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1、|高中数学必修 5 第一章 解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1正弦定理: (R 为三角形外接圆的半径).2sinisinabcABC2.正弦定理的一些变式：； ；icsi,sin,si2abABCRc；（iv）sin,2si,aRbR2inii3两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）【余弦定理】1余弦定理： 2.推论： .2222cosabAaBcC 2222coscosbcaABbacC3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他
2、两角.【面积公式】已知三角形的三边为 a,b,c, 1. = =2R2sinAsinBsinC（其中 为三角形内切圆半径）11sin()2aShbCrabcR4r2.设 , (海伦公式)(cpcppS【三角形中的常见结论】（1） (2) CBAsin()si,ABCo()os,ABCtan()tan,ABC, ;2cosin2i（3）若 cbasinisn若 （大边对大角，小边对小角）CBAsiini CBA（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(5) 锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形 最大角是钝角 最大角的余弦值为负
3、值（6） 中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 .60(7) 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列，且 a,b,c 成等比数列.C二、题型汇总题型 1【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，|统一成边的形式或角的形式.（2）在 中，由余弦定理可知 :ABC22是 直 角 ABC是 直 角 三 角 形是 钝 角 是 钝 角 三 角 形是 锐 角abc是 锐 角 三 角 形（注意： ）是 锐 角A是 锐 角 三 角 形(3) 若 ，则 A=B 或 .2sini2B例 1.在 中， ，且 ，试判断 形状
4、.ABCbcos abcab3)(ABC题型 2【解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例 2.在 中， ， ， ，求 的值ABC1a3b0A例 3.在 中，内角 对边的边长分别是 ，已知 ， ABC, cba,23C（）若 的面积等于 ，求 ；3,（）若 ，求 的面积A2sin)(siniB题型 3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左 右，（2）右 左，（3）左右互相推.例 4.已知 中，角 的对边分别为 ，求证： .ABC, cba, BcCbaos|题型 4【解三角形在
5、实际中的应用】实际问题中的有关概念：仰角 俯角 方位角 方向角 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图 1)(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 (如图 2)(3)方向角：相对于某一正方向的水平角( 如图 3)北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 南偏西等其他方向角类似 例 5如图所示，货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为 140的方向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为
6、 110，航行半小时到达 C 点观测灯塔 A 的方位角是 65，则货轮到达 C 点时，与灯塔 A 的距离是多少？|解三角形高考题精选1 的三个内角为 ，求当 A 为何值时， 取得最大值，并求出这个最ABCABC、 、 cos2BCA大值。解：由 所以有 ,2,得 .sinsinco2scoAA 2isi12A.23)1(当 .3cos,3,1sin取 得 最 大 值时即 CB2.。设锐角三角形 ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c，a=2bsinA。（）求 B 的大小； （ ）求 的取值范围。sinco解：（）由 a=2bsinA，根据正弦定理得 sinA=2sinBsinA
7、，所以 ，1sin2B由 为锐角三角形得 。AC 6B（） cosincosinAcosin6A。13ssi2Asi3由 为锐角三角形知，BC， 。 ，2263236A所以 。由此有 ，1sin3Asin322所以，cosA+sinC 的取值范围为 。3，3设 的内角 所对的边长分别为 ，且 ABC ， ， abc， ， 3osc5BbA（）求 的值； （）求 的最大值tancot tn()AB|abc=2R,sinAiBsna=2Rsin,b,c2rC33coBRioicosA=inC55siAsic=sn(+)33ncoiAcoBsin5528siBsin,5解 ： 由 正 弦 定 理 得
8、 ： ， 两 边 同 除 2coAtac=4. 以 tat, 由 第 知 ，2tantB3tan3tnA4tB,t()=11+A1+44+tanBt1=tan,t 2 而 当 且 仅 且 时 “ ”成 立 。4.在 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 、 、 ，已知 ，且abc2acb求 bsinco3sin,A解法一：在 中 则由正弦定理及余弦定理有:cos3sin,AC化简并整理得： .又由已知222,abab22()acb2acb.解得 .2440(或 舍 ）解法二:由余弦定理得: .22cosacbA又 , 。0所以 cs又 ，ino3sinAC4cosiAC，si()4ci即 no
9、snB|由正弦定理得 ，sinibBCc故 4oA由，解得 。5. 已知 的内角 ， 及其对边 ， 满足 ，求内角 BCVabcottaAbBC解：由 及正弦定理得cottabBsinsinA从而 icocosinsico44ABsn()si()AB又 0故 42AB所以 C6.（12） 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知 ， ，求ABCabcos()cs1ACB2ac。7 如图，在 ABC 中， ABC90， AB ， BC1， P 为 ABC 内一点， BPC90.3(1)若 PB ，求 PA；12(2)若 APB150，求 tan PBA.解：(1)由已知得 PBC60，所以
10、PBA30.在 PBA 中，由余弦定理得 PA2 .173cos 30424故 PA .72(2)设 PBA ，由已知得 PBsin .在 PBA 中，由正弦定理得 ，3sinsin150()化简得 cos 4sin .3|所以 tan ，即 tan PBA .34348. 的内角 的对边分别为 ，已知 .ABC , cba, cAbBaC)osc(os2（）求 ； （）若 ， 的面积为 .求 的周长.7cAB 3解：（I） 由已知及正弦定理的，CABACsin)cosinc(sio2即 ，)故 ，sicsin可得 ， 21oC3（II） 由已知， ，2sinab又 ， ，36由已知及余弦定理
11、得， ，7cos2Cab故 ，从而 ，12ba5)( 的周长为ABC 759. 如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个侧点 与 现测得ABBCD，并在点 测得塔顶 的仰角为 ，求塔高 BCDCDs， AAB解：在 中， B由正弦定理得 sinsiDC所以 nii()B|在 中 ABC tansitan()ACB10如图,甲船以每小时 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于302处时,乙船位于甲船的北偏西 的方向 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 处时,乙1A151B 2A船航行到甲船的北偏西 方向的 处,此时两船相距 海里,问乙船每小时航行多少海里?202解：如图，连结 ， ， ，12B0A1316A是等边三角形， ，12A1254在 中，由余弦定理得，221112cos0()00BBA12.因此乙船的速度的大小为 10263.答：乙船每小时航行 海里.3