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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一. 学问要点 :几何初步与三角形专题证法二：如图2,作 OE AC,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_几何初步相交线两直线相交对顶角,邻补角垂线及其性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平行线平行公理及其推论判定及其性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_按边分分类不等边三角形等腰三角形底与腰不等的等腰三
2、角形等边三角形 AC/BD , AC/OE/BD , C 3, D 4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角形按角分斜三角形直角三角形锐角三角形钝角三角形 OA AC, OB OD, 1 C, 4 D, 1 3, 2 4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_全等二. 典型例题 :全等的概念全等的性质全等的判定 1 3 2 4 180 o, 3 4 90 o, CO OD例 2、在 ABC中, A B C=1 23, M 是 AB 的中点,且CM=3,求 ABC的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1、已知：如图,AC BD, O是线段AB上一点,
3、且使OA AC, OBBD求证： CO ODB分析：只需证COD 90o即可MCA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证法一： A C 1 180 , B D 2180 （ A B）（ C D）（ 1 2） 360 又 AC/BD A B 180 AOAC, OB BD C 1, 2 D C D 1 2 180 2（ 1 2） 360 1 2 90,由于 AOB 是一个平角,所以COD 180（ 1 2） 180 90 90 COOD 分析：由三个内角的比值可知ABC是直角三角形,且有一个角是30,于是由斜边上的中线长得斜边长 及 30角所对直角边长,再由勾股定理求出另一条直角边长
4、,可以求得面积解：如图,设 A=xo, A B C=1 2 3, B=2xo, C=3xo, 而 A B C=180o, x 2x 3 x=180 , x=30 , A=30o, B=60o, C=90o,在 Rt ABC中, CM是 AB 边上的中线,CM=3, AB=2CM=6,又 A=30o,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - -
5、- - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1BCAB 2163,A2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ACAB 2 BC 26 23 233 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S ABC1 ACBC2133 329 3 .2MN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BDC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等分析 :解文字形式的证明题时,要依据题意画出图形,写出“已知”、“求证”和“证明
6、”.证明三：如图,连结AD, D 是 BC 的中点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知：如图,在ABC中, AB AC, DB DC, DM AB 于 M, DN AC于 N求证： DM DN S ABD SACD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 DM AB, DN AC,A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 AB2DM 1 AC DN2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 AB AC, DM DNMN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BDC证明一： ABAC, B C, DMAB, DN AC, BMD CND
7、 90 o,又 BD DC, BDM CDN, DMDN点评：在等腰三角形中,作底边上的中线或高或顶角的平分线是常用的帮助线例 4、如图,点B 是线段 AC 上一点,分别以AB、BC 为边作等边ABD、 BCE,连结AE、CD, AE 交 BD于 M,CD交 BE 于 N,连结MN求证：（ 1） AE CD.（ 2） BM BN.（ 3） MN AC DDE5EMMN41 3 2N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明二：如图,连结AD,A分析：BCABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ABAC, BD DC, AD平分 BAC, 而 DM AB, DN AC,
8、 DMDN结论（ 1）、（ 2）中要证明两条线段相等,通过挑选恰当的两个三角形全等达到目的.结论（3）要证明 MN与 AC的平行位置关系,可以通过找角与角之间的相等关系来实现证明：（ 1） ABD、 BCE是等边三角形, AB BD, BE BC, 1 2 60o, 1 3 2 3,即 ABE DBC, ABE DBC, AE DC（ 2） ABE DBC 4 5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 -
9、- - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 1 2 60o, 1 2 3 180 o, 3 1 60o, 在 ABM和 DBN中,AB BD, 4 5, 3 1, ABM DBN, BM BN（ 3） BM BN, 3 60 o, BMN是等边三角形, BMN 1 60 o, MNBC例 5. 已知如图 1 , ABC中, BAC 90, AB AC,AE 是过 A 的一条直线,且B、C 在 AE 的异侧, BD AE 于 D,CE AE 于 E,求证： 1BD
10、DE CE. 2 如直线 AE 绕 A 点旋转到图 2 位置时 BD CE,其余条件不变,问BD与 DE、 CE的关系如何 . 请予证明 .3 如直线AE 绕 A 点旋转到图 3 位置时, BD CE,其余条件不变,问BD 与 DE、CE 的关系如何 .请直接写出结果,不须证明.4归纳 1 、2 、3 ,请用简捷语言表述BD、 DE、CE的关系 .证明： 1 BD AE, CE AE 已知 , BDA AEC 90 垂直定义 BAD CAE 90, BAD ABD 90, CAE ABD同角的余角相等ABDCAE 已证 2BD DE CE,证明方法与1 3BD DE CE4 归纳 1 , 2
11、, 3当 B、C 在 AE 异侧时, BD DE CE.当 B、C在 AE同侧时, BD DE CE点评：此题考查动态几何中的量的关系,其关键是猜想规律. 再运用几何学问予以证明.例 6、如图,在ABC中, C 2 B, 1 2,求证： AB AC+DCA1 2ACB1 23D4BDCE分析：要证明 AB 是两线段 AC、CD 之和,只要把 AC、CD放在同一条直线上,使其拼成为一条线段.即延长 AC 至 E,使 AE AB,再证明延长部分等于 CD（或延长 AC至 E,使 CE CD,再证明 AE AB）证明一：如图,延长AC到 E,使 AE AB,连结 DE, AB AE, 1 2, AD
12、 AD, ABD AED, B E,又 ACB 3 2 B, 3 2 E,而 3 E 4, 2 E E 4, E 4, DC CE, AB AE AC CE,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ABD和 CAE中ADBCEA90 已证 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABAC 已知 ABD CAEAASBD AE, AD CE全等三角形的对应边相等AE AD DE AE CE DE,BD CE DE AB AC DC证明二 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - -
13、 - - - -第 3 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1 2F 3B4C（ 1） ABC 是什么类型的三角形？（ 2）走私船C 距我领海最近距离是多少？（ 3）走私船C 最早在什么时间进入我领海？将问题分解成几个基本问题,达到了化繁为简的目的 解设 MN 与 AC 相 交于E,就 BEC =90 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_D又AB 2BC 25 212 213
14、 2AC 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：如图,在AB 上截取 AF AC,连结 DF, ABC 为直角三角形,ABC =90 由于 MN CE,走私船C 进入我领海的最近距离CE设 CEx, BEy ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ADF 和 ADC 中 , AF AC, 1 2,AD AD,x 2y 212 2 ,y 2144即x 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ADF ADC, DFDC, 3 C,又 C 2 B, 3 2 B,而 3 B 4,13 144x 2x 2y 252.2513x 2 .y 2 2513
15、x 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ B 4 2 B,解得x144 . 144130.85（ h）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4 B, BF DF,1313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ BFDC, 0.856051（ min ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ AFBF AC DC,即 ABAC DC 点评：证明一条线段等于两条线段的和的常用方法是：（ 1）延长一条短线段等于长线段,再证明延长部分与另一条短线段相等,或延长短线段,使延长的部分与另一条短线段相等,再证明延长后的线段与长线段相等.（ 2）在长线段上截
16、取一条线段等于短线段,再证明余下部分等于另一条短线段 这种方法叫做截长或者补短法在证明线段间的和（或差）关系经常用到例 7. 如下列图,南北向的直线MN 为我国领海线,即MN 以西为我国领海,以东为公海上午9 点 50分,我缉私艇A 发觉正东方有一走私船C 以每小时13 海里的速度偷偷向我领海开来,便立刻通知正在MN 线上巡逻的我国缉私艇B 亲密留意 A 和 C 两艇的距离为13 海里, A 、B 两艇的距离为5 海里,缉私艇 B 测得 B、C 距离为12 海里如走私船C 的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海？9 时 50 分 51 分 10 时 41 分答：走私船C 最早在10 时 41
17、 分进入我领海例8. 如下列图,在ABC 中, AB AC 5, P 为 BC 边上任意一点求证：AP 2 PB PC 25分析在要证的结论中显现了线段的平方,联想勾股定理,因此作帮助线构造直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明过 A 作 ADBC 于 D ,就有 BDDC.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 Rt APD 中,由勾股定理,得AP 2AD 2PD2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由勾股定理,有AD 2AB 2BD 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以AP2AB 252BD 2PDPD 2BD P
18、DBD 52PCBP.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析为降低题目难度,可将综合题化为如干个基本问题来解决摸索：因此AP 2 PB PC 25说明：涉及有关线段长的关系式或运算时,常作高构造直角三角形,把已知线段和要求的线段集中可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - -
19、 - - - - - - - -学习好资料欢迎下载在一个三角形中,利用勾股定理来解决问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 9. 已知 a、b、c 为 ABC 的三边,且满意求证：这个三角形是直角三角形.a 2b 2c 233810 a24b26 c .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_分析： 要证明ABC 是直角三角形,应从它的三边a、b、c 入手, 假如有关系a 2b 2c2 或 b 2c 2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_或 c 2a 2b 2 成立,那么这个三角形肯定是直角三角形. 从已知条件,可以求出a 、 b 、 c 的长 .可编
20、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解答：由已知得：a 2b2c 210a24b26c3380 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2即a10a 5 225b2 b12 224b c144c 213 2026c1690可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a5 20, b12 20, c13 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a50, b120, c130 ,即 a5,b12,c13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 5212 213 2 ,即有 a 2b 2c2 ,ABC 是直角三角形.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评：直角三角形适用于勾股定理,而利用逆定理是判定一个三角形是直角三角形的方法,当由边之间 的关系判定三角形的外形时,我们用勾股定理先行考证,没有条件时,制造条件,从而求出边长或边长 之间的关系,进而判定 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 5 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载