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1、#*第一章 随机事件及其概率 一、事件的关系与运算 ABABAAB,ABAB ABAB二、概率的统计定义，古典概型概率的性质频率( )Nkp ApN古典概型的特征：（1）有限性；（2）等可能性概率的性质：（1）0( )1P A（2），反之不成立( )1P ()0P （3） 特殊情况是什么？()( )( )()P ABP AP BP AB, ()( )( )1P AAP AP A( )1( )P AP A (4) 有什么特例？()( )()P ABP AP AB三、条件概率、乘法公式、事件的独立性()(|)( )P ABP A BP B()(|)( )P ABP B AP A()( ) (|)(
2、 ) (|)P ABP A P B AP B P A B()( ) (|) (|)P ABCP A P B A P C AB若与互相不产生影响，则称与相互独立。ABAB与独立 条件概率等于无条件概率。AB()( ) ( )P ABP A P B三个事件独立的公式 个事件独立的公式n独立的条件下： 1212(.)() (). ()nnP A AAP A P AP A1212(.)() (). ()nnP A AAP A P AP A121212(.)1(.)1() (). ()nnnP AAAP A AAP A P AP A 独立试验序列概型 ，称为贝努里公式(1)kkn k nC pp0,1,
3、2,.,kn四、全概率公式与贝叶斯公式是完备事件组，且均有正概率，则对任一事件，有12,.,nB BBA#*全概率公式1( )() (|)nii iP AP B P A B贝叶斯公式 又称为逆概公式1() (|)(|) () (|)jj jnii iP B P A BP BA P B P A B 第二章 随机变量及其概率分布一、随机变量 离散型连续型非离散型非连续型分布函数 的性质( )()F xP Xx(1)0( )1 (2) ( ) ()0,()1 (4) ( )F x F xx FF F xx 是得单调不减函数 (3) 关于右连续二、离散型随机变量 如果随机变量的所有可能取值为有限个或至
4、多可列个，则称为离散型随机变量。常X 见的离散型随机变量有(),1,2,.01iiiiP Xxp ipp( )kk xxF xp01 分布 (1, )Xbp()E Xp1()(1)4Var Xpp二项分布 （） ( , )Xb n p()(1)xxn x nP XxC pp0,1,2,.,xn()E Xnp()Var XnpqPoission 分布 ( )XP()!x P Xxex0,1,2,.x ()E X()Var X当充分大，又很小时，二项分布以 Poission 分布为极限np()(1)xxn x nP XxC pp()() !x npnpex0,1,2,.x 三、连续型随机变量（1）
5、 （2） ( )Xp x( )0p x ( )1p x dx#*( )( )xF xp t dt ( )( )p xF x , XU a b1 ( ) 0axbp xba 其它0( )1xaxaF xaxbba 其它()2abE X2()()12baVar X( )XExp( )00xexp xx01( )00xexF xx 01()E X21()Var X（）2( ,)XN 22()21( )2x p xe x()E X2()Var X(0,1)XN221( )2x p xe221( )2txxedt满足 或 ( )()1xx ( )1()xx 那么 2( ,)XN XY (0,1)N( ,
6、 )aXG 1 ( )( )00xxexp xx 0()E X 2()Var X ( , )eXB a b11()(1)01( ) ( )( ) 0babxxxbp x 其它()aE Xab四、随机变量的函数的分布是随机变量，是随机变量的函数，它的分布称为随机变量函数的分布。X()Yg X离散型比较容易；连续型主要掌握分布函数法。特别是：是某个连续型随机变量的分布函数，一定服从（0，1）上的均()F X()YF X匀分布。 （非常重要）#*五、随机变量的数字特征() ( )kk kx p E X xp x dx 222() ( )kk kx p E X x p x dx 数学期望 ()E X方
7、差 或 标准差或()Var X()D XX()X原点矩 ()k kE X中心矩 ()kkvE XEX变异系数 21()vvVar XCEX偏度 3 3 13/23/2 2() ()()vE XEX vVar X峰度 4 4 222 2()33()vE XEX vVar X中位数、分位数 以上数字特征的概率意义！ Chebyshev 不等式：2()Var XP XEX2()1Var XP XEX 第三章 多维随机变量一、联合分布、边缘分布与独立性（1） （2）, 2 , 1;, 2 , 1,),(jipyYxXPijji0ijp1 ijijp,1,2,.iij jppiA,1,2,.jij ip
8、pjA与相互独立对所有都成立XY,1,2,.ijijpppi jAAA, i j分布函数 ),(),(yYxXPyxF),(),()()(xFYxXPxXPxFX#*),(),()()(yFyYXPyYPyFY与相互独立对所有都成立。XY)()(),(yFxFyxFYX, x y联合密度函数 （1） （2）( , )p x y( , )0p x y ( , )1p x y dxdy ( , )( , )xyF x yp u v dudv 2( , )( , )F x yp x yx y ( )( , )Xpxf x y dy( )( , )Ypyf x y dx与相互独立=对所有都成立。XY(
9、 , )p x y( )XpxA( )Ypy, x y多项分布二维均匀分布 它们的边缘分布、独立性222 , , a bc d xyr上的均匀分布 上的均匀分布二维正态分布22 1212(, ) (, )X YN 221122 211221()2 ()() () 2(1)2 121( , ) 21xxyy p x ye ， 2 1 2 1()211( )2xXpxe 2 11(,)XN 1()E X2 1()Var X， 2 2 2 2()221( )2xYpye ),(2 22NY2( )E Y2 2( )Var Y12(, )Cov X Y XY二、随机向量函数的分布最大值与最小值的分布：
10、独立同分布，分布函数为，密度函数12,.,nXXX( )XFx为。求 的分布。( )Xpx12max(,.,)nXXX12min(,.,)nXXX令 Y 12max(,.,)nXXXZ 12min(,.,)nXXX( )( )nYXFyFy( )1 1( )nZXFzFz 1( )( )( )n YXXpyn Fypy1( )1( )( )n ZXXpznFzpz用在具体分布之上，特别是之上，应该如何处理？0,1U卷积公式：#*，且相互独立，则1()XP2()YP,X Y12()XYP，且相互独立，则 ( , )Xb m p ( , )Yb n p,X Y (, )XYb mn p，且相互独立
11、，则( )XXpx( )YYpy,X Y卷积公式( )ZZXYpz( )()()( )XYXYpx pzx dxpzy py dy ，且相互独立，则2 11(,)XN ),(2 22NY,X Y22 1212(,)XYN 三、多维随机变量的特征数，()E X2()E X( )E Y2()E Y()E XY( ,) (, ) ( , ) ( , )ijij ijg x yp E g X Y g x y p x y dxdy 协方差： (, )()() ( )Cov X YE XYE X E Y相关系数： ； 相关系数的概率意义(, )(, )()( )XYCov X YCorr X YD XD
12、Y()()( )2(, )D XYD XD YCov X Y几个等价的关系式：()()( )(, )0Var XYVar XVar YCov X Y与不相关()() ( )E XYE X E Y0XYXY四、中心极限定理（1）独立同分布，当充分大时，12,.,nXXX, 2 , 1,2kDXEXkkn1nk kX),(2 nnN nnXnkk 1) 1 , 0(N（2），当充分大时（） ，那么X),(pnBn30n #*X),(npqnpN npqnpX ) 1 , 0(N应用中心极限定理的关键是构造独立和。第四章 统计量及其分布一、总体、样本、统计量 研究对象的全体称为总体，总体就是一个随机
13、变量。X是取自总体的样本，它满足两个条件：相互独立；12,.,nXXXX12,.,nXXX均与具有相同的分布。12,.,nXXXX样本的联合分布与经验分布函数统计量是样本的函数，它不含任何未知参数 12(,.,)nTT XXX常见的统计量：样本均值 11ni iXXn样本方差 2211()1ni iSXXn样本标准差 211()1ni iSXXn样本的阶原点矩 k11n k ki iAXn样本的阶中心矩 k11()n k ki iBXXn次序统计量 =(1)X12min,.,nXXX=()mX12max,.,nXXX样本极差 ( )(1)nRXX样本中位数1()2()(1)2212ndnnXn
14、m XXn 为奇数为偶数上、下四分位数 ，1Q3Q#*，之间的关系，箱线图(1)X1Q3Qdm( )nX二、统计学中的几个重要的分布及其构造1，正态分布与标准正态分布 ，2( ,)N ) 1 , 0(N独立同分布， （）大样本 12,.,nXXX30n 1nk kX),(2 nnN2，分布2若相互独立，且均服从标准正态分布，则12,.,nXXX) 1 , 0(N服从自由度为的分布。222 12.nXXXXn2特例：，且相互独立，那么服从自由度为 2X) 1 , 0(NY) 1 , 0(N,X Y22XY的分布，也就是的指数分布。22(2)1 23， 分布t，且相互独立，则。X) 1 , 0(N
15、2( )Yn,X Y ( )/Xtt nY n4，分布F，且相互独立，则，。2( )Xn2( )Ym,X Y/( ,)/X nFF n mY m1( , )F m nF 三、抽样分布（正态总体的抽样分布）是来自正态总体的样本，分别为样本均值与样本方12,.,nXXX2( ,)N X2S差，则： 2 ( ,)XNn(0,1)/XNn (1)/Xt nsn2 2 2(1)(1)nSn是来自正态总体的样本，分别为样本均值与样本方12,.,nXXX2 11(,)XN X2 1S差；是来自正态总体的样本，分别为样本均值与样本方差。12,.,mY YY2 22(,)YN Y2 2S#*则： 22 12 1
16、2(,)XYNnm； 1222 12()(0,1)XYNnm12() (2)11wXYt nm Snm ； 22 12(1)(1) 2wnSmSSnm22 11 22 22/(1,1)/SFF nmS 第五章 参数估计估计量、估计值、点估计、区间估计 一、点估计的方法与评价估计量的标准 1，矩估计 用样本矩代替总体矩，用样本矩的函数代替总体矩的同一个函数，从而达 到对总体参数估计的目的，这种方法称为矩估计法。的矩估计为；的矩估计为()E XX()Var X2211()nni iSXXn2，极大似然估计法（1）似然函数，取对数，构造对数似然方程并求解1212( ,.,;,.,)nmL x xx
17、ln L得出极大似然估计。12ln0ln0. ln0mLLL 12 ,.,m （2）不能通过求导得出的极大似然估计的方法 3、估计量的评价标准 无偏性、有效性、相合性、均方误差最小样本均值是总体均值的无偏估计量 XEX()()E XE X()()Var XVar Xn样本方差是总体方差的无偏估计量 2S()Var X2()()E SVar X这些性能都是特别好的。二、区间估计 区间估计的基本概念，置信区间，置信上、下限，置信度，置信区间的概率意义，枢 轴量#*在什么条件下，求正态总体参数的估计？重要的是选择枢轴量。1， 正态总体，X2( ,)N （1）方差已知的条件下，的置信区间为；211/2
18、Xun（2）方差未知的条件下，的置信区间为 211/2(1)sXtnn（3）均值未知的条件下，的置信区间为212222 1/2/2(1)(1),(1)(1)nSnS nn 2， 两个正态总体，2 11(,)XN 2 22(,)YN （1）方差，已知的条件下，的置信区间为2 12 212122 12 1/2()XYunm（2）方差，未知但相等的条件下，的置信区间为2 12 21211/211()(2)wXYtnmSnm22 12(1)(1) 2wnSmSSnm（3）均值未知的条件下，的置信区间为12, 2 1 2 2 122 11 22 21/22/222 11 1/222 21/2211,(1
19、,1)(1,1)1,(1,1)(1,1)SS SFnmSFnmSSFmnSFnmS AAA3， 单侧置信区间要注意区分 4， 比率的区间估计，大样本场合下近似置信区间p，2 1/2anu2 1/2(2)bnXu 2cnX；24 2Lbbacpa 24 2Ubbacpa 的置信水平为的置信区间为。p1,LUpp第六章 假设检验#*一、假设检验的基本原理与步骤 小概率原理，原假设与备择假设，检验统计量，显著性水平，拒绝域，两类错误 1， 提出原假设与备择假设； 2， 选择检验统计量（类似于区间估计中的枢轴量） ，并提出当原假设成立的条件下，检验 统计量所服从的分布； 3， 根据给定的显著性水平，确
20、定拒绝域； 4， 将样本数据代入统计量的值，作出结论。二，正态总体参数的假设检验1，检验（1）单总体 检验均值 方差已知U（2）两总体 检验均值 方差已知 2， 检验 （1）单总体 检验均值 方差未知t（2）两总体 检验均值 方差未知但相等（具有方差齐性）3，检验 单总体 检验方差 一般来说均值未知24，检验 两总体 检验方差 一般来说均值未知。其中包括单边检F 验和双边检验 5， 初步了解比率的检验（大样本条件下） 。三、假设检验的值p 假设检验的值是以样本观测值为边界设定拒绝域（单侧或双侧要根据假设） ，检验p 统计量在拒绝域内取值的概率。四、拟合优度检验 非参数检验2总体为离散型的包括不
21、含未知参数和含有未知参数两种 总体为连续性的 ，带有未知参数的 列联表的独立性检验第七章 方差分析与回归分析一、单因子方差分析 方差分析是用来检验多个正态总体在具有方差齐性的条件下，均值是否全部相等的一 种方法。统计模型2,1,2,., ;1,2,.,(0,)ijiijiijyir jmN 各相互独立，且均值服从正态分布不全相等012112:.:,.,rrHH #*1 21,2,., ;1,2,.,0(0,)ijiijirii iijijyair jmmaN 数据结构式效应约束条件且各相互独立误差的假定不全为 0012:.0rHaaa112:,.,rHa aa=211()imrTij ijSy
22、y211()imrijii ijyyyy =+211()imriji ijyy 21()rii im yyA211()imreiji ijSyy 22 211()rr i Aii iiiyySm yymnA A A方差分析表误差来源平方和自由度df均方和F 比组间平方和AAS1Afr/AAAVSf组内平方和eeSefnr/eeeVSfAeVFV总合TTS1Tfn拒绝域1(1,)WFFrnr二、一元线性回归分析给定数据，,散点图，呈线性相关关系，11( ,)x y22(,)xy(,)nnxy01 2,1,2,., ,(0,)iiiiyxin N 各相互独立且都服从正态分布计算： nxy22222
23、11111()()nnnnxxiiii iiiilxxxnxxxn#*2222211111()()nnnnyyiiii iiiilyyynyyyn111111()()()()nnnnnxyiiiiiiii iiiiilxxyyx ynxyx yxyn线性回归方程：1xyxxll01yx01 yx平方和分解2 1 1()nTyyiAexye iSlyySSlS检验： 检验 F/1(1,2)/(2)RESFFnSn检验 t1 (2) /xxtt nl 相关系数检验 xyxx yylrl l预测：点预测 时， 0xx0010 yx一般的区间预测 ，其中2 0 0101/2()1(2)/ 1xxxxxtnnl2ES n