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1、好好学习 天天向上一师一优课“实验与探究”三角形中边与角之间的不等关系敎學设计湖北省襄阳市襄州区张湾中心学校 朱小平一、 内容和内容解析1.内容三角形中边与角之间的不等关系2.内容解析本节课是一节“实验与探究”课,是在学习了等腰三角形的性质与判定之后,为进一步探究三角形中边与角之间的不等关系而安排的.目的有两个:一是让学生探究三角形中边与角之间的不等关系,即两个互逆命题；二是通过这两个问题的探究,介绍利用相等关系来解决不等关系的一种方法.因此本节课的实验与探究,一定要充分借鉴等腰三角形的性质与判定的研究方法,让学生观察图形猜想,亲历折纸实验,尝试证明探究,获取一般结论.在实验探究的过程中,还要
2、利用轴对称的性质,把边与角之间的不等问题,转化为较大量的一部分与较小量相等的问题,这也是几何研究不等问题时常用的方法.敎學时要注意有意设计不等与相等之间的关联,让学生感悟类比与转化的数学思想方法在解决问题中的作用,对于培养学生解决数学问题的能力很有好处.基于以上分析,确定本节课的敎學重点是:能利用轴对称的性质探究三角形中边与角之间的不等关系,能利用三角形边与角相等的知识,解决边与角之间的不等问题.二、目标和目标解析1.目标（1）探索并证明三角形中边与角的不等关系；（2）能利用三角形的边角不等关系解决简单问题.（3）结合三角形的边角不等关系的证明过程,体会类比和转化在研究数学问题中的作用.2.目
3、标解析达成目标（1）的标志是:经历观察猜想实验操作验证证明等一系列活动,利用轴对称的性质探究三角形的边角不等关系,能利用三角形边角相等的知识,解决边角之间的不等问题.达成目标（2）的标志是:能利用三角形的边角不等关系定理解决一些边角不等问题或者对原来学过的“基本事实”进行解释与证明.达成目标（3）的标志是:充分借鉴等腰三角形的性质与判定的研究方法,让学生亲历折纸实验活动,获取添加辅助线的方法.在实验探究的过程中,体会折叠就是利用轴对称的性质,把边与角之间的不等问题,转化为较大量的一部分与较小量相等的问题.感知前后知识之间的联系,感悟在解决数学问题时,使用数学思想方法带来的便捷.三敎學问题诊断分
4、析学生由于添加辅助线的经验不足,对于何时需要添加辅助线,如何添加辅助线仍没有规律性的了解.事实上,添加辅助线本身就是一项探究性的数学活动,是获得证明所采取的一种尝试,既可能成功,也可能失败.本节课是边与角之间的不等关系探究,对于几何中的不等关系,学生会感觉更难,更无头绪.只是在学习等腰三角形时有过折纸的活动体验,借助折痕添加了辅助线,所以本节课一定要牢牢抓住这点已有的经验大做文章,进行知识的迁移,将折纸活动进行到底,不同的折纸方法,有不同的折痕,就引出不同的添加辅助线的方法.基于上述的分析,确定本节课的敎學难点为:折纸的无意操作与辅助线的有意添加结合. 探究“边与角之间的不等问题”时,进行一次
5、轴对称变换,利用“边角之间的相等问题”来解决.四敎學过程设计（一）知识回顾问题1:我们学过的特殊三角形等腰三角形中边和角之间有怎样的关系？我们知道,在一个三角形中,如果有两条边相等,那么它们所对的角也相等. 如果有两个角相等,那么它们所对的边也相等.【设计意图】复习旧知,为获取新知做准备.问题2:你能利用手中的等腰三角形模型进行折纸验证吗？(提前发等腰三角形模型)【设计意图】进行折纸验证,有两个目的:一是通过折纸实验为下面将要进行的边角不等关系探究折纸活动提供经验；二是由等腰三角形折纸获得折痕有角平分线、高线、中线,为一般三角形边角不等关系的探究提供不同的折叠方式.（二）提出问题问题3:由特殊
6、到一般,如果一个三角形两条边不相等,那么,这两条边所对的角会不会相等？如果一个三角形两个角不相等,那么,这两个角所对的边会不会相等？ 追问:那么不相等的边所对的角之间的大小关系又是怎样的呢？大边所对的角也大吗？反过来,大角所对的边也较大吗？【设计意图】问题3的预设是学生能够直接说出不相等.可能能用反证法的思想说明,也可能不能说出原因.所以再进行追问,引发学生的观察、猜想.为引出探究一般三角形边角之间的不等关系过渡与铺垫。（三）探究大边对大角1.观察图形,提出猜想（1）让学生自己动手制作三边不相等的三角形（为了敎學方便 统一制作ABC,且ABAC）.(2）通过观察图形,猜想性质. 在ABC中,边
7、AC对B,边AB对C,同学们通过肉眼观察可得到C大于B,故猜想大边对大角.猜想:在一个三角形中,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大（简写成大边对大角）.【设计意图】通过观察图形发现:在一个三角形中角之间的不等关系,从而猜想结论.2.实验操作,验证猜想问题4:你有哪些方法验证你的猜想？ 预设:借助学生手中的工具与学具（裁剪的三边不相等的三角形）,学生可能会进行:量角器测量；或者沿边的垂直平分线折叠,直接利用叠合法比较两个角的大小；或者通过折纸（折痕是A的平分线或BC边的高线）然后分析证明,或者直接证明.ED BCA展示验证方法. 测量法叠合法:折痕是沿边的垂直平分线 折痕是
8、BAC角平分线折痕是BC边的高CDABC【师生活动】学生用自己的方法验证,教师在此过程中巡视、发现、参与其中,对于较困难的学生,可以小组内交流,然后学生展示自己的验证方法。教师在恰当的时机通过几何画板演示验证猜CDABC想的正确性.【设计意图】开放性提问,给不同学习能力的学生提供了不同解决问题的方法,满足不同学生的需求。工具与学具为学生提供了动手操作的机会,让学生体验数学活动中充满着探索与创新,激发学生学习几何的兴趣,获得解决问题的成功体验.在此过程中,既对所需知识进行合理复习,又培养了学生的动手操作能力,也为后面证明时添加辅助线奠定了基础. 3.演绎推理,证明猜想问题5:我们通过测量、几何画
9、板和折纸验证了猜想是正确的,你能利用折纸带来的启发证明猜想吗？【设计意图】让学生逐步实现由实验几何到论证几何的过渡.将合情推理与演绎推理完美结合,积累数学学习经验.已知:如图,在ABC中,ABAC . 求证:C B证法一: 证明:作ABC中A的平分线,与边BC交于点D.在边AB上截取AE,使AE=AC,连接DE.AD为BAC的角平分线（已知）BAD=CAD（角平分线定义）在EAD和CAD中BDABCEADCAD（SAS）C=AED（全等三角形的性质）又AED=B+BDE AEDB.CB（等量代换）. 或作ABC中A的平分线,与边BC交于点D.在AC延长线上截取AB,使AB=AB,连接BD .证
10、法二:在边AB上截取AD,使AD=AC,连接CD. AB CE由等边对等角可知ADC=ACD.又由ADC=B+DCB. ADCB, 又ACB=ACD+DCB. ACBACD ACBB.EDABC或:由于ABAC,故可延长AC到E,使AB=AE.证法三ED BCA过A作BC的垂线,垂足为D,在BD边上截取DE,使DE=DC,连接AE .证法四:作边的垂直平分线DE交AB于点E,连接E【设计意图】规范书写几何推理的过程,尤其是注意辅助线的说明和折纸方法对应结合,将无意识的操作变为有意识的添加辅助线.同时不同的学生在运用不同方法证明的过程中,提高思维的深刻性和广阔性.（备注:学生重在实验、探究、展示
11、的过程,由于在展示环节学生已经表述了其中的道理,本环节学生可以选择自己喜欢的一种证明即可,老师不用每一种方法都讲到,可以提及.多种证明方法只是一种预设.）归纳结论:在一个三角形中,如果两条边不等,那么它们所对的角也不等,大边所对的角较大. （简写成:大边对大角）.符号语言:在ABC中,ABAC C B.【设计意图】会进行文字语言、图形语言、符号语言的转换.培养学生语言表达能力和归纳能力.问题6:从对“大边对大角”的探索过程中,你有何收获？（）折纸对我们添加辅助线的启发（2）利用轴对称的性质（翻折或截长补短）构造全等或者等腰三角形,可以把研究边与角之间的不等问题,转化为较大量的一部分与较小量相等
12、的问题,进而将角进行转移.转化为“一个角为另一个角所在三角形的外角” 或者角的和差.【设计意图】在研究问题的过程中学会及时总结学习方法,及时收获.养成良好学习习惯与学习方法.对培养学生解决数学问题的能力很有好处。问题7:类比探究“大边对大角”的活动过程,请你探究“大角对大边”.已知:如图,在ABC中,C B. 求证: ABAC.ED BCA证明:我们可以将ABC折叠,使点B落在C上, B落在C内部,或者在在C 内部可以作BCE B.因为BCE B,所以BE=CE而AE+CEAC所以AE+BEAC即ABAC归纳结论:在一个三角形中,如果两个角不等, 那么它们所对的边也不等,大角所对的边较大. （
13、简写成:大角对大边）.符号语言: 在ABC中,C B ABAC【设计意图】问题7主要是类比探究,类比探究“大边对大角”的活动过程,探究“大角对大边”,提高知识方法的迁移能力,感悟数学思想方法的重要性,也为学生提供了学法指导. 4.应用新知,解决问题利用上面两个结论,回答下面的问题:（1）在ABC中,已知BCABAC,那么A , B , C有怎样的大小关系？（2）如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角,这个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？（3）直角三角形的哪一条边最长？为什么？ 【设计意图】利用新知解决简单的数学问题或解释简单的数学结论.5.课外思考,拓展练习如图, ABC中,AD是中线,如果
14、ABAC,判断BAD与DAC的大小关系, 并给予证明.【设计意图】课外拓展题条件中没有角平分线、高等条件,区别于前面的题,学生经过尝试,翻折变换无法实现,有一定难度。所以放在课外给学生更多的时空,更多的学习方式去探究。为实现目标角的转移,主要要关注中点条件. 通过此题让学生充分巩固和掌握利用旋转变换添加辅助线的方法以及利用“大边对大角”证明角不等关系的方法.（四）小结提升本节课通过对三角形边角不等关系的探究,我们了解了研究几何问题的方法. “观察图形猜想性质实践检验推理证明”等一系列活动.在解决问题时,我们可以将新问题转化到我们已知的、熟悉的定理,用已有的知识解决新问题.利用轴对称的性质,可以
15、把研究边与角之间的不等问题,转化利用已有的边角相等的知识来解决,这种转化的思想是研究几何问题时常用的方法.类比等腰三角形中边角相等问题的研究方法和辅助线的添加方法,探究一般三角形中边角之间不等关系,在研究方法与方式上有通性.【设计意图】通过小结,使学生梳理本节课所学内容和研究方法,把握本节课的核心转化,提升学生思维的深刻性 ,养成善于总结的学习习惯.从知识之间的前后联系上来看,等腰三角形中边角相等关系的研究为一般三角形中边角之间不等关系的研究提供了研究的模板与方向.注意类比敎學,交给学生通性通法.（五）布置作业1、整理做法:选出两种你喜欢的作法完成证明.2、请你写出今天探究过程中用到的所有数学知识. 3、完成上面课外思考的拓展练习.4、已知:AB=AC,D在BC上,E在BC的延长线上, 求证:AD AB AE.【设计意图】作业1:规范书写几何推理的过程,并进一步巩固所学.作业2:善于总结巩固所学知识之间的综合运用.作业3.4:让学有余力的同学课后充分探究,进行拓展提升,并锻炼克服难题的毅力.7