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1、不等关系与不等式（一）通过本节课的学习让学生从一系列的具体问题情境中感受到在现实世界和日常生活中存 在着大量的不等关系，并充分认识不等关系的存在与应用，这是学习本章的根底，也是不等 关系在本章内容的地位与作用.对不等关系的相关素材，用数学观点进行观察、归纳、抽象， 完成量与量的比较的过程，即能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立 不等式数学模型的过程，这是学习本章第三节的根底.在本节课的学习过程中还安排了一些简 单的学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学 生的学习兴趣，并由衷地产生用数学工具研究不等关系的愿望，这也是学生学习本章的情感 根底
2、.根据本节课教学内容，应用观察、抽象归纳、思考、交流、探究，得出数学模型，进行 启发式教学并使用投影仪辅助.教学重点1.通过具体的问题情景，让学生体会不等量关系存在的普遍性及研究的必要性；.用不等式或不等式组表示实际问题中的不等关系，并用不等式或不等式组研究含有简单的不 等关系的问题；2 .理解不等式或不等式组对于刻画不等关系的意义和价值.教学难点1.用不等式或不等式组准确地表示不等关系；2.用不等式或不等式组解决简单的含有不等关系的实际问题.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1 .通过具体情境建立不等观念，并能用不等式或不等式组表示不等关系；2 .了解不等式或不等式组
3、的实际背景；3 .能用不等式或不等式组解决简单的实际问题.二、过程与方法L采用探究法，按照阅读、思考、交流、分析，抽象归纳出数学模型，从具体到抽象再从 抽象到具体的方法进行启发式教学；师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.设计较典型的现实问题，激发学生的学习兴趣和积极性.三、情感态度与价值观复性质3:不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向.让同学答 复过程引导师不等式的这三条根本性质，都可以用数学的符号语言表达出来.让三位同学板演a-c 性质 1 ： ab a+c b a+c b+ca b性质 2: q v且 cO=acv Ac（或一V）;且 c0
4、Ci / qcv （或一一）. Ci / qcv （或一qc/?c（或一 ）;ah c/力。 ”表示。减去所得的差是一个大于。的数即正数，即。 0.它的逆命题是否正确？ 生显然正确.师类似地，如果。乩那么。减去人是负数，如果斫乩那么。减去b等于0,它们的逆命题也正确,一般地，ab = a-b O;a=b n a-b=O;a bn a-b 0,从而(x?+l)2 x，+x2+l.学生对X/),得X2O在说理过程中往往会忽略师 下面我们来看一组比较复杂的问题，请大家都来开动脑筋，认真审题，仔细分析.让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评例1比较以下各组数的大小存切.a + b ,2(1);一与j
5、- (0力。)；I a b2a”-与 4。_们.师比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的 符号来确定.解：1a + b 2 _ a + b 2ah _ （a + h）2 -4ah _ （ 一h）2 F- - 11 - - a + b 2（ +。）- 2（a + b）I a b* a 0,b 0 且 a+b 0,（6z-/?）2 0.b）22（ +。） 2a4-b4-4a3(a-b)二(。-6)(。+。)(。2+82)-4。33_份=(a-h)(a3+a2h+ah2+h3-4a3)=(a-b) (72-6Z3)4-(tz/?2-6Z3)4-(Z?3-(23
6、)=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2 2a2+(a+Z?)2,当且仅当a=h=Q时取等号)，又 叶b,(a-b)2 0,2q2+(q+Z?)2 0./. -(a-b)2 2。2+(+份2 v Q/. o4-4 0=ac/?c；2ah a+c h+c.师 请同学们思考第一小问该如何证明？生 可用实数的根本性质，。6。，由任意两个正数的积都是正数可得(。方)。0, 即 ac be.师这位同学证明的思路很好，很严密同学们还有其他的证明思路吗？生ac-hc=(a-h)c, 9：ah, ：.a-h9：c0,由任意两个正数的积都是正数可得(a/)c0,所以得 证.师这位同学证明得是否
7、正确？生正确.师 这两位同学的证明都正确，请同学们认真地审视一下，比较这两位同学证题思路的区别与 联系.生 第一位同学的证明是由条件到结论，第二位同学的证明是由结论到条件，即寻找结论成立 的条件.师答复得非常好，这位同学看出了两种证明方法的本质.由条件到结论，由结论到条件，这是我 们证明问题经常采用的思路.按照教材对不等式的证明要求，此处对不等式证明的分析法与综合法没有点明，只是让学 生通过具体的问题了解不等式证明的分析法与综合法的证题思路师 请同学继续思考第二小问该如何证明？生 可由结论到条件，a+c-(h-c)=a-h, ： a b,a-h 0, a+c h+c.师 这位位同学答复得很好，
8、有理有据，严谨细致，也很有条理清晰.别的同学有问题吗？生齐声没问题.师这说明同学们对不等式的证明思路掌握得很好.师 下面我们再来看一个比较复杂的问题，请大家继续开动脑筋，认真审题，仔细分析.此处，老师再一次这样说的目的是能够激发起同学们克服难题的欲望，进而增强学习的积 极性与主动性(此时，老师用投影仪给出本课时的例2)例题剖析c Ca b O,c一a b师前面我们已经利用不等式及实数的根本性质证明了一些简单的不等式.请同学思考此该如 何证明？生可由条件到结论两边同乘以正数二，得!即!又cv。， ab b a a ba b师这位同学答复得很好.通过此例的解答可以看出，本课时，同学们对简单不等式的
9、证明掌握 得非常好.希望同学们课后进一步探究，对不等式的根本性质和实数的性质应用既要严密、标 准，又要灵活，才能到达要求.课堂小结常用的不等式的根本性质及证明：Cl ab.bc =tz c;a b.b c n a-b O,b-c 0 n (a-b)+(b-c) 0 n a-c 0 a c.2ab a+c h+cab = a-b 0 n (-/?)+() 0 n (+c)-(b+c) 0 n a+c %+c 3a b,cG = ac be;a b,c 0=a-b 0,c 0= (a-b)c 0nac-bc 0acbe.4a b,cQ ac h.c v 0 n a-b 0,c v 0 n (a-h
10、)c v 0 n ac-bc ac he.布置作业 课本第84页习题3A组3, B组1.34、2.板书设计不等关系与不等式二引入方法引导方法归纳不等式和实数的根本性质实例剖析知识方法应用小结示范解题1 .通过具体情境，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系， 鼓励学生用数学观点进行观察、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、改变学生的数学 学习态度；2 .学习过程中，通过对问题的探究思考、广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积 极的学习品质，从而提高学习质量；3 .通过对富有实际意义问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同 时去感受数学的应用性，体会
11、数学的奥秘与数学的简洁美，激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课师日常生活中,同学们发现了哪些数量关系.你能举出一些例子吗？生 实例1：某天的天气预报报道，最高气温32,最低气温26.生 实例2:对于数轴上任意不同的两点A、B,假设点A在点B的左边，那么xvx（老师协助画出数轴草图）4生实例3:假设一个数是非负数，那么这个数大于或等于零.实例4:两点之间线段最短.实例5:三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.（学生迫不及待地说出这么多，说明课前的预习量很充分，学习数学的兴趣浓，此时老师应给以充 分的肯定和表扬）推进新课师同学们所举的这些例子联系了现实生活，又考虑到数学上常见的数量关系,非
12、常好.而且大 家已经考虑到本节课的标题不等关系与不等式，所举的实例都是反映不等量关系，这将暗示我 们这节课的效果将非常好.（此时，老师用投影仪给出课本上的两个实例）实例6:限时40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h.实例7:某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应 不少于2.3%.过程引导师能够发现身边的数学当然很好，这说明同学们已经走进了数学这门学科，但作为我们研究数 学的人来说，能用数学的眼光、数学的观点、进行观察、归纳、抽象，完成这些量与量的比较 过程，这是我们每个研究数学的人来说必须要做的，那么，我们可
13、以用我们所研究过的什么知识 来表示这些不等关系呢？生可以用不等式或不等式组来表示.师什么是不等式呢？生用不等号将两个解析式连结起来所成的式子叫不等式.老师给出一组不等式-71+4; 2x6；。+2*;3彳4.目的是让同学们回忆不等式的一 些根本形式，并说明不等号飞，的含义，是或的关系.回忆了不等式的概念，不等式组学生 自然而然就清楚了师能用不等式及不等式组把这些不等关系表示出来，也就是建立不等式数学模型的过程，通 过对不等式数学模型的研究，反过来作用于我们的现实生活，这才是我们学习数学的最终目 的.此时，同学们已经迫不及待地想说出自己的观点.合作探究生 我们应该先像实例2那样用不等式或不等式组
14、把上述实例中的不等量关系表示出来.师说得非常好，下面我们就把上述实例中的不等量关系用不等式或不等式组一一表示出来. 那应该怎么样来表示呢？学生轮流答复，老师将答案相应地写在实例后面生 上述实例中的不等量关系用不等式表示应该为32t0.此时，学生有疑问，老师及时点拨，可以画出图形.让学生板演老师顺便画出三角形草画生 AC+BC AB（只需结合上述三角形草图）.生 AB+BC AC. AC+BCAB. AB+AC BC.生AB-BCAC. AC-BCAB.以司-八。| v |BC|.交换被减数与减数的位置也可以.生如果用v表示速度，那么v2.3%.（此时，一片安静,同学们在积极思考）生 这样表达是
15、错误的,因为两个不等量关系要同时满足，所以应该用不等式组来表示此实际问/2.5%, 题中的不等量关系，即可以表示为 on/ p2.3%.生也可表示为拦2.5%且pN2.3%.师同学们看这两位同学的观点是否正确？生（齐答）大家齐声说，都可以.师同学们的思考很严密，很好!应该用不等式组来表示此实际问题中的不等量关系，也可以用 “且的形式来表达.课堂练习教科书第83页练习R 2.（老师让学生轮流答复，学生答复很好.此时，同学们已真正进入了本节课的学习状态，老师 再用投影仪给出课本上的三个问题.问题是数学研究的核心，以问题展示的形式来培养学生的 问题意识与探究意识【问题U 设点A与平面a的距离为d,3
16、为平面a上的任意一点.活动与探究师请同学们用不等式或不等式组来表示出此问题中的不等量关系.（此时，教室一片安静，同学们在积极思考，时间较长,老师应该及时点拨）方法引导师 前面我们借助图形来表示不等量关系,这个问题是否可以？（可以让学生板演，结合三角形草图来表达）过点A作ACJ_平面a于点C,那么d=|AC|S|A酣 师这位同学做得很好，我们在解决问题时应该贯穿数形结合的思想，以形助数，以数解形.师 请同学们继续来处理问题2.合作探究【问题2某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，假设单价每提高 0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.假设把提价后杂志的定价设为x元，
17、怎样用不等式表示 销售的总收入仍不低于20万元呢？r-2 5生可设杂志的定价为x元，那么销售量就减少一丁xO.2万本.v-7 JL师 那么销售量变为多少呢？如何表示？r-2 5r-2 5生 可以表示为（8 一丁乂0.2）万本，那么总收入为（8- 一丁*02万元.vj/ JLVz I.r-2 5老师板书，即销售的总收入为不低于20万元的不等式表示为(8 x0.2)x20 V/ A师 是否有同学还有其他的解题思路？生 可设杂志的单价提高了 01n元，(neN*),下面有讨论的声音，有的同学存在疑问，此时老师应密切关注学生的思维状况师为什么可以这样设？生我只考虑单价的增量.师很好，请继续讲.生 那么
18、销售量减少了 02n万本，单价为(2.5+0.ln)元，那么也可得销售的总收入为不低于20 万元的不等式,表示为(2.5+0.ln)(8-0.2n)N20.师这位同学答复得很好，表述得很准确.请同学们对两种解法作比较.留下让学生思考的时间师请同学们继续思考第三个问题.合作探究【问题3J某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种,按照生产的要 求,600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等 式？师假设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应当有什么样的不等 量关系呢？生 截得两种钢管的总长度
19、不能超过4 000 mm.生 截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍.生 截得两种钢管的数量都不能为负.师 上述的三个不等关系是“或”还是”且的关系呢？生 它们要同时满足条件，应该是且的关系.生 由实际问题的意义，还应有x,yN.师这位同学答复得很好，思维很严密.那么我们该用怎样的不等式组来表示此问题中的不等关 系呢？生 要同时满足上述三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：师 这位同学答复很准确.通过上述三个问题的探究，同学们对如何用不等式或不等组把实际问 题中所隐含的不等量关系表示出来，这一点掌握得很好.请同学们再完成下面这个练习.课堂练习练习：假设需在长为4 000
20、mm的圆钢上，截出长为698 mm和518 mm两种毛坯，问怎 样写出满足上述所有不等关系的不等式组？分析：设截出长为698 mm的毛坯x个和截出长为518 mm的毛坯y个，把截取条件数学 化地表示出来就是：练习可让学生板演，老师结合学生具体完成情况作评析，特别应注意xN0,yN0,x,yN课堂小结师通过今天的学习，你学到了什么知识，有何体会？生 我感到学习数学可以帮助我们解决生活中的实际问题.生数学就在我们的身边，与我们的生活联系非常紧密，我更加喜爱数学了.生 本节课我们还进一步稳固了初中所学的二元一次不等式及二元一次不等式组，并且用它来 解决现实生活中存在的大量不等量关系的实际问题.师 我
21、来补充一下，在用二元一次不等式及二元一次不等式组表示实际问题中的不等关系时， 思维要严密、标准，并且要注意数形结合等思想方法的综合应用.慢慢培养学生学会自己来归纳总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回 忆与反思，从而到达三维目标的整合.进而培养学生的概括能力和语言表达能力 布置作业A 组 4、5.板书设计不等关系与不等式一实例方法引导方法归纳如何用不等式或不等式组表示实例剖析知识方法应用小结实际问题中不等量关系？示范解题备课资料一、备用习题L一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、 硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨
22、、硝酸盐15吨.现有库存磷 酸盐10吨、硝酸盐66吨，在此根底上进行生产.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量 关系表示出来.分析：设x,y分别为方案生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，那么4x+y 10, 18x+ 15y 0, y20.2 .某年夏天，我国遭受特大洪灾，灾区学生小李家中经济发生困难.为帮助小李解决开学费用 问题，小李所在班级学生小李除外决定承担这笔费用.假设每人承担12元人民币，那么多 余84元；假设每人承担10元，那么不够；假设每人承担11元，又多出40元以上,问该班共 有多少人？这笔开学费用共多少元？请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出 来，不必解答.12x-
23、y = 84,10xVy,分析：设该班共有x人，这笔开学费用共y元，那么一 /八.llx-y = 40, xe N*.3 .制定投资方案时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算 投资甲、乙两个工程.根据预测，甲、乙工程可能的最大亏损分别为30%和10%.投资人方案投 资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.请用不等式或不等式组把此 实例中的不等量关系表示出来.分析：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个工程，x+y0,g().A、B两种产品，4产品的单位利润为60元，B产品的单位利润为80元，两种产品都需要在 加工车间和装配车间进行生产，每
24、件A产品在加工车间和装配车间各需经过0.8h和2.4h,每 件B产品在两个车间都需经过L6h,在一定时期中，加工车间最大加工时间为240 h,装配车 间最大生产时间为288 h.请用不等式或不等式组把此实例中的不等量关系表示出来.0.8x + 1.6y 240,分析：设该企业分别生产A产品x件、8产品y件，那么分析：设该企业分别生产A产品x件、8产品y件，那么2.4x + 1.6y 0x.yeZ.二、课外探究开放性问题x + y 2 5(), x + y = 100, :不等式组你能举出符合此不等式组的实际问题吗？x,yeN,不等关系与不等式二沉着说课数根本理论的复习，教师应作好点拨，利用数轴
25、数形结合，做好归纳总结.对不等式的根 本性质，教师应指导学生用数学观点与等式的根本性质作类比、归纳、逻辑分析，并鼓励学 生从理性角度去分析量与量的比较的过程，进而能利用不等式的根本性质来证明一些简单的 不等式.在本节课的学习过程中，课外作业仍安排了一些简单的学生易于处理的实际问题，用 意在于让学生注意对数学知识和方法的应用，同时也能激发学生的学习兴趣，并进一步让学 生体会研究不等式根本性质的必要性，这也是学生学习本学时的情感根底.根据本节课的教学内容，应用再现、回忆得出实数的根本理论，并能用实数的根本理论 来比较两个代数式的大小和证明不等式的一些性质.应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、 交
26、流、探究，得出不等式的根本性质，并能利用不等式的根本性质进行一些简单的不等式证 明.进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点1.利用数轴，数形结合回忆实数的根本理论，并能用实数的根本理论来比较两个代 数式的大小；.了解不等式性质研究的必要性及不等式的一些根本性质；2 .能用不等式的根本性质来证明一些简单的不等式.教学难点1.用实数的根本理论来比较两个代数式的大小时对差的合理变形；2.利用不等式的根本性质来证明一些简单的不等式.教具准备投影仪、胶片、三角板、刻度尺三维目标一、知识与技能1 .利用数轴，数形结合回忆实数的根本理论，并能用实数的根本理论来比较两个代数式的 大小与用实数的根本理论
27、来证明不等式的一些性质；2 .通过回忆与复习学生所熟悉的等式性质类比得出不等的一些根本性质；3 .在了解不等式一些根本性质的根底之上能利用它们来证明一些简单的不等式.二、过程与方法1 .采用探究法，按照联想、类比、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教 学；2 .教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3 .设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴 趣.三、情感态度与价值观1 .通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量 关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象
28、，使学生感受 数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2 .学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积 极的学习品质，从而提高学习质量；3 .通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时 去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生 的学习兴趣.教学过程导入新课师上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了 用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系.为了利用不等式更好地研究不等量关系及 用不等式或不等式组研究含有不等关系的问题.我们需要
29、对不等式的性质有必要的了解.推进新课师我们已学习过等式、不等式，同学们还记得等式的性质吗？生等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以除数不为零同 一个数，所得到的仍是等式.师很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就 是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以除数不为零同一个 数，结果将会如何呢？此时很快能让学生进入对初中所学过的不等式三条根本性质的回忆与复习师一般地说，不等式的根本性质有三条：性质1：不等式的两边都加上或都减去同一个数，不等号的方向.让同学答复 性质2:不等式的两边都乘以或都除以同一个正数，不等号的方向.让同学答