保险精算学1.pptx

《保险精算学1.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《保险精算学1.pptx（81页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、2021/9/111保 险 精 算 学金融学院 漆世雄公开信箱： 密码：111111交作业信箱：2021/9/112 保险精算学是以概率论和数理统计为基础，研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题计算方法的应用数学。在发达国家，精算科学(Actuarial Science)已有百余年的发展历史，除了保险业外，精算方法还广泛用于对金融、投资、社会保障、军事等方面风险的分析。目前，我国保险业仍不很发达，在理论和实践上对保险的认识多限于定性方面，而在定量分析和研究方面则非常薄弱。虽然理论上也有一些关于寿险数理等的研究著作

2、，但基本局限于对寿险保费和责任准备金计算方法的研究。随着我国社会主义市场经济体制的建立，保险业必将进入一个新的更高的发展阶段，从而必然需要大量的精算师承担对风险的分析和科学计算工作。2021/9/113教材和参考书1：王晓军、江星、刘文卿：保险精算学，中国人民大学出版社。该教材内容体系的编排比较合理，内容由浅入深，公式的推导容易理解，每一章都附有练习题，这些练习题的难度比较适中，便于读者自学，比较适合财经类的学生阅读。但书后附带的生命表已经不适应当前中国保险业的情况。2021/9/114教材和参考书2：范克新：保险精算学教程，南京大学出版社。该教材内容体系的编排与前者相似，每章节中采用的例题比

3、较典型、充分，其中的计算题较多，偏重于应用。但没有附带章节练习题，书后附带的生命表与前者完全相同。2021/9/115教材和参考书3：李秀芳、曾庆五：保险精算，中国金融出版社。该教材内容体系的编排与前两本有较大的差异，书中没有安排作为保险精算的基础知识利息理论的内容，教材内容比较偏重于理论研究，对初学者有一定的难度。但每一章节都附有练习题，书后还附有这些练习题的答案，便于读者对照，有些练习题还有一定的难度。该教材比较适合理科和精算专业的学生阅读。书后附带的生命表为1999年我国首次发布的中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）。2021/9/116教材和参考书4：王仲建 主编：保险精算，

4、科学出版社。该书内容包括了利息理论、寿险精算和非寿险精算三部分内容。每章都有难度适当的练习题，书后附带的生命表为中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）。2021/9/117教材和参考书5：范兴华、邹公明：保险精算学通论，请华大学出版社。该书内容包括复利数学、生存模型、寿险精算模型和非寿险精算模型四部分内容。内容编排通俗易懂，但没有附带章节练习题，书后附带的生命表为中国人寿保险业经验生命表（1990-1993）。2021/9/118参考书6：邹公明、周俊所：寿险精算数学，中国时代经济出版社。该书为精算师资格考试辅导书，内容侧重于数学推导和证明。要求具有较好的数学功底。书中附有模拟考试题和

5、试题解答。2021/9/119参考书7：杨静平：非寿险精算学，北京大学出版社。该书比较系统地介绍了非寿险精算学的理论基础和实际运用，举例较充分。书中附有章节练习题，并在书后给出了答案。2021/9/1110保险精算中的一些概念简介保险精算中的一些概念简介保险与人身保险的概念保险与人身保险的概念保保险险是补偿和减轻发生危险事故带来损失的有效手段，是一种互助共济的社会保障制度。保保险险人人又称保险方、承保人，是经营保险业务的各种组织（如中国人寿）。保险人负责与投保人签订保险契约并收取保险费，在保险事故发生时负责给付保险金。投投保保人人又称要保人、保单持有人、投保方，投保人代表被保险人签订保险契约，

6、并根据契约的规定缴纳保险费。2021/9/1111被保险人被保险人是以自己的生命和身体为保险标的、受保险契约直接保障并享受保险金的人。投保人和被保险人可以是同一个人，也可以是不同的两个人。受益人受益人是人身保险契约中由被保险人或投保人所指定的，在发生保险事故时有权受领保险金的人。投保人和受益人或被保险人和受益人都可以是同一个人。保险标的是保险标的是指保险的具体对象和保险项目。保险契约保险契约是投保人与保险人签订的契约（合同），投保人支付的费用为保险费，保险人支付的补偿金额为保险金。2021/9/1112人身保险的种类人身保险的种类人身保险人身保险包括：人寿保险、健康保险(疾病保险)、人身意外伤

7、害保险。人人寿寿保保险险包括：生存保险、死亡保险、生死合险（两全保险、养老保险）。生生存存保保险险包括：纯粹的生存保险、生存年金（定期生存年金、终身生存年金、延期生存年金）。死死亡亡保保险险包括：定期死亡保险、终身死亡保险、延期死亡保险。2021/9/1113人身保险精算的原理和基本内容人身保险精算的原理和基本内容人身保险精算的概念人身保险精算的概念 保险公司在经营保险业务时，需要预先估计他们承担风险的大小，估计发生危险事故造成损失的分布，并在此基础上，依照保险契约的规定，计算不同保险契约下投保人需缴纳的保险费、保险公司在不同时期为未来赔偿损失建立的责任准备金等。这些计算就是保险精算。人身保险

8、精算的原理人身保险精算的原理 危险事故的发生对单个人是随机的、不可测的，但对社会总体而言是必然的、确定的。这是由概率论中的大数法则决定的。2021/9/1114 大数法则是指随机现象在每次独立观察中出现的偶然性将在大量重复观察中呈现必然的规律性。如：每次投掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上是偶然的，但大量投掷、重复观察就会发现，正面朝上或反面朝上的次数大体上相同。人身保险中，每个被保险人在一定时期是否遭遇危险事故是随机的、不确定的，并且各被保险人之间发生危险事件是相互独立的。当面临同类危险的被保险人组成被保险集团时，相当于对随机事件进行多次重复观察。此时，被保险集团中发生危险事件的频率随着被保险人

9、数增多而趋于稳定值。这个稳定值就是危险事件发生的概率。单个人遭受危险事故损失的不确定性将在大量观察中消失，从而表现为随机事故发生的确定的概率值。这一概率值也正是被保险人面临危险事故的可能性。因此可以说，虽然单个人遭遇危险事故是随机的、不可测的，但他遭遇危险事故的可能性（即概率）是可测的、确定的。2021/9/1115人身保险精算的内容人身保险精算的内容 人身保险精算的基本内容包括研究出险规律、计算保险费、责任准备金、现金价值、资产份额等。人身保险精算分单被保险人型人身保险和多被保险人型（团体人身保险）人身保险两种进行研究。单被保险人型人身保险的承保对象或被保险人只有一个人，即以单个被保险人发生

10、保险事故为保险金给付条件。多被保险人型（团体人身保险）人身保险的承保对象或被保险人为两个以上，并以两个以上被保险人组成联合被保险集团的“生存”或“死亡”为保险金给付条件。这里联合被保险集团的“生存”或“死亡”是在特定条件下定义的联合被保险集团状态的“生存”或“死亡”。2021/9/1116 单被保险人型人身保险精算的主要内容有：生存年金精算现值、寿险精算现值、均衡净保费、均衡净保费责任准备金、总保费、总保费下责任准备金的修正、现金价值、资产份额以及几种特殊年金和寿险的精算技术。多被保险人型人身保险与单被保险人型人身保险的精算内容基本相同，其精算技术思想也基本相同。2021/9/1117第一章

11、生命表 人身保险精算的重要基础是对被保险人生存和死亡规律的研究。生命表正是研究同时出生的一批人随着年龄的增长不断死亡规律的有力工具。它以表格的形式简单清楚地表述了同时出生的一组人以怎样的死亡率陆续死去的全部过程。一、生命表函数（用它来反映年龄x与存活人数、死亡人数、存活概率、死亡概率的关系）生命表是反映在封闭人口条件下（一个地区的人口不出也不进），一批同时出生的人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。因此也称为死亡表。封闭人口是指没有人口迁移的人口，在封闭人口中只有人口的出生和死亡变动。2021/9/1118生命表中使用的主要函数有以下几个：（1）：存活到确切整数年龄x岁的人数，其中，x=0

12、，1，2，-1。是同时出生的一批人数。由于我们关心的是一批人在今后成长过程中的死亡规律，即各年龄的死亡水平，因此最初人口的绝对数并不重要，研究中可以任意取值。为方便，通常取 ，称为生命表基数。经过一年到达 1 岁时成为 ，再经过一年到达2岁时成为 。生命表年龄上限以希腊字母表示，存活的最高年龄为-1。即在所研究的一群人中，没有人能活到岁。因此总有 成立。2021/9/1119 例：P304 附表=106，（2）：在x x+l岁之间死亡的人数。在生命表中0岁的人数 经过一年要死去一部分人，这部分人数为 ，到达1岁时存活人数还剩 ，经过一年又死去 ，到2岁时存活人数为 。因此，有：，或 一般地，或

13、 （3 1）在最高年龄，没有存活人数，因此，有：2021/9/1120由公式（3 1），有：将以上个等式左右两边相加，并且注意到 ，得：即：所有死亡人数的总和等于出生的人数。同理：2021/9/1121（3）：x岁死亡概率 表示存活到确切年龄x岁的人在到达x+1岁前死亡的概率。它可以用在x x+l岁的死亡人数 占x岁存活人数 的比例表示，即：它是xx+1岁之间人口的死亡率。如果在已知 之后，就可以依生命表基数 计算出各年龄的存活人数 和死亡人数 。生命表正是以 为基础计算出来的。由公式(3 4)和(3 1)，有又由于 ，所以以上公式说明，对-1岁的人来说，死亡是一个必然事件。（3 4），202

14、1/9/1122 与x岁死亡概率 相对的另一个函数是x岁存活概率，也称尚存概率，以表示 。它表示x岁的人群能存活到x+l岁的概率。由定义可知：显然：利用上面的生命表函数，可以计算其他死亡概率指标。一般地，以 表示x岁的一批人在x x+n岁之间的死亡人数。可知：（当 n=1 时可以省略不写），（3 6）2021/9/1123另外，还可表示为：以 表示x岁的人群在x x+n岁的死亡概率。则：（当 n=1 时可以省略不写）其中，表示这批人在 x 岁时的存活人数。以 表示 x 岁的人继续存活n年的概率，则：可知：特别地：，2021/9/1124 以 表示x岁的人继续存活n年并在第n+l年死亡的概率，或

15、x岁的人在x+n x+n+1岁死亡的概率，则（两个独立事件交的概率等于它们概率的乘积。注意，这里的 n 即使等于1也不能省略）：以 表示x岁的人在x+n x+n+m岁之间死亡的概率（或者x岁的人存活到x+n岁并在x+n x+n+m岁之间死亡的概率），则我们可以注意到，符号“”可理解为“延期n年”；“”可理解为“延期n年、定期m年”。（3 10）2021/9/1125思考题：1、试用以上符号表示下述概率：（1）一个人活到25岁、并在25岁以后死亡的概率；（2）一个人活到25岁的概率；（3）一个人活不到25岁的概率；（4）一个25岁的人，继续存活了5年，并在3040岁之间死亡的概率；（5）一个25

16、岁的人没有活到30岁的概率；（6）一个25岁的人至少活到30岁的概率；（7）一个25岁的人最多活到30岁的概率；2、试说明 与 的确切含义并指出它们的区别。2021/9/1126（4）：x岁的人生存的人年数（单位：人 年）是指是指活到确切年龄x岁的人群 在到达了x+1岁前平均存活的人年数。人年是表示人群存活时间的复合单位，一人年表示一个人存活了一年。例：65岁的一群人共100个，即 ，在他们66岁时只剩下90个，即 。活着的90个人，每个 人在6566岁之间都存活了1年，故这90个人生存的人年数为：90*1=90（人 年）。如果死去的10个人刚好都是在65.5岁的那一刻死去，则这10个人在65

17、66之间生存的人年数为10*0.5=5（人 年）。因此：例：已知 ，并假定各死亡的人在1年当中均匀分布，则在8081岁中，这100个人存活的人年数为：（人 年）（人 年）2021/9/1127 对于96个继续存活的人来说，在8081岁的1年中，他们存活了96*1=96（人 年）。对于4个死去的人来说，假定他们的死亡日期在1年当中均匀分布：如图可知：第1个死亡的人存活了1/8人 年；第2个死亡的人存活了3/8人 年；第3个死亡的人存活了5/8人 年；第4个死亡的人存活了7/8人 年；这4个死亡的人总共存活了：1/8+3/8+5/8+7/8=2人 年 因此，包括活着的和死去的人，在8081岁之间，

18、他们总共存活了：96+2=98（人 年）。如果死亡发生在8081岁的中点，由4*0.5=2（人 年）可知，同样的公式依然成立。8081第1个人死亡日期第2个人死亡日期第3个人死亡日期第4个人死亡日期2021/9/1128 因此，如果假设死亡均匀分布（或发生在中点），就有以下等式成立：，于是有：但通常0岁组死亡人数的分布很不均匀，一般用下面经验公式计算：这间接说明0 1岁之间的婴儿死亡率高于其他年龄段的死亡率。与 相比，哪一个更大？（5）：x岁的人群未来累计生存人年数 累计生存人年数表示存活到确切年龄x岁的人群未来（到他们全部死亡为止）将存活的总人年数，则如果死亡均匀分布（或发生在中点），就有以

19、下等式成立：2021/9/1129例：90岁的4个人，有1个人活到了92岁，有两个人活到了95岁，另1个人活到了96岁，假设死亡发生在中点，则或：，（人 年）2021/9/1130特别地，当x=0时，它表示同一批出生的个人到他们全部死亡为止总共存活的人年数。相当于所有人的寿命总和。如果死亡在所有年龄段上均匀分布（或发生在中点），则：显然，就表示同时出生一批人的平均寿命。（6）：x岁人群的平均余寿 表示存活到x岁的人群平均还能存活的年数。它是x岁人群未来存活总人年数 被 平均后的值。例如，就表示40岁的一群人平均能存活35年。2021/9/1131即：，特别地，当x=0时，它表示同一批出生的人的

20、平均寿命，简称平均寿命。表示出生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数。假设死亡在每个年龄上都均匀分布，即则有：并且：2021/9/1132其中：代入以上公式，得：2021/9/1133 在各年龄段死亡均匀分布假设下，以上公式说明了两点：（1），就是每个年龄段上死亡人口的平均年龄，比如，4岁到5岁之间死去的人，他们死亡的平均年龄为4.5岁；20岁到21岁之间死去的人，他们死亡的平均年龄为20.5岁，等等。（2）因为 ，所以 ，即 就是的权重，因此，就是 ，的加权平均数，即所有同时刚出生的人，他们的平均寿命就是各年龄段死亡人年龄的加权平均数。2021/9/1134例：根据统计，x岁的存活群体如下表

21、所示：分别计算，当x=82，x=84时的死亡人数 ，死亡率 ，存活率 。解：当x=82时，当x=84时，2021/9/1135例：根据统计，x岁的存活群体如下表所示：试计算解：=(330/2+289+240+198+101+45+14)/330=3.188岁实验习题：对以上例题的数据，利用excel编制表格。2021/9/1136二、生命表的编制 生命表可根据不同的统计范围、对象、用途和是否有选择，划分成许多类型，如国民生命表与经验生命表，选择生命表与综合生命表。一、国民生命表与经验生命表 根据计算死亡率的资料来源，生命表可以分为两大类，即国民生命表和经验生命表。国民生命表是根据全国范围内的人

22、口统计资料构造出来的，反映的是一个特定时期内全国人口的寿命分布情况。P10表1-2中的生命表即是一例。一些重要数据可以从国民生命表上得到，例如婴儿死亡率、平均寿命、60岁以上老人的平均余命等等。政府和企业可以根据这种生命表制定医疗保健计划、社会保险和退休金计划。经验生命表是根据许多家人寿保险公司对被保险人的统计资料构造出来的，反映的是这些寿险公司的综合经验和它们的被保险人的寿命分布情况。2021/9/1137 在寿险公司的被保险人中，年金购买者和寿险购买者在寿命分布上的差别是很大的。选择年金的投保往往是那些掂量着比别人活得久的人，而选择寿险的多是对自己的身体不太乐观的人，这种选择称为逆选择。逆

23、选择会造成年金被保险人各年龄的死亡率明显低于寿险被保险人相应年龄的死亡率。如果不区别这两类被保险人而构造同一个生命表，这个生命表中的死亡率必定对年金被保险人偏高而对寿险被保险人偏低，这样，寿险公司完全暴露在逆选择下。因此，对这两类被保险人应分别进行统计而构造不同的生命表，称之为年金生命表和寿险生命表。无论是国民生命表还是经验生命表，有时必须考虑性别的差异。据统计，女性的死亡率比同龄男性低。反映这种差别的方法有两种：一是分别对不同性别进行统计，构造出男性生命表和女性生命表；一是不分性别统计而构造出男女混合表，习惯上是对男性直接使用表中的死亡率，对女性则采用所谓年龄倒退法来确定死亡率。2021/9

24、/1138 例如，若采用3年倒退法，40岁女性的死亡率即等于37岁男性的死亡率。但年龄倒退法对年龄很小的女性不适用，这时须采用其他调整方法。二、选择终极表 死亡率 实际上是一个条件概率，即已知一个人活到了x岁，这个人在x+1岁前死亡的概率。但你去寿险公司买保险时，他们不只是知道你现在还活着，还有很多情况他们会弄清楚，其中最重要的就是你的健康状况。寿险公司厘定的保费是按投保时健康状况良好的人的死亡率计算的，那些投保时健康状况不良的人须增加保费甚至被拒保。这些在投保时被寿险公司认为健康状况良好的人，其死亡率自然不同于那些没有考查过其健康状况的人。我们把寿险公司在健康方面的核保看做是一种选择，在x岁

25、经过选择的人往后各年的死亡率记为：2021/9/1139例如，表示某人在25岁时通过了保险公司的健康审核，该人在30岁时死亡的概率；或者说，在5年前经过健康审核的、现在30岁的人的死亡概率。这里下标方括号中的 x 称为“选择年龄”。因此，表示刚经过选择之后 x 岁人的死亡率；表示在1年前经过选择的x+1岁人的死亡率；表示在2年前经过选择的x+2岁人的死亡率；依此类推。经验表明，相同年龄的死亡率会随着选择时间的推移而增大，即对于 0 k 1则令t+y=1+s于是就有 ：0 s 1，分子分母同除 ：2021/9/1164在死亡均匀分布的假设下，在 x+t 时刻的死亡力为：因此：例：在死亡均匀分布的

26、假设下，用p304的附表给出的生命表计算 ，解：2021/9/1165 以上两个概率分别表示为：25岁的人在3个季度内死亡的概率；25岁的人在3个季度之后存活的概率；它表示25岁半的人在1个季度之内死亡的概率。2021/9/1166方法2：显然，第2种方法要简单一些。因此，在计算这一类问题时，只要将死亡概率变换为计算存活概率，就可能使计算更加简化。2021/9/11673、3、2 死亡力为常数的假设 如果在每个整数年龄上都一个常数的死亡力 ，即 ，其中t 是0，1上的一个任意值，或者说，在 0 t 1 上是一个常数，我们用 表示这个常数，则有：特别地，当 t=1 时，有两边取对数：，所以：将它

27、代入以上公式，2021/9/1168可得：即：在死亡力为常数的假设前提下，有以下等式成立：另外，由于其中0 t+y 1所以：(1)(2)(3)(4)2021/9/1169对于连续的死亡力 ，有近似公式 成立，这是因为：当 n=1 时，有：两边取对数：由积分中值定理，在0，1之间应存在一点 c，使得以下等式成立：我们取区间0，1的中间点1/2来近似代替常数 c，则有：2021/9/1170例：在死亡力为常数的假设下，用P304表计算：，解：2021/9/1171例：在死亡均匀分布的假设下，用P304表计算：，解：2021/9/11723、4、3 鲍德希（Balducci）假设 鲍德希是意大利精算

28、师，他首先提出和使用了下面的假设，即当x为整数，0t1时，假设存活函数颠倒数是t的线性函数。用公式表示为：实验习题：对于 ，验证以上近似公式成立。由以上公式可解出 ，将公式的右边通分后相加，得：在以上公式中，分子分母同除了2021/9/1173所以：据此可推导出以下计算公式成立：（1）（2）2021/9/1174（3）2021/9/1175（4）2021/9/1176例：在鲍德希假设下，用P304表计算：，2021/9/1177函数均匀分布常数死力Balducci2021/9/1178P19 例1、3设某人在3个月前满75岁，根据本章所列生命表，计算在以上3种假设下，其在5年内死亡的概率。解：

29、其在5年内死亡的概率应表示为：年龄qxpx750.04507 0.95493 760.04867 0.95133 770.05274 0.94726 780.05742 0.94258 790.06277 0.93723 800.06882 0.93118 其中和在3种假设下的概率值分别为：均匀分布常数死力Balducci0.96581230.96600340.96619750.9827950.98233230.9818586计算结果为：均匀分布常数死力Balducci0.2443503960.2445567310.2447692482021/9/11793、5 几个死亡解析规律的介绍 在P4

30、0图3-1所表示的生存函数是包括了两个拐点的减函数，它很难用简单的数学形式准确的表示出来。多年来，数学研究人员曾提出过不少死亡率变动规律，其中著名的有以下几个。最早的也是最简单的死亡规律是亚伯拉罕 德莫弗(Abraham de Moivor)在1729年提出的，他提出 可以用一条直线近似。这一方法尽管很粗糙，但在当时对年金的计算起到很大的作用。其生存函数为：0 x 由此可得：2021/9/1180 1825年，本杰明龚泊茨(Benjamin Gompertz)在一篇著名的精算论文中提出，死亡力应当按指数规律增长：式中，B0；C1；x0。可以看出，当C=1时，为常数。例：当B=1，C=e 时，则所以：若利用以上公式编辑生命表，需要把x缩小 倍。2021/9/1181 1860年马克哈姆(WMMakeham)在龚泊茨规律的基础上提出的死亡规律是：式中，B0；A-B；C1；x0。显然马克哈姆规律当A=0时就是龚泊茨规律。1939年威布尔(Weibull)提出的规律是：式中，k0；n0；x 0。