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1、第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页计算机数学13第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页基本要求基本要求掌握微元法的概念。掌握微元法的概念。了解几何、物理中的问题以及简单的数学模型。了解几何、物理中的问题以及简单的数学模型。了解平面图开的面积、空间立体的体积。了解平面图开的面积、空间立体的体积。会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和一些简单的经济应用会利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积和一些简单的经济应用题。题。第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首
2、页前页前页重点难点重点难点重点：重点：某个定积分的分析方法某个定积分的分析方法微元法。微元法。微积数学模型的应用。微积数学模型的应用。难点：难点：定积分在各种领域的应用。定积分在各种领域的应用。第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.1随随机机变变量量定义定义13.1对于条件组对于条件组S下的每一个可能下的每一个可能的结果的结果都惟一地对应一个实数值都惟一地对应一个实数值X()，则称实值变量，则称实值变量X()为一个随为一个随机变量。机变量。简记为简记为X(注：常用大写拉丁字母注：常用大写拉丁字母X、Y、Z或希腊字母或希腊字母、来表示来表示随机
3、变量随机变量)。对于随机变量，通常分两类进行研究。一类是对于随机变量，通常分两类进行研究。一类是随机变量的可能取的值能够一一列举出来随机变量的可能取的值能够一一列举出来(或者有或者有限个，或者与自然数集一一对应限个，或者与自然数集一一对应)，称该类随机变，称该类随机变量为量为离散型随机变量离散型随机变量。另一类是随机变量所可能取。另一类是随机变量所可能取的值不能一一列举，称此类随机变量是的值不能一一列举，称此类随机变量是非离散型的非离散型的。非离散型随机变量范围很广，而其中最重要也是实非离散型随机变量范围很广，而其中最重要也是实际工作中经常遇到的就是所谓际工作中经常遇到的就是所谓连续型连续型的
4、随机变量的随机变量(见见13.3)。第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.2离散型随机变量及其分布规律离散型随机变量及其分布规律13.2.1概率分布概率分布离散型随机变量离散型随机变量X只可能取有限个或一串值。设只可能取有限个或一串值。设X可能的取值为可能的取值为x1，x2，xk，。为了完全描述随机变量。为了完全描述随机变量X，只知道它可能取的值是远远不够的，更重要，只知道它可能取的值是远远不够的，更重要的是要知道它取各个值的概率，也就是要知道下列一串概率的值：的是要知道它取各个值的概率，也就是要知道下列一串概率的值：pkPX xk(k 1，
5、2，)。(13.2.1)将将X 可能取的值及相应的概率列成下表：可能取的值及相应的概率列成下表：第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页这个表称为这个表称为X的概率分布表。它清楚而完整地表示了的概率分布表。它清楚而完整地表示了X 取值的概率的分布情取值的概率的分布情况。简单起见，概率分布情况也可直接用一系列等式况。简单起见，概率分布情况也可直接用一系列等式(13.2.1)来表示，式来表示，式(13.2.1)称为称为X的概率分布。关于的概率分布。关于pk(k 1，2，)，显然有如下性质：，显然有如下性质：作为概率分布的一个例子，我们回头看例作为概率分布
6、的一个例子，我们回头看例13.1.2中随机变量中随机变量X(“抽得的白球数抽得的白球数”)的概率分布表：的概率分布表：第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.2.2二点分布二点分布如果随机变量如果随机变量X的分布如下：的分布如下：PX 1p(0p1)，PX 0q 1p。(13.2.2)则称则称X服从二点分布服从二点分布(p为参数为参数)。例例13.2.1100件产品中，有件产品中，有95件正品，件正品，5件次品，现从中随机抽取一件，假件次品，现从中随机抽取一件，假如抽得每件的机会都相同，那么，抽得正品的概率是如抽得每件的机会都相同，那么，抽得正
7、品的概率是95%，抽得次品的概率为，抽得次品的概率为5%，现在定义随机变量，现在定义随机变量X 如下：如下：则有则有即即X服从二点分布。二点分布虽很简单，但很有用。当一组条件下只有两个服从二点分布。二点分布虽很简单，但很有用。当一组条件下只有两个可能结果，且都有正概率时，能确定一个服从二点分布的随机变量。可能结果，且都有正概率时，能确定一个服从二点分布的随机变量。第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.2.3二项分布二项分布如果随机变量如果随机变量X的分布如下：的分布如下：PX kCkn pkqn k(k 0，1，2，n)。(13.2.3)其中
8、其中0p1，q 1p。则称。则称X服从二项分布服从二项分布(参数为参数为n，p)，或用记号，或用记号XB(n，p)来表示。利用二项式定理不难证明按式来表示。利用二项式定理不难证明按式(13.2.3)给出的概率值满足给出的概率值满足在独立试验序列概型中，得出的结论是：若单次试验中事件在独立试验序列概型中，得出的结论是：若单次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p(0p1)，则在，则在n次重复独立试验中，次重复独立试验中，“A发生发生k次次”的概率是的概率是Ckn pkqn k(q 1pk 0，1，2，n)。由此可见，在由此可见，在n次重复独立试验中，次重复独立试验中，“A发生的次数发生的次数”这
9、个随机变量这个随机变量X是服从是服从二项分布的，即二项分布的，即PX kCkn pkqn k(k 0，1，2，n)。不难发现，不难发现，n 1时的二次分布就是二点分布。时的二次分布就是二点分布。第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.2.4泊松泊松(Poisson)分布分布如果随机变量如果随机变量X的概率分布如：的概率分布如：则称则称X服从泊松分布服从泊松分布(参数为参数为)，记作，记作XP()。这就证明了粒子数这就证明了粒子数X是服从泊松分布的。是服从泊松分布的。从以上的分析推导过程看出，某一具体问从以上的分析推导过程看出，某一具体问题，只要
10、它符合类似于条件题，只要它符合类似于条件(1)、(2)，那么就，那么就会出现服从泊松分布的随机变量。因此，有很会出现服从泊松分布的随机变量。因此，有很多具体问题，它们的性质虽然各不相同，但它多具体问题，它们的性质虽然各不相同，但它们的随机变量都服从泊松分布。们的随机变量都服从泊松分布。对于一般的二项分布对于一般的二项分布B(n，p)，只要令，只要令=np，则有，则有这说明泊松分布是二项分布当这说明泊松分布是二项分布当np(n)时的极限分布。因此，当时的极限分布。因此，当n很大且很大且p很小时，可很小时，可用泊松分布来作二项分布的近似计算。用泊松分布来作二项分布的近似计算。第十三章第十三章 随机
11、变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.3连续型随机变量及其分布规律连续型随机变量及其分布规律13.3.1概率密度函数概率密度函数定义定义13.2对于随机变量对于随机变量X，若存在非负可积函数，若存在非负可积函数p(x)(x)，使对任，使对任意意a、b(ab)都有都有则称则称 X为连续型随机变量，称为连续型随机变量，称p(x)为为 X 的概率密度函数的概率密度函数(简称概率密简称概率密度或密度度或密度)。第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页由随机变量的定义推知由随机变量的定义推知+p(x)dxPX+P(U)1。对于连续
12、型随机变量对于连续型随机变量X来说，它取任一实数来说，它取任一实数a的概率为的概率为0，即，即PXa0。由由(13.3.1)式，有式，有0PXaPaXa+a+ap(x)dx(0)。由于变上限积分函数是连续的，所以上式右端积分对由于变上限积分函数是连续的，所以上式右端积分对是连续的，从而有是连续的，从而有因此因此PX a0。这样，在计算连续型随机变量落在某一区间上的概率。这样，在计算连续型随机变量落在某一区间上的概率时，不必区分该区间是否包含端点，即时，不必区分该区间是否包含端点，即PaXbPaXbPaXbPaXb。在实际工作中遇到的非离散型随机变量大多是连续型的，而且密度函数在实际工作中遇到的
13、非离散型随机变量大多是连续型的，而且密度函数p(x)至多有有限个间断点。至多有有限个间断点。第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.3.2均匀分布均匀分布若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为:则称则称X服从服从a，b上的均匀分布，记作上的均匀分布，记作XUa，b。显然，若。显然，若X服从服从a，b上的均匀分布，则对于任意满足上的均匀分布，则对于任意满足acdb的的c，d有：有：这就是说，这就是说，X取值于取值于a，b中任一小区间的概率与该小区间的长度成正比，中任一小区间的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关，这就是均匀分
14、布的概率意义。而与该小区间的位置无关，这就是均匀分布的概率意义。第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.3.3指数分布指数分布若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X服从参数为服从参数为的指数分布。的指数分布。若若X服从参数为服从参数为的指数分布，则按的指数分布，则按(13.3.1)式，对任何式，对任何0ab有有由无穷积分定义不难看出：由无穷积分定义不难看出：第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.3.4正态分布正态分布若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X服从
15、正态分布服从正态分布(，为参数为参数)，简记作，简记作XN(，2)。p(x)在直角坐标在直角坐标系内的图形系内的图形(如图如图13.3.1)呈钟形，最大值点在呈钟形，最大值点在 x，曲线关于直线，曲线关于直线x 对称；对称；在在x 处有拐点。当处有拐点。当x时，曲线以时，曲线以x轴为其渐近线；当轴为其渐近线；当较大时，曲线平较大时，曲线平缓；当缓；当较小时，曲线陡峭较小时，曲线陡峭(如图如图13.3.2)。第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页参数参数0而而21的正态分布，即的正态分布，即N(0，1)，称为标准正态分布，它的密度，称为标准正态分布，
16、它的密度函数为函数为由微积分知识可以验证下式成立由微积分知识可以验证下式成立由此可推出一般的正态密度满足由此可推出一般的正态密度满足对于标准正态分布还作出了函数对于标准正态分布还作出了函数第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.4分布函数与随机变量函数的分布分布函数与随机变量函数的分布13.4.1分布函数分布函数定义定义13.3设设X是一随机变量是一随机变量(可以是连续的，也可以是离散的，甚至更一般可以是连续的，也可以是离散的，甚至更一般的的)，称函数，称函数F
17、(x)PXx(x+)(13.4.1)为为X的分布函数。的分布函数。由定义可知，由定义可知，F(x)有下列几条一般的性质：有下列几条一般的性质：(1)0F(x)1(x+)；(2)F(x)是是x的不减函数；的不减函数；(3)。为了区别不同随机变量的分布函数，有时将随机变量为了区别不同随机变量的分布函数，有时将随机变量X的分布函数的分布函数记作记作FX(x)。第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.4.2随机变量函数的分布随机变量函数的分布设设f(x)是一个函数，所谓
18、随机变量是一个函数，所谓随机变量X的函数的函数f(X)就是这样一个随机变量就是这样一个随机变量Y：当：当X取值为取值为x时，它取值时，它取值yf(x)，记作，记作Y f(X)。例如：设例如：设X 是分子的速率，而是分子的速率，而Y是分子的动能，则是分子的动能，则Y是是X 的函数：的函数：Y1/2mX2(m是分子的质量是分子的质量)。我们的任务是，根据已知的我们的任务是，根据已知的X的分布来寻求的分布来寻求Y f(X)的分布。的分布。后页后页第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页1.X是离散型是离散型若若X是离散型随机变量，则是离散型随机变量，则f(
19、X)也是离散型随机变量。设也是离散型随机变量。设X的概率分布为：的概率分布为：记记yi f(xi)(i 1，2，)，如果诸，如果诸yi的值各不相等，则的值各不相等，则Yf(X)的概率分布为的概率分布为这是因为这是因为PY yiPX xi(i 1，2，)。返回返回第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页2.X是连续型是连续型X为连续型随机变量时，如何找出为连续型随机变量时，如何找出Yf(X)的分布呢的分布呢?先看下面的例子：先看下面的例子：我们注意到，在以上推导过程中，我们注意到，在以上推导过程中，除去用到分布函数的定义以及分布函除去用到分布函数的定义
20、以及分布函数和密度函数的关系之外，还用到这数和密度函数的关系之外，还用到这样一个等式：样一个等式：表面上看，只是把不等式表面上看，只是把不等式“”变形为变形为“Xy+”，实质上，它，实质上，它们是同一个随机事件，因而概率相等。们是同一个随机事件，因而概率相等。这里的关键性作用在于把的分布这里的关键性作用在于把的分布函数在函数在y之值之值FY(y)转化为转化为X的分布函的分布函数在数在y+之值之值FX(y+)。按照这个思。按照这个思路，可得下面的一般性定理。路，可得下面的一般性定理。返回返回第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页定理定理13.1将随机
21、变量将随机变量X和随机变量和随机变量Yf(X)的密度函数分别记作的密度函数分别记作pX(x)和和pY(y)，如果，如果f(x)0，则有则有pY(y)pXg(y)g(y)，(13.4.4)其中其中x g(y)是是y f(x)的反函数。的反函数。证证首先，由于首先，由于f(x)0，所以，所以f(x)是单调增函数，则是单调增函数，则y f(x)有反函数有反函数x g(y)，且，且g(y)也是可微的，而且事件也是可微的，而且事件“f(X)y”与事件与事件“Xg(y)”是相是相同的随机事件，则有同的随机事件，则有FY(y)PYyPf(X)yPXg(y)FX(g(y)，对对y求导数，得到求导数，得到pY(
22、y)pX(g(y)g(y)。证毕。证毕。前页前页第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.5计算机模拟与随机数的生成计算机模拟与随机数的生成13.5.1均匀随机数的生成均匀随机数的生成产生产生U(0，1)随机数的常用方法是线性同余法，其算法如下：取随机数的常用方法是线性同余法，其算法如下：取x0为种子数，为种子数，M为一个大的正整数，取乘子为一个大的正整数，取乘子a，增量，增量c(x0，M，a，c均为正整数均为正整数)。令。令其中第一个等式的意思是，其中第一个等式的意思是，xn是是axn1+c被被M除后的余数，因此有除后的余数，因此有0 xnM，
23、从而，从而rn 0，1)。例如，取例如，取M16，a 5，c 3，x07，则有，则有xn(5xn1+3)(mod16)，于是有，于是有第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.5.2连续分布的反函数法连续分布的反函数法定理定理13.2设设F(x)是连续且单调增的分布函数，记它的反函数为是连续且单调增的分布函数，记它的反函数为F1(x)，则：则：(1)若随机变量若随机变量X的分布函数为的分布函数为F(x)，则，则F(x)服从服从0，1上的均匀分布；上的均匀分布；(2)若随机变量若随机变量Y服从服从0，1上的均匀分布，则上的均匀分布，则F1(Y)的分
24、布函数为的分布函数为F(x)。证证(1)令令UF(x)的分布函数为的分布函数为G(u)，则，则u0时，时，G(u)0；u1时，时，G(u)1。0u1时，时，G(u)PF(x)uPXF1(u)FF1(u)u。从而从而U F(X)服从服从0，1上的均匀分布。上的均匀分布。(2)设设X F1(Y)的分布函数为的分布函数为H(x)，则，则H(x)PF1(Y)xPYF(x)F(x)。这是因为这是因为YU0，1，且，且0F(x)1。因此。因此X F1(Y)的分布函数为的分布函数为F(x)。证毕。证毕。第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.5.3离散分布的
25、直接抽样法离散分布的直接抽样法设离散型随机变量设离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为：PXaipi(i 1，2，)。令。令q00，。设设ri是是0，1上均匀分布的随机数，上均匀分布的随机数，若若ri满足满足qj1riqj，就取，就取xiaj，这样产，这样产生的随机数生的随机数xi就是随机变量就是随机变量X的随机数。的随机数。上述方法也可直观地作如下描述：上述方法也可直观地作如下描述：(1)将区间将区间0，1依次分为长度为依次分为长度为p1，p2，的小区间的小区间I1，I2，；(2)产生产生0，1上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数R，若，若R Ij，则令，则令Xaj。重复重复(2)即得随
26、机变量即得随机变量X的随机数序列。的随机数序列。第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页13.5.4变换抽样法变换抽样法由定理由定理13.1可知，若已知随机变量可知，若已知随机变量X 的密度函数的密度函数p(x)，则随机变量的函数，则随机变量的函数Yg(X)的密度函数为的密度函数为(由式由式(1346)。这就是说，若已知服从均匀分布的随机变量这就是说，若已知服从均匀分布的随机变量R，则对于各种不同的函数，则对于各种不同的函数X g(R)，通过变换式，通过变换式X g(R)得到服从相应分布的随机数。对于多维随机向得到服从相应分布的随机数。对于多维随机向量的函数，结论同样成立。即设量的函数，结论同样成立。即设(X1，X2，Xn)为为n维随机向量，令维随机向量，令Y g(X1，X2，Xn)，若，若Y的分布函数为的分布函数为F(y)，则通过，则通过n维变换式维变换式Y g(X1，X2，Xn)由由X1，X2，Xn的随机数可以产生出分布函数为的随机数可以产生出分布函数为F(y)的随机数。的随机数。后页后页首页首页前页前页第十三章第十三章 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 后页后页首页首页前页前页此此课课件下件下载载可自行可自行编辑编辑修改，修改，仅仅供参考！供参考！感感谢谢您的支持，我您的支持，我们们努力做得更好！努力做得更好！谢谢谢谢