1.又D1C1B1C,D1C1BC1=C1,B1C平面BC1D1.BD1平面BC1D1,B1CBD1.由例题知AC平面BB1D1D,且BD1平面BB1D1D,ACBD1.又ACB1C=C,BD1平面ACB1.由点G,O分别为DD1,DB的中点,知GOBD1,GO平面ACB1.2021/8/8 星期日14题型一题型二题型三题型四【例3】如图所示,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是DAB=60的菱形,G为AD边的中点,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.求证:(1
8、)BG平面PAD;(2)ADPB.分析:由题干可获取以下主要信息:四边形ABCD是DAB=60的菱形;平面PAD平面ABCD.解答本题可先由面垂直于面得线垂直于面,再进一步得出线垂直于线.2021/8/8 星期日15题型一题型二题型三题型四证明:(1)如图所示,连接PG,BD.PAD为正三角形,G是AD的中点,PGAD.又平面PAD平面ABCD,且平面PAD平面ABCD=AD,PG平面ABCD.BG平面ABCD,PGBG.又四边形ABCD是菱形,且DAB=60,ABD是正三角形,BGAD.又AD平面PAD,PG平面PAD,且ADPG=G,BG平面PAD.(2)由(1)可知BGAD,PGAD.又
9、BG平面PBG,PG平面PBG,且BGPG=G,AD平面PBG.PB平面PBG,ADPB.2021/8/8 星期日16题型一题型二题型三题型四反思反思证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,另一种方法是利用面面垂直的性质定理,本题已知面面垂直,故考虑利用面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.2021/8/8 星期日17题型一题型二题型三题型四2021/8/8 星期日18题型一题型二题型三题型四证明:如图所示,取CD的中点E,连接PE,EM,EA.PCD为正三角形
10、,PECD,PE=又平面PCD平面ABCD,PE平面ABCD.又AM平面ABCD,PEAM.四边形ABCD为矩形,ADE,ECM,ABM均为直角三角形,EM2+AM2=AE2,即AMEM.又PEEM=E,AM平面PME.AMPM.2021/8/8 星期日19题型一题型二题型三题型四易错点:应用定理时因忽视条件而致误【例4】如图所示,已知S为ABC所在平面外一点,SA平面ABC,平面SAB平面SBC.求证:BCAB.错解:SA平面ABC,且平面SAB平面SBC,BCSB,BC平面SAB.又AB平面SAB,BCAB.错因分析:错因是没有理解面面垂直的定理,误认为若两个平面垂直,则一个平面内的所有直
11、线都垂直于另一个平面,显然不正确.知道面面垂直,要证线线垂直,可将证线线垂直转化为线面垂直,由已知面面垂直,则可在一个面内作两个平面的交线的垂线,由面面垂直的性质定理可知该直线垂直于另一个平面.2021/8/8 星期日20题型一题型二题型三题型四正解:如图所示,过点A作AESB,垂足为E,平面SAB平面SBC,且平面SAB平面SBC=SB,AE平面SBC.BCAE,由已知SA平面ABC,得SABC,BC平面SAB,BCAB.2021/8/8 星期日21题型一题型二题型三题型四【变式训练4】如图所示,在三棱锥P-ABC中,平面PAB平面ABC,PBBC.求证:BCPA.2021/8/8 星期日2
12、2题型一题型二题型三题型四证明:如图所示,作POAB,垂足为O.因为平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,所以PO平面ABC,所以POBC.因为PBBC,POPB=P,所以BC平面PAB.因为PA平面PAB,所以BCPA.2021/8/8 星期日231 2 3 4 51.已知直线a,b,平面,且a,下列条件中,能推出ab的是()A.b B.bC.b D.b与相交解析:由线面垂直的性质定理可知,当b,a时,ab.答案:C2021/8/8 星期日241 2 3 4 52.给出下列命题:平行于同一平面的两直线平行;垂直于同一平面的两直线平行;平行于同一直线的两平面平行;垂直于同一直线的两
13、平面平行.其中正确的有()A.B.C.D.2021/8/8 星期日251 2 3 4 5解析:如图所示,A1B1平面ABCD,A1D1平面ABCD,而A1B1与A1D1相交,故错误;C1C平面A1ABB1,C1C平面A1ADD1,而平面A1ABB1平面A1ADD1=A1A,故错误;正确.故选A.答案:A2021/8/8 星期日261 2 3 4 53.已知m,n是直线,是平面,给出下列命题:若,=m,nm,则n或n;若,=m,=n,则mn;若m不垂直于,则m不可能垂直于内的无数条直线;若=m,mn,且n,n,则n且n.其中正确命题的序号是.2021/8/8 星期日271 2 3 4 5解析:如
14、图所示,命题显然错误.,与无公共点.交线m与交线n也无公共点.又m,n,mn.命题正确.虽然直线m不垂直于,但m有可能垂直于平面内的一条直线,于是内所有平行于这条直线的无数平行直线都垂直于m.命题错误.由直线与平面平行的判定定理可知:=m,m,m.又mn,n,n,必有n,n.命题正确.故应填.答案:2021/8/8 星期日281 2 3 4 54.已知平面平面,=l,点Pl,给出下面四个结论,正确的有(只填序号).过点P与l垂直的直线在内;过点P与垂直的直线在内;过点P与l垂直的直线必与垂直;过点P与垂直的平面必与l垂直.解析:画出示意图,如图所示,显然,MPl,但MP不在平面内,故不正确;是面面垂直性质定理的推论,故正确;l可能在平面内,故不正确;平面是过P且与垂直的平面,但l,而不是l,故不正确.答案:2021/8/8 星期日291 2 3 4 55.如图所示,平面平面,=AB,CD,且CDAB,CE,EF,FEC=90.求证:平面EFD平面DCE.证明:,CD,CDAB,=AB,CD.EF,CDEF.又FEC=90,EFEC.ECCD=C,EF平面DCE.又EF平面EFD,平面EFD平面DCE.2021/8/8 星期日302021/8/8 星期日31