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1、|第一章 随机事件及其概率一、事件的关系与运算 ABAB,二、概率的统计定义，古典概型概率的性质频率 ()Nkp古典概型的特征：（1）有限性；（2）等可能性概率的性质：（1） 0()1PA（2） ， ，反之不成立0（3） 特殊情况是什么？()()()BPAB, 1PA()(4) 有什么特例？()()三、条件概率、乘法公式、事件的独立性()(|)BPA()(|)PAB()|P(|)(|)BCACAB若 与 互相不产生影响，则称 与 相互独立。A与 独立 条件概率等于无条件概率。()()P三个事件独立的公式 个事件独立的公式n独立的条件下： 1212(.)().(nnAPA1212(.)(.)(n
2、nPA独立试验序列概型 ， 称为贝努里公式()knknCp0,.四、全概率公式与贝叶斯公式是完备事件组，且均有正概率，则对任一事件 ，有12,.nB|全概率公式1()()|niiiPABPA贝叶斯公式 又称为逆概公式1|)(|)(jjjniii第二章 随机变量及其概率分布一、随机变量离 散 型 连 续 型非 离 散 型 非 连 续 型分布函数 的性质()FxPXx(1)02,()1(4)Fx是 得 单 调 不 减 函 数3关 于 右 连 续二、离散型随机变量如果随机变量的所有可能取值为有限个或至多可列个，则称 为离散型随机变量。常X见的离散型随机变量有(),12,.01ii iiPXxpp()
3、kxFp01 分布 (,)b()EX14Var二项分布 （ ）np(1)xnxnPCp0,2.n()rXpqPoission 分布 X!xXe0,12.()E()Var当 充分大， 又很小时，二项分布以 Poission 分布为极限np()(1)xnxnPXC()!xnpe0,12.三、连续型随机变量（1） （2） ()px()0px()pxd|()()xFptd()pxF,XUab1()0abxb其 它 0()1xaxbb其 它()2aEX2()aVrX()Xxp()0xe 1()0xeF1EX2VarX（ ）2(,)XN2()()xpxex EX2()VarX(0,1)21()xpxe 2
4、1txed满足 或 ()()()那么 2,XNXY0,1N(,)aXG1()00xepx()EX2()VarX(,)eXBab11()0()0babxxpx 其 它 ()aEXb四、随机变量的函数的分布是随机变量， 是随机变量的函数，它的分布称为随机变量函数的分布。()YgX离散型比较容易；连续型主要掌握分布函数法。特别是： 是某个连续型随机变量的分布函数， 一定服从（0，1）上的均()F()YFX匀分布。 （非常重要）|五、随机变量的数字特征()()kxpEXd 22()()kxpEXd数学期望 方差 或 标准差 或()VarDX()原点矩 kkEX中心矩 ()v变异系数 21(vVarCE
5、X偏度 33/2/2()()r峰度 4422()vVaX中位数、分位数以上数字特征的概率意义！Chebyshev 不等式：2()arPE1VXX第三章 多维随机变量一、联合分布、边缘分布与独立性（1） （2） ,2;,1,),( jipyYxXPjji 0ijp1ijip,2.iijpA ,.jijpA与 相互独立 对所有 都成立,12,.ijijpiA ,ij分布函数 ),(),(yYxXPyxF),(),(xFX|),(),()() yFYXPyYFY 与 相互独立 对所有 都成立。X),yxFx联合密度函数 （1） （2）(,)pxy(,0p(,)1pydx,)xyFuvd 2(,)Fx
6、y()(,Xpf (,)Ypfxyd与 相互独立 = 对所有 都成立。Yxy)XpA(Yy,多项分布二维均匀分布 它们的边缘分布、独立性22,abcdxyr上 的 均 匀 分 布上 的 均 匀 分 布二维正态分布 12(,)(,)XYN2 21122()()()12, xxypxye， 21()()Xe21(,)XN1()EX21()VarX， 2()2()xYpy),(2Y2()Y2()Y12(,)CovXX二、随机向量函数的分布最大值与最小值的分布： 独立同分布，分布函数为 ，密度函数12,.n ()XFx为 。求 的分布。()Xpx12ma(,.)n12mi(,.)n令 Y,.XZX()
7、()nXFy ()()nXFzz1()YXppy 1Zpp用在具体分布之上，特别是 之上，应该如何处理？0,U卷积公式：|， 且 相互独立，则1()XP2()Y,XY12()P， 且 相互独立，则(,)bmp,)bnp,()XYm， 且 相互独立，则()Xx)y,卷积公式()ZYpz()(XYpxzdxy， 且 相互独立，则21(,)XN),(2N,211)XY三、多维随机变量的特征数， ， ， ，()EX2)(E2)()EX,(,)(,),ijiijgxypgYdx协方差： ()CovXEYX相关系数： ； 相关系数的概率意义(,)YCorYD()(2(,)Dv几个等价的关系式： ()(,)
8、0VarXarVYovX与 不相关)(EYXY四、中心极限定理（1） 独立同分布， ，当 充分大时，2,.nX ,21,kDXkk n1nk),(2Nnnk1),0(N（2） ，当 充分大时（ ） ，那么X),(pB3|X),(npqNnpX)1,0(N应用中心极限定理的关键是构造独立和。第四章 统计量及其分布一、总体、样本、统计量研究对象的全体称为总体，总体就是一个随机变量 。X是取自总体 的样本，它满足两个条件： 相互独立；12,.nXX12,.n均与 具有相同的分布。样本的联合分布与经验分布函数统计量是样本的函数，它不含任何未知参数 12(,.)nTX常见的统计量：样本均值 1niiX样
9、本方差 221()niiSX样本标准差 21()nii样本的 阶原点矩 k1nkkiiAX样本的 阶中心矩 1()nkkiiB次序统计量 =(1)X2mi,.nX=()1ax,样本极差 ()()nR样本中位数1()2()(1)dnXmn为 奇 数为 偶 数上、下四分位数 ，1Q3|， ， ， ， 之间的关系，箱线图(1)XQ3dm()nX二、统计学中的几个重要的分布及其构造1，正态分布与标准正态分布 ，2(,)N)1,0(独立同分布， （ ）大样本 12,.nX30n1nkX),(2nN2， 分布若 相互独立，且均服从标准正态分布 ，则12,.nX)1,0(服从自由度为 的 分布。2Xn2特例
10、： ， ，且 相互独立，那么 服从自由度为 2)1,0(NY)1,0(,XY2XY的 分布 ，也就是 的指数分布。223， 分布t， ，且 相互独立，则 。X)1,0(N2()Yn,XY()/ttnY4， 分布F， ，且 相互独立，则 ， 。2()2()m, /(,)XFm1(,)Fn三、抽样分布（正态总体的抽样分布）是来自正态总体 的样本， ， 分别为样本均值与样本方12,.nX2(,)N2S差，则： ,Xn(0,1)/N()/Xtns2(1)(1)S是来自正态总体 的样本， ， 分别为样本均值与样本方12,.nX21,XNX21S差；是来自正态总体 的样本， ， 分别为样本均值与样本方差。
11、12,.mY2(,)YY2|则： 211(,)XYNnm； 221)(0,)n12()(2)wXYtnmSn； 221()()wSm21/(1,)F第五章 参数估计估计量、估计值、点估计、区间估计一、点估计的方法与评价估计量的标准1，矩估计 用样本矩代替总体矩，用样本矩的函数代替总体矩的同一个函数，从而达到对总体参数估计的目的，这种方法称为矩估计法。的矩估计为 ； 的矩估计为()EX()VarX221()niiSX2，极大似然估计法（1）似然函数 ，取对数 ，构造对数似然方程并求解1212(,.;,.)nmLxlnL得出极大似然估计 。12ln0.ln0mL 12,.m（2）不能通过求导得出的
12、极大似然估计的方法3、估计量的评价标准无偏性、有效性、相合性、均方误差最小样本均值 是总体均值 的无偏估计量 XE()EX()()VarXn样本方差 是总体方差 的无偏估计量 2S()VarX2Sar这些性能都是特别好的。二、区间估计区间估计的基本概念，置信区间，置信上、下限，置信度，置信区间的概率意义，枢轴量|在什么条件下，求正态总体参数的估计？重要的是选择枢轴量。1， 正态总体 ，X2(,)N（1）方差 已知的条件下， 的 置信区间为 ；211/2Xun（2）方差 未知的条件下， 的 置信区间为 21/2()st（3）均值 未知的条件下， 的 置信区间为21221/,()(1)nSn2， 两个正态总体 ， ，21(,)XN2(,)Y（1）方差 ， 已知的条件下， 的 置信区间为2121/2()Yunm（2）方差 ， 未知但相等的条件下， 的 置信区间为21121/2()()wXYtnmSn221()()wnSm（3）均值 未知的条件下， 的 置信区间为12,212211/ /2211/,(,)(,),1,SSFnmFnm AA3， 单侧置信区间要注意区分4， 比率的区间估计，大样本场合下 近似置信区间p， ，21/anu21/()bnXu2cnX；4Lacp4Ubap的置信水平为 的置信区间为 。1,L第六章 假设检验