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1、 LTI系统的框图结构表示系统的框图结构表示主要内容：主要内容：信号的时域分解信号的时域分解用用 表示离散时间信号表示离散时间信号用用 表示连续时间信号表示连续时间信号 LTI系统的时域分析系统的时域分析卷积积分与卷积和卷积积分与卷积和 LTI系统的微分方程及差分方程表示系统的微分方程及差分方程表示 奇异函数奇异函数第第2章章 线性时不变系统线性时不变系统引言引言(Introduction)(Introduction)基本思想：基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信号系统对基本信号的响
2、应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合应的线性组合LTI系统特点系统特点:齐次性齐次性和和可加性可加性，具有时不变性具有时不变性信号与系统分析理论与方法信号与系统分析理论与方法的的基础基础问题的实质：问题的实质：1.研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构成任意信号性组合来构成任意信号2.如何得到如何得到LTI
3、系统对基本单元信号的响应系统对基本单元信号的响应 作为基本单元的信号应满足以下要求：作为基本单元的信号应满足以下要求：1.本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号（构成）尽可能广泛的其它信号2.LTI系统对这种信号的响应易于求得系统对这种信号的响应易于求得如果解决了信号分解的问题，即：若有如果解决了信号分解的问题，即：若有则则将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换域进行，相应地就产生了对域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析法、系统的时域分析法、频域分析法和变换域分析
4、法频域分析法和变换域分析法分析方法：分析方法：离散时间信号中离散时间信号中,最简单的是最简单的是 ,可以由它的线性组可以由它的线性组合构成合构成 ，即：，即：2.1 离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和一一.用单位脉冲表示离散时间信号用单位脉冲表示离散时间信号 对任何离散时间信号对任何离散时间信号 ,如果每次从其中取出一个如果每次从其中取出一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲表示为不同加权、不同位置的单位脉冲（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution
5、 Sum）于是有于是有：上式把任意一个序列上式把任意一个序列 表示成一串移位的单位表示成一串移位的单位脉冲序列脉冲序列 的线性组合，其中的线性组合，其中 是权因子是权因子二二.卷积和卷积和（Convolution sum）定义：定义：离散时间离散时间LTI系统的系统的单位脉冲响应单位脉冲响应(impulse response)LTIl 时不变性时不变性l齐次性齐次性LTILTIl可加性可加性LTILTI系统对任何输入信号系统对任何输入信号 的响应的响应：上面这种求得系统响应的运算关系称为上面这种求得系统响应的运算关系称为卷积和（卷积和（The convolution sum）这表明：这表明：一
6、个一个LTI系统对任意输入的响应都可以由它系统对任意输入的响应都可以由它的单位脉冲响应来表示的单位脉冲响应来表示卷积的意义：卷积的意义：单位脉冲响应完全表征单位脉冲响应完全表征LTI系统的特性系统的特性三三.卷积和的计算卷积和的计算计算方法计算方法：有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）解析法解析法求求例：例：例：例：求求例：例：求求.例：例：图解法图解法 将一个信号将一个信号 不动不动，另一个信号经反转后为另一个信号经反转后为 ,再随参变量再随参变量 移位。在每个移位。在每个 值的情况下，将值的情况下，将 与与 对应点相乘，再把乘积的各点值累加对应点
7、相乘，再把乘积的各点值累加，即，即得到得到 时刻的时刻的 可分解为四步，对可分解为四步，对f(n)=x(n)h(n)（1）换元：）换元：n换为换为k得得x(k)，h(k)（2）反转平移：由）反转平移：由h(k)反转反转h(k)右移右移n位位 h(n k)（3）乘积：）乘积：x(k)h(n k)（4）求和：）求和：k 从从到到对乘积项求和对乘积项求和注意：注意：n 为参变量为参变量例例2：解：解：（1）换元：）换元：k换为换为i得得f1(i)，f2(i)（2）反转平移：由）反转平移：由f2(i)反转反转f2(i)，再右移再右移k f2(k i)（3）乘积：）乘积：f1(i)f2(k i)（4）求
8、和：）求和：i 从从到到对乘积项求和对乘积项求和 时时，时时，所以所以例例3：时时，时时，时时，时时，时，时，分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：与与 的所有各点都要遍乘一次的所有各点都要遍乘一次 在遍乘后，各点相加时，根据在遍乘后，各点相加时，根据 ，参与相加的各点都具有参与相加的各点都具有 与与 的宗量之和的宗量之和为为 的特点。的特点。列表法列表法 通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的。很有用的。四四.卷积
9、和运算的性质卷积和运算的性质1.交换律：交换律：结论：结论：一个单位冲激响应是一个单位冲激响应是hn的的LTI系统对输入信系统对输入信号号xn所产生的响应，与一个单位冲激响应是所产生的响应，与一个单位冲激响应是xn的的LTI系统对输入信号系统对输入信号hn所产生的响应相同。所产生的响应相同。2.结合律结合律:两个两个LTI系统级联可以等效为一个单一系统，该系系统级联可以等效为一个单一系统，该系统的单位脉冲响应等于两个级联系统的单位脉冲响统的单位脉冲响应等于两个级联系统的单位脉冲响应的卷积应的卷积两个级联的两个级联的LTI系统总的单位脉冲响应与其中各部系统总的单位脉冲响应与其中各部分级联的次序无
10、关分级联的次序无关结论：结论：3.分配律：分配律：结论：结论：两个两个LTI系统并联可以用一个单一的系统并联可以用一个单一的LTI系统来系统来等效，该单个系统的单位脉冲响应等于并联的各个子等效，该单个系统的单位脉冲响应等于并联的各个子系统的单位脉冲响应之和系统的单位脉冲响应之和4.卷积运算还有如下性质：卷积运算还有如下性质：卷积和满足差分、求和及时移特性：卷积和满足差分、求和及时移特性：连续时间信号连续时间信号 （Continuous-Time LTI Systems:The convolution integralContinuous-Time LTI Systems:The convolu
11、tion integral）一一.用冲激信号表示连续时间信号用冲激信号表示连续时间信号2.2 连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分基本信号的线性组合基本信号的线性组合如何分解？如何分解？用基本脉冲表示任意位置、高度的脉冲用基本脉冲表示任意位置、高度的脉冲00 用基本脉冲表示连续时间信号用基本脉冲表示连续时间信号l 时不变性时不变性l齐次性齐次性LTILTIl可加性可加性LTI LTI系统系统二二.卷积积分（卷积积分（The convolution integral）定义：连续时间定义：连续时间LTI系统的系统的单位冲激响应单位冲激响应LTI010 表明表明:连续时间连续时间LTI
12、系统可以完全由它的系统可以完全由它的单位冲激单位冲激 响应响应 来表征。来表征。卷积积分卷积积分三三.卷积积分的计算卷积积分的计算 卷积积分的计算：图解法、解析法和数值解法。卷积积分的计算：图解法、解析法和数值解法。运算过程：运算过程：1.1.参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量反转后随参变量 移动。移动。2 2 对每一个对每一个 的值，将的值，将 和和 对应相乘对应相乘 3 3 再计算相乘后曲线所包围的面积。再计算相乘后曲线所包围的面积。注意：确定积分区间和积分上下限注意：确定积分区间和积分上下限例例1:当当 时，时，当当 时，时，所以：
13、所以：例例2:当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，当当 时，时，四四.卷积积分运算的性质卷积积分运算的性质1.交换律：交换律：结论：结论：一个单位冲激响应是一个单位冲激响应是h(t)的的LTI系统对输入信系统对输入信号号x(t)所产生的响应，与一个单位冲激响应是所产生的响应，与一个单位冲激响应是x(t)的的LTI系统对输入信号系统对输入信号h(t)所产生的响应相同。所产生的响应相同。2.分配律：分配律：结论：结论：两个两个LTI系统并联，其总的单位冲激响应等于系统并联，其总的单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应之和。各子系统单位冲激响应之和。3.结合律结合律:两个两个LTI
14、系统级联时，系统总的单位冲激响应等于系统级联时，系统总的单位冲激响应等于各子系统单位冲激响应的卷积。各子系统单位冲激响应的卷积。由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。次序可以调换。结论：结论：4.卷积运算还有如下性质：卷积运算还有如下性质：若若 ，则，则卷积积分满足微分、积分及时移特性：卷积积分满足微分、积分及时移特性：若若 ，则，则将将 微分一次有微分一次有:例如：例如：2.2 中的例中的例2根据微分特性有根据微分特性有:*利用积分特性即可得利用积分特性即可得:2.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质1.无记忆性和记忆性
15、：无记忆性和记忆性：LTI 系统可以由它的单位冲激系统可以由它的单位冲激/脉冲响应来表征，脉冲响应来表征，因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）都应在其单位冲激都应在其单位冲激/脉冲响应中有所体现。脉冲响应中有所体现。因此必须有：因此必须有：即：即：（Properties of Linear Time-Invariant Systems）所以，无记忆系统的单位脉冲所以，无记忆系统的单位脉冲/冲激响应为：冲激响应为：如果如果LTI系统的单位冲激系统的单位冲激/脉冲响应不满足上述要求，脉冲响应不满足上述要求，则系统是则系统是记忆的记忆的。2.可逆性
16、：可逆性：如果如果LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且逆系统也是逆系统也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系系统，它们级联起来构成一个恒等系统。统。因此有：因此有：例如：例如：延时器是可逆的延时器是可逆的LTILTI系统，系统，其，其逆系统是逆系统是 ，显然有：，显然有：累加器累加器是可逆的是可逆的LTILTI系统，其系统，其 ，其逆，其逆系统是系统是 ，显然也有：，显然也有：3.因果性：因果性：对连续时间系统有对连续时间系统有:这是这是LTI系统具有因果性的充分必要条件系统具有因果性的充分必要条件。因此必须有：因此必须有：即：即：根据稳定性的定义
17、，由根据稳定性的定义，由 ，若若 有界，则有界，则 ;若系统稳定，则若系统稳定，则要求要求 必有界，由必有界，由对连续时间系统，相应有对连续时间系统，相应有:这是这是LTI系统稳定的充分必要条件系统稳定的充分必要条件4.稳定性：稳定性：可知，必须有可知，必须有:5.LTI系统的单位阶跃响应：系统的单位阶跃响应：在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述LTI系系统。单位阶跃响应就是系统对统。单位阶跃响应就是系统对 或或 所产生所产生的响应。因此有的响应。因此有:LTI系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。2.4 用
18、微分和差分方程描述的因果用微分和差分方程描述的因果LTI系统系统 在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类描述。分析这类LTI系统，就是要求解线性常系数微系统，就是要求解线性常系数微分方程或差分方程。分方程或差分方程。(Causal LTI Systems Described by Differential and Difference Equations)回顾：分析动态电路的过渡过程回顾：分析动态电路的过渡过程例例：求：求uc根据根据 KV
19、L 列出回路方程为：列出回路方程为：由于电容的由于电容的 VCR 为：为：得到以电容电压为变量得到以电容电压为变量的电路方程：的电路方程：解解：一阶一阶RC串联电路串联电路系统分析：系统分析：根据根据KCL、KVL和和VCR关系关系建立电路方程来描述电路系统建立电路方程来描述电路系统回顾：一阶微分方程的求解回顾：一阶微分方程的求解 解的结构：解的结构：齐次通解齐次通解特特解解l特解中的系数，由特解中的系数，由特解代入方程特解代入方程求出求出l通解中的系数由通解中的系数由初始条件初始条件求出求出二阶系统的二阶系统的微分方程描述微分方程描述(1)以以 iL为变量为变量(2)以以uc为变量为变量 回
20、顾：二阶回顾：二阶RLC串联电路系统串联电路系统 求解该微分方程，通常是求出求解该微分方程，通常是求出通解通解 和和一个特一个特解解 ，则，则 。一一.线性常系数微分方程线性常系数微分方程(LCCDE)（Linear Constant-Coefficient Differential Equation）均为常数均为常数例：已知例：已知LTI系统系统 ，且系统满足初始松弛条件，即且系统满足初始松弛条件，即 if t0，x(t)0 then t0，y(t)0 零状态零状态数字系统描述：数字系统描述：三阶数字回声系统三阶数字回声系统延时延时p p1 1p p0 0数字数字语音语音信号信号xn延时延时
21、延时延时p p2 2p p3 3延时延时-d-d2 2-d-d1 1延时延时-d-d3 3有有回回声声的的数数字字语音语音yn延时延时二二.线性常系数差分方程线性常系数差分方程(LCCDE):(Linear Constant-Coefficient Difference Equation)一般的线性常系数差分方程可表示为：一般的线性常系数差分方程可表示为：可以将其改写为：可以将其改写为：若要求若要求 除了要知道所有的输入外，还必须知道除了要知道所有的输入外，还必须知道 。由于这种差分方程可以通过递推。由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为求解，因而称为递归方程（递归方程（recursive
22、 equation）当当 时，差分方程变为：时，差分方程变为：求解方程不再需要迭代运算，因而称为求解方程不再需要迭代运算，因而称为非递归方程非递归方程（nonrecursive equation），其系统单位脉冲响应为：），其系统单位脉冲响应为：系统单位脉冲响应是有限长的系统单位脉冲响应是有限长的LTI系统称为系统称为 FIR（Finite Impulse Response）系统）系统当当 时，为时，为递归方程递归方程描述描述系统的单位脉冲响应是一个无限长的序列，称该系统的单位脉冲响应是一个无限长的序列，称该LTI系统为系统为IIR（Infinite Impulse Response)系统系统
23、FIR系统与系统与IIR系统是离散时间系统是离散时间LTI系统中两类重要系统系统中两类重要系统1.离散时间系统的三种基本网络单元：离散时间系统的三种基本网络单元：相加器相加器单位延迟单位延迟乘以系数乘以系数例：因果系统例：因果系统 ，建立该系统的，建立该系统的方框图表示方框图表示三三.系统的方框图表示系统的方框图表示 2.连续时间系统的基本网络单元连续时间系统的基本网络单元相加器相加器乘以系数乘以系数微分器微分器积分器积分器 但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对误差及噪声极为灵敏，因此，工程上通常使用积分误差及噪声极为灵敏，因此，工程上通常使用积
24、分器而不用微分器。器而不用微分器。例：已知因果例：已知因果LTI系统：系统：在第一章介绍单位冲激时，采用极限的观点，在第一章介绍单位冲激时，采用极限的观点，将将 视为视为 在在 时的极限。这种定义或描时的极限。这种定义或描述述 的方法在数学上仍然是不严格的，因为可以的方法在数学上仍然是不严格的，因为可以有许多不同函数在有许多不同函数在 时都表现为与时都表现为与 有相同有相同的特性。的特性。（Singularity function）例如例如:以下信号的面积都等于以下信号的面积都等于1 1，而且在，而且在 时，它们的极限都表现为单位冲激。时，它们的极限都表现为单位冲激。2.5 2.5 奇异函数奇
25、异函数 之所以产生这种现象，是因为之所以产生这种现象，是因为 是一个理想化是一个理想化的非常规函数，被称为的非常规函数，被称为奇异函数奇异函数。通常采用在卷积。通常采用在卷积或积分运算下函数所表现的特性来定义奇异函数。或积分运算下函数所表现的特性来定义奇异函数。一一.通过卷积定义通过卷积定义 根据定义可以得出根据定义可以得出 的如下性质：的如下性质：定义定义 为一个信号，对任何为一个信号，对任何 信号有：信号有：当当 时，有时，有 采样性：采样性：原点采样公式原点采样公式 此式即可作为在积分运算下此式即可作为在积分运算下 的定义式。的定义式。二二.通过积分定义通过积分定义 是偶函数是偶函数，即
26、：，即：根据积分下的定义有：根据积分下的定义有：三三.单位冲激偶及其他奇异函数单位冲激偶及其他奇异函数 理想微分器的单位冲激响应应该是理想微分器的单位冲激响应应该是 的微分，的微分，记为记为 ，从卷积运算或，从卷积运算或LTI系统分析的角系统分析的角度应该有：度应该有：所以所以 称为称为单位冲激偶单位冲激偶（Unit doublet）微分器微分器奇异函数的定义：奇异函数的定义：由由 ，的各阶导数及的各阶导数及 的各次积分组成的的各次积分组成的一个函数族。一个函数族。奇异函数的符号表示：奇异函数的符号表示：运算定义：运算定义：性质：性质：LTI系统的时域分析系统的时域分析卷积和与卷积积分卷积和与
27、卷积积分 LTI系统的描述方法：系统的描述方法：用用 描述系统（也可用描述系统（也可用 描述）描述）用用LCCDE连同零初始条件描述连同零初始条件描述LTI系统系统 2.6 小结（小结（Summary）本章主要讨论了以下内容本章主要讨论了以下内容：信号的时域分解信号的时域分解:奇异函数。奇异函数。用方框图描述系统（等价于用方框图描述系统（等价于LCCDE描述）。描述）。记忆性、因果性、稳定性、可逆性与记忆性、因果性、稳定性、可逆性与 的关系；的关系；系统级联、并联时，系统级联、并联时，与各子系统与各子系统的关系。的关系。LTI系统的特性与系统的特性与 的关系：的关系：第二章习题：第二章习题：见黑板见黑板