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1、第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页计算机数学16第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页基本要求基本要求掌握多元函数以及多元嫦娥数微积的法则。掌握多元函数以及多元嫦娥数微积的法则。了解微积分及其应用，且以二元函数为主原由。了解微积分及其应用，且以二元函数为主原由。掌握三元以及一般掌握三元以及一般n元函数的性质，特点。元函数的性质，特点。了解一些空间解析几何的概念。了解一些空间解析几何的概念。理解多元函数的偏导数与全微分的概念，熟练掌握多元复合函数与理解多元函数的偏导数与全微分的概念，熟练掌握多元复合函数与隐函数的偏导数的求法。隐函数的偏导数的求法。掌握
2、二元函数定义、定义域的求法与表示法。掌握二元函数定义、定义域的求法与表示法。第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页重点难点重点难点重点：重点：函数的微积分应用以及二元函数。函数的微积分应用以及二元函数。多元函数的概念、极限和连续性。多元函数的概念、极限和连续性。难点：难点：多元函数的偏导数、极值及其在经济分析中的应用。多元函数的偏导数、极值及其在经济分析中的应用。第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页16.1数数理理逻逻辑辑16.1.1命题定义命题定义定义定义16.1凡是能判断其真假的陈述句叫做凡是能判断其真假的陈述句叫做命题命题。作为命题的陈述句表达的
3、判断只有两种结果：正确和错误，这种判断作为命题的陈述句表达的判断只有两种结果：正确和错误，这种判断结果称为命题的结果称为命题的真值真值。真值只能取两个值：真或假，分别用。真值只能取两个值：真或假，分别用1和和0表示。表示。第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页16.1.2命题联结词命题联结词1.否定否定P设设P是一个命题，虽然是一个命题，虽然“P是不对的是不对的”这句话也是命题，这个新命题称做是原这句话也是命题，这个新命题称做是原命题命题P的否定，记作的否定，记作P。它的真值关系见表。它的真值关系见表。2.合取合取P Q设设P，Q是两个命题，是两个命题，“P并且并且Q”是一
4、个新命题，称做命题是一个新命题，称做命题P，Q的合取，记为的合取，记为P Q。P Q为真当且仅当为真当且仅当P，Q同时为真。它的真值关系见表。同时为真。它的真值关系见表。第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页3.析取析取P Q设设P，Q是两个命题，是两个命题，“P或者或者Q”是一个新命题，称做命题是一个新命题，称做命题P、Q的析取，记为的析取，记为P Q。P Q为假当且仅当为假当且仅当P、Q同时为假。它的真假关系见表。同时为假。它的真假关系见表。4.蕴含蕴含PQ设设P、Q是两个命题，是两个命题，“若若P，则，则Q”是一个新命题，称做命题，是一个新命题，称做命题，P蕴含命题蕴
5、含命题Q，记为记为PQ。它的真假关系见上表。它的真假关系见上表。5.等价等价PQ设设P、Q是两个命题，是两个命题，“P当且仅当当且仅当Q”是一个新命题，称为是一个新命题，称为P等价等价Q，记为，记为PQ。P Q为真，当且仅当为真，当且仅当P、Q同真、同假。它的真值关系见上表。同真、同假。它的真值关系见上表。第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页16.1.3命题公式命题公式可以将命题分为两种，一种是不包含任何联词，不能再分解为更简单命题的可以将命题分为两种，一种是不包含任何联词，不能再分解为更简单命题的命题，称为命题，称为原子命题原子命题，用命题符号表示，简称，用命题符号表示
6、，简称原子原子；另一种是至少包含一个联结；另一种是至少包含一个联结词的命题，称为词的命题，称为复合命题复合命题。定义定义16.2命题逻辑中的公式，是如下定义的一个符号串：命题逻辑中的公式，是如下定义的一个符号串：(1)原子是公式；原子是公式；(2)若若G，H是公式，则如下符号串：是公式，则如下符号串：G，G H，G H，GH，GH是公是公式；式；(3)所有公式都是有限次使用所有公式都是有限次使用(1)、(2)得到的符号串。得到的符号串。例如，如下符号串就是公式：例如，如下符号串就是公式：(P(QR)P)(R(SQ)而如下符号串就不是公式：而如下符号串就不是公式：PQ，PR，V(RS)(P Q)
7、注：五种逻辑联结词的优先级如下：注：五种逻辑联结词的优先级如下：，(，)，这种规定类似于算术运算中乘法的优先级大于加法，如这种规定类似于算术运算中乘法的优先级大于加法，如a+bc不会被理解为不会被理解为(a+b)c，而应是而应是a+(bc)。从而可减少公式中括号的使用。从而可减少公式中括号的使用。第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页16.1.4解释解释可以将命题分为两种，一种是不包含任何联词，不能再分解为更简单命题的可以将命题分为两种，一种是不包含任何联词，不能再分解为更简单命题的命题，称为命题，称为原子命题原子命题，用命题符号表示，简称，用命题符号表示，简称原子原子；另
8、一种是至少包含一个联结；另一种是至少包含一个联结词的命题，称为词的命题，称为复合命题复合命题。定义定义16.3设设G是公式，是公式，A1，An是出现在是出现在G中的所有原子，指定中的所有原子，指定A1，An的的一组真值，则这组真值称为一组真值，则这组真值称为G的一个解释，记为的一个解释，记为I。公式。公式G在解释在解释I下得到一下得到一个真值，记为个真值，记为TI(G)。例如，例如，G(P Q)R，则，则就是就是G的一个解释。在此解释下，的一个解释。在此解释下，G的真值为：的真值为：TI(G)1。第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页一个公式可以给出多个解释，有一个公式可以
9、给出多个解释，有n个不同原子的公式，可以有个不同原子的公式，可以有2n个不同的解释。个不同的解释。将一公式在其所有解释下所取真值列成一个表，称为此公式的真值表。将一公式在其所有解释下所取真值列成一个表，称为此公式的真值表。公式公式G(P Q)R的真值表如下：的真值表如下：第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页定义定义16.4若公式若公式G在其所有解释下均为真，则称在其所有解释下均为真，则称G为永真式或重言式；若公式为永真式或重言式；若公式G在在其所有解释下均为假，则称其所有解释下均为假，则称G为永假式或矛盾式；若公式为永假式或矛盾式；若公式G不是永假式，则不是永假式，则G称
10、为可满足式。称为可满足式。典型的永真式为典型的永真式为P P，即，即P P1；典型的永假式为；典型的永假式为P P，即，即P P 0。公式。公式G(P Q)R为可满足式。为可满足式。第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页16.2公式的相等与蕴含公式的相等与蕴含16.2.1公式的相等公式的相等定义定义16.5如果公式如果公式G，H在其任意解释在其任意解释I下真值相同，则称下真值相同，则称G与与H相等，记为相等，记为GH。显然，公式。显然，公式G、H相等的充要条件是公式相等的充要条件是公式GH为永真式。为永真式。常见的公式相等式常见的公式相等式第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑
11、后页后页首页首页前页前页16.2.2公式的蕴含公式的蕴含利用真值表利用真值表(见下表见下表)，我们可以推出：，我们可以推出：(PQ)(QR)PR。定义定义16.6设设G、H是两个公式，对任意解释是两个公式，对任意解释I，若，若G为真，则为真，则H为真，我们称为真，我们称G蕴含蕴含H，记为，记为GH。显然有：显然有：GH充要条件为充要条件为TI(G)TI(H)及及GH充要条件为充要条件为GH为永为永真式。真式。第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页定义定义16.7设设G1，Gn，H是公式，称是公式，称H是是G1，Gn的逻辑结果，当且仅当公的逻辑结果，当且仅当公式式G1 Gn蕴
12、含蕴含H，此时，也称，此时，也称G1，Gn蕴含蕴含H，记为，记为G1，GnH。即。即G1，G1，GnH当且仅当当且仅当G1 GnH。基本蕴含式，它们不难用真值表证明。基本蕴含式，它们不难用真值表证明。第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页定义定义16.7设设G1，Gn，H是公式，称是公式，称H是是G1，Gn的逻辑结果，当且仅当公的逻辑结果，当且仅当公式式G1 Gn蕴含蕴含H，此时，也称，此时，也称G1，Gn蕴含蕴含H，记为，记为G1，GnH。即。即G1，G1，GnH当且仅当当且仅当G1 GnH。基本蕴含式，它们不难用真值表证明。基本蕴含式，它们不难用真值表证明。第十六章第十
13、六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页定义定义16.8设设S是一个公式的集合是一个公式的集合(前提集合前提集合)。从。从S推出公式推出公式G的一个形式演绎是公的一个形式演绎是公式的一个有限序列：式的一个有限序列：G1，G2，Gk其中其中Gi或者属于或者属于S，或者是某些，或者是某些Gj(ji)的逻辑结果，并且的逻辑结果，并且GkG，我们，我们也称公式也称公式G是此演绎的逻辑结果，或称从是此演绎的逻辑结果，或称从S演绎出演绎出G。16.2.3形式演绎形式演绎推理推理规则规则P在演绎过程中可以随便使用前提集合中任一公式。在演绎过程中可以随便使用前提集合中任一公式。规则规则Q在演绎过程中可以
14、随便使用前面演绎出来的某些公式的逻辑结在演绎过程中可以随便使用前面演绎出来的某些公式的逻辑结果。果。从定义可以看出，演绎中使用了蕴含的概念，也就是说，演绎是在蕴含从定义可以看出，演绎中使用了蕴含的概念，也就是说，演绎是在蕴含概念下进行的。演绎也是一种蕴含，只不过是换了一种形式。概念下进行的。演绎也是一种蕴含，只不过是换了一种形式。公式相等是一种特殊的蕴含关系，若公式相等是一种特殊的蕴含关系，若PQ，则有，则有PQ及及QP。这。这样基本蕴含式，基本相等式均可以用作演绎推理。样基本蕴含式，基本相等式均可以用作演绎推理。第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页16.3谓词与量词谓词
15、与量词16.3.1谓词与量词谓词与量词命题的理论称之为命题逻辑。原子命题是不能再分割的命题，这对研究命题命题的理论称之为命题逻辑。原子命题是不能再分割的命题，这对研究命题间的关系而言是比较合适的。但是，在进一步研究中就会发现，命题演算这种工间的关系而言是比较合适的。但是，在进一步研究中就会发现，命题演算这种工具是非常不充分，很多思维过程不能在命题逻辑中恰当的表示出来。具是非常不充分，很多思维过程不能在命题逻辑中恰当的表示出来。定义定义16.9设设D是个体集合是个体集合(D)。定义在。定义在Dn上取值于上取值于0，1上的上的n元函数，称为元函数，称为n元命题函数或元命题函数或n元谓词。其中元谓词
16、。其中Dn表示表示n元个体集合即元个体集合即n次笛卡尔乘积。次笛卡尔乘积。定义定义16.1语句语句“对任意对任意x”称为全称量词，记作称为全称量词，记作x；语句；语句“存在一个存在一个x”称为存在称为存在量词，记作量词，记作x。A第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页16.3.2谓词公式谓词公式定义定义16.11谓词逻辑中的项，可递归定义为：谓词逻辑中的项，可递归定义为：(1)常量符号是项；常量符号是项；(2)变量符号是项；变量符号是项；(3)若若f为为n元函数符号，元函数符号，t1，tn为项，则为项，则f(t1，t2，tn)是项；是项；(4)所有项都是有限次使用所有项都是
17、有限次使用(1)，(2)，(3)生成的符号串。生成的符号串。定义定义16.12若若P(x1，xn)是是n元谓词符号，元谓词符号，t1，t2，tn是项，则是项，则P(t1，t2，tn)是原子。是原子。定义定义16.12谓词公式，被递归定义如下：谓词公式，被递归定义如下：(1)原子是公式；原子是公式；(2)若若G，H是公式，则是公式，则G，G H，G H，GH，GH是公式；是公式；(3)若若G是公式，是公式，x是是G中个体变量，则中个体变量，则xG，xG是公式；是公式；(4)有限次使用有限次使用(1)，(2)，(3)生成的符号串是公式。生成的符号串是公式。第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页
18、首页首页前页前页16.3谓词与量词谓词与量词16.3.3解释解释在谓词公式中，假设有一部分公式形式为在谓词公式中，假设有一部分公式形式为xP(x)，或，或xP(x)。这里。这里，后面后面所跟的所跟的x叫做量词的叫做量词的指导变元指导变元，P(x)是量词的是量词的作用域作用域或或辖域辖域。在作用域中。在作用域中x的一切的一切出现，都为出现，都为x在公式中的约束出现，在公式中除去约束变元以外出现的变元称作在公式中的约束出现，在公式中除去约束变元以外出现的变元称作自自由变元由变元。自由变元是不受约束的变元。自由变元是不受约束的变元。更名规则：更名规则：(1)更名时需更改的变元符号的范围是量词中的指导
19、变元，以及该量词辖域更名时需更改的变元符号的范围是量词中的指导变元，以及该量词辖域中此变元的所有约束出现处，而在公式的其余部分不变；中此变元的所有约束出现处，而在公式的其余部分不变；(2)更名时所新取的符号一定没有在量词的辖域内出现过。更名时所新取的符号一定没有在量词的辖域内出现过。不能更名为不能更名为y(P(y)R(y，y)Q(x，y)，或，或z(P(z)R(x，y)Q(x，y)。定义定义16.14谓词公式谓词公式G的一个解释的一个解释I，是由非空区域，是由非空区域D和对和对G中常数符号，函数符号，谓词符中常数符号，函数符号，谓词符号以下列规则进行的一组指定组成：号以下列规则进行的一组指定组
20、成：(1)对每个常量符号指定对每个常量符号指定D中一个元素；中一个元素；(2)对每个对每个n元函数符号指定一个函数，即指定元函数符号指定一个函数，即指定Dn到到D的一个函数；的一个函数；(3)对每个对每个n元谓词符号，指定一个谓词，即指定元谓词符号，指定一个谓词，即指定Dn到到0，1的一个映射。于是，的一个映射。于是，对任一个公式对任一个公式G。如果给出。如果给出G的一个解释，则的一个解释，则G在解释下就有一个真值。在解释下就有一个真值。后页后页首页首页前页前页第十六章第十六章 数理逻辑数理逻辑后页后页首页首页前页前页此此课课件下件下载载可自行可自行编辑编辑修改，修改，仅仅供参考！供参考！感感谢谢您的支持，我您的支持，我们们努力做得更好！努力做得更好！谢谢谢谢