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1、#*高中数学必修高中数学必修 5 5 第一章第一章 解三角形复习解三角形复习一、知识点总结一、知识点总结 【正弦定理正弦定理】1正弦定理: (R为三角形外接圆的半径).2sinsinsinabcRABC2. .正弦定理的一些变式：； sinsinsini a b cABC sin,sin,sin22abiiABCRR2c R；（iv） 2 sin,2 sin,2 siniii aRA bRB bRCRCBAcba2sinsinsin 3两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 【余弦定理
2、余弦定理】1余弦定理： 2.推论：.2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC 222222222cos2cos2cos2bcaAbc acbBac bacCab 3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角. （2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 【面积公式面积公式】已知三角形的三边为 a,b,c, 1.= =2R2sinAsinBsinC（其中为三角形内切圆半径）111sin()222aSahabCr abcRabc 4r2.2.设设, ,(海伦公式)(21cbap )()(cpbpappS 【三角形中的常见结论三角形中的常见结论】（
3、1 1）(2) CBAsin()sin,ABCcos()cos,ABC tan()tan,ABC ,;2cos2sinCBA 2sin2cosCBA （3）若 CBAcba CBAsinsinsin 若（大边对大角，小边对小角）CBAsinsinsin cba CBA （4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 (5) 锐角三角形锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任意两边的平方和大于第三边的平方.钝钝 角三角形角三角形最大角是钝角最大角的余弦值为负值（6）中，A,B,C 成等差数列的充要条件是.CA60 B(7) 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列，且 a,b,
4、c 成等比数列.CA 二、题型汇总二、题型汇总 题型题型 1【1【判定三角形形状判定三角形形状】 判断三角形的类型 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，#*统一成边的形式或角的形式.（2）在中，由余弦定理可知:ABC222222222是直角ABC 是直角三角形 是钝角ABC 是钝角三角形 是锐角abcA abcA abcA ABC 是锐角三角形（注意：）是锐角A ABC 是锐角三角形(3) 若，则 A=B 或.BA2sin2sin2 BA例 1.在中，且，试判断形状.ABC Abccos2 abcbacba3)( ABC 题型题型 2【解
5、三角形及求面积解三角形及求面积】 一般地，把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其 他元素的过程叫做解三角形解三角形.例 2.在中，求的值ABC 1 a3 b030 A例 3.在中，内角对边的边长分别是，已知，ABC CBA,cba,2 c3 C（）若的面积等于，求；ABC 3ba,（）若，求的面积AABC2sin2)(sinsin ABC 题型题型 3【证明等式成立证明等式成立】 证明等式成立的方法：（1）左右，（2）右左，（3）左右互相推.例 4.已知中，角的对边分别为，求证：.ABC CBA,cba,BcCbacoscos #*题
6、型题型 4【解三角形在实际中的应用解三角形在实际中的应用】 实际问题中的有关概念：仰角 俯角 方位角 方向角 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图 1)(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图 2)(3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图 3)北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向南偏西等其他方向角类似 例 5如图所示，货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为 140的方向航行，为了确定
7、船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110，航行半小时到达 C 点观测灯塔 A 的方位角是 65，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？#* 解三角形高考题精选解三角形高考题精选1的三个内角为，求当 A 为何值时，取得最大值，并求出这个最ABCABC、cos2cos2BCA大值。解：由 所以有 ,222,ACBCBA得.2sin2cosACB2sin2cos2cos2cosAACBA2sin22sin212AA.23)21 2(sin22A当.23 2cos2cos,3,21 2sin取得最大值时即CBAAA2.。设锐角三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b
8、、c，a=2bsinA。（）求 B 的大小； （）求的取值范围。CAsincos解：（）由 a=2bsinA，根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA，所以，1sin2B 由为锐角三角形得。ABC 6B （）cossincossinACAAcossin6AA。13coscossin22AAA3sin3A由为锐角三角形知，ABC，。，22AB2263B2 336A所以。由此有，13sin232A333sin3232A所以，cosA+sinC 的取值范围为。3 3 22 ，3设的内角所对的边长分别为，且ABCABC，abc，3coscos5aBbAc（）求的值； （）求的最大值tancotAB
9、tan()AB#*abc=2R,sinAsinBsinc a=2RsinA,b=2RsinB,c=2rsinC 33acosBbcosAc2RsinAcosB2RsinBcosA=2RsinC55 3sinAcosBsinBcosA=sin(A+B)5 33sinAcosBsinBcosA=sinAcosB+cosAsinB55 28sinAcosB=sinBcosA,55解：由正弦定理得：，两边同除2sinBcosA5 tanAcotB=4.以tanA=4tanB,由第知，2tanAtanB3tanB33tanA=4tanB,tan(AB)=11+tanAtanB1+4tan B4+4tan
10、BtanB 11=4tanB,tanB=tanB2而当且仅且时“ ” 成立。4.在中，内角 A、B、C 的对边长分别为、，已知，且ABCabc222acb求 bsincos3cossin,ACAC解法一：在解法一：在中中则由正弦定理及余弦定理有则由正弦定理及余弦定理有: :ABCsincos3cossin,ACAC化简并整理得：化简并整理得：. .又由已知又由已知222222 3,22abcbcaacabbc2222()acb222acb. .解得解得. .24bb40(bb或舍）解法二解法二: :由余弦定理得由余弦定理得: : . .2222cosacbbcA又又 , ,。222acb0b
11、所以所以 2 cos2bcA又又 ，sincos3cossinACACsincoscossin4cossinACACAC，sin()4cossinACAC即即sin4cossinBAC#*由正弦定理得由正弦定理得，sinsinbBCc故故 4 cosbcA由由，解得解得。4b 5. 已知的内角，及其对边，满足，求内角ABCVABabcotcotabaAbBC解：由及正弦定理得cotcotabaAbBsinsincoscos sincoscossinABAB AABB 从而sincoscossincossinsincos4444AABBsin()sin()44AB又0AB故44AB2AB所以2C
12、6.（12）的内角、的对边分别为、，已知，求ABCABCabccos()cos1ACB2ac。C7 如图，在ABC中，ABC90，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90.3(1)若PB，求PA；1 2 (2)若APB150，求 tanPBA. 解：(1)由已知得PBC60，所以PBA30.在PBA中，由余弦定理得PA2.117323cos 30424 故PA.7 2 (2)设PBA，由已知得PBsin .在PBA中，由正弦定理得，3sin sin150sin(30) 化简得cos 4sin .3#*所以 tan ，即 tanPBA.3 43 48.的内角的对边分别为，已知.ABCCBA,c
13、ba,cAbBaC)coscos(cos2（）求； （）若，的面积为.求的周长.C7cABC233ABC解：解：（I） 由已知及正弦定理的，CABBACsin)cossincos(sincos2即，CBACsin)sin(cos2故，CCCsincossin2可得，21cosC3C（II）由已知，233sin21Cab又，3C6ab由已知及余弦定理得，7cos222Cabba故，从而，1322ba25)(2ba的周长为ABC759. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个侧点与现测得ABBCD，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高BCDBDCCDs，CAAB解：在中，BCDCBD
14、由正弦定理得sinsinBCCD BDCCBD所以 sinsin sinsin()CDBDCsBCCBD #*在 中ABCtansintansin()sABBCACB 10如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于30 2处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达处时,乙1A1051B2A船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?1202B10 2解：如图，连结，12AB2210 2A B 122030 210 260A A 是等边三角形，122A A B1121056045B AB 在中，由余弦定理得121AB B，222 1211121112222cos45220(10 2)2 20 10 22002B BABABABAB 1210 2.B B 因此乙船的速度的大小为10 26030 2.20答：乙船每小时航行海里.30 2