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1、精品_精品资料_高中数学第四章 -三角函数考试内容：角的概念的推广弧度制任意角的三角函数单位圆中的三角函数线同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱导公式两角和与差的正弦、余弦、正切二倍角的正弦、余弦、正切正弦函数、余弦函数的图像和性质周期函数函数y=Asin x+的图像正切函数的图像和性质已知三角函数值求角正弦定理余弦定理斜三角形解法考试要求：（1） 懂得任意角的概念、弧度的意义能正确的进行弧度与角度的换算（2） 把握任意角的正弦、余弦、正切的定义.明白余切、正割、余割的定义.把握同角三角函数的基本关系式.把握正弦、余弦的诱导公式.明白周期函数与最小正周期的意义（3） 把握两角和与两角差的正
2、弦、余弦、正切公式.把握二倍角的正弦、余弦、正切公式（4） 能正确运用三角公式,进行简洁三角函数式的化简、求值和恒等式证明（5） 懂得正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin x+ 的简图,懂得 A. 、的物理意义（6） 会由已知三角函数值求角,并会用符号arcsinxarc-cosxarctanx 表示（7） 把握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形（8） “同角三角函数基本关系式：sin2 +cos2=1 , sin /cos=tan ,tan.cos =1”04. 三角函数 学问要点1. 与（ 0 360 ） 终 边 相 同
3、 的 角 的 集 合 （ 角与 角的 终 边 重 合 ）：y3sinx2sinx4cosx1cosxxcosxcosx14sinx2sinx3|k360, kZ终边在 x 轴上的角的集合：|k180 , kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_终边在 y 轴上的角的集合：|k18090 , kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_终边在坐标轴上的角的集合：|k90 , kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_终边在 y=x 轴上的角的集合：|k18045 , kZSIN COS三角函数值大小关系图1、 2、 3、 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域可编辑
4、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_终边在 yx 轴上的角的集合：|k18045 , kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如角与角的终边关于 x 轴对称,就角与角的关系：360 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如角与角的终边关于 y 轴对称,就角与角的关系：360 k180可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如角与角的终边在一条直线上,就角与角的关系：180 k角与角的终边相互垂直,就角与角的关系：360 k90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
5、_精品资料_2. 角度与弧度的互换关系：360 =2180 =1 =0.01745 1=57.30 =57 18留意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、弧度与角度互换公式：1rad 180 57.30=57 1811800.01745（ rad）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、弧长公式： l| r .扇形面积公式：s扇形112lr| r可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_224、三角函数：设是一个任意角,在的终边上任取（异于ya的终边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_原点的）
6、一点 P（x,y ） P 与原点的距离为r ,就siny .rP（ x,y 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosx .tanry.xcotx .sec yr .xcscr .royx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、三角函数在各象限的符号： （一全二正弦,三切四余弦）yyyyoo+-+-+PToxx-+x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-+-OMA x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_正弦、余割余弦、正割正切、余切可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -
7、- 欢迎下载精品_精品资料_6、三角函数线正弦线： MP;余弦线： OM;正切线： AT.16. 几个重要结论:可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) y(2)y|sinx|cosx|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 三角函数的定义域：sinxcosxOxcosxsinx|cosx|sinx|O|cosx|sinx|x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|sinx|cosx|3 如 ox2 ,就sinxxtanx三角函数f xsinx定义域x | xRf xcosxx | xR可编辑资料 - - -
8、 欢迎下载精品_精品资料_f xf xf xf xtanxcotx secxcscxx | xx | xx | xx | xR且 xkR且xkR且 xkR且xk1, kZ2, kZ1, kZ 2, kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、同角三角函数的基本关系式：sin costancos sincot可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tansin 2cot1cos2csc 1sin2sec12tansec 1cos csc21cot 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、诱导公式：把 k的三角函数
9、化为的三角函数,概括为：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式： （一）基本关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式组一公式组二公式组三可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinxcscx=1tanx=sin x22sin2kxsin xsinxsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cos xsin x+cos x=1cos2kxcos xcos xcosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosx secx=1cos xx= sin x1+tan2 x2x=sectan2kxt
10、an xtan xtan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tanxcotx=11+cot2 x=csc2xcot2kxcot xcotxcot x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式组四公式组五公式组六可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinxtanxtan xtan2xtan xtanxtan xcotxcot xcot2xcot xcotxcot x（二）角与角之间的互换公式组一公式组二cosxsin x cosxsin2 cos2xsin xxcosxsin cosxsin xxcosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin
11、sincoscossintan2coscoscoscossinsinsin 22 sincoscoscossinsincos 2cos2sin22 tan2 cos2112 sin 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinsincoscossinsin21tan 21cos 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tantantancos1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tantan22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tantantantan1cossin1cos可编辑资料 - -
12、 - 欢迎下载精品_精品资料_1 tantan2 1cos1 cossin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式组三公式组四公式组五可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2 tan2sincoscossin1 sin21 sinsinsincos 12sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tan 221tan 22cos sincos sin21 cos 21 coscos cossin 12tan 12coscot可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_costan1 tan 222 tan2sin sincossin sincos22
13、 sin22 cos22 coscos2sin2cos1cos2tan 12sincot可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tan22coscos22sin22sin2sin 12cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 15cos 7562 , sin 754cos1562 , tan 154cot 7523 , tan 75cot 1523 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ysin xycosxytan xycot xyA sinx可编辑资料
14、- - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域RRx | xR且xk1 , kZ 2x | xR且xk , kZ（ A 、 0）R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值域1, 11, 1RRA, A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_周期性222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当当0, 非奇非偶0, 奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k, 2k1, .k,kk , k1上为减函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22k22数（ kZ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2k上 为
15、增 函上 为 增 函 数2k2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2上 为 增 函数.数 2k,2k1（ kZ ） A,12k2A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调性2k, 2上 为 减 函数上为增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32k2（ kZ ）2k2 A,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上 为 减 函3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数（ kZ ）2k2A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上 为 减 函 数（ kZ ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：ysin x 与ys
16、in x 的单调性正好相反.ycosx 与ycosx 的单调性也同样相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反.一般的,如 yf x 在a, b 上递增（减） ,就 yf x 在 a, b 上递减（增） .y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ysin x与 ycosx的周期是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ysinx 或 ycos x （0 ）的周期 T2.xO可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ytan x 2的周期为 2（ TT2,如图,
17、翻折无效）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ysinx 的对称轴方程是 xk2 （ kZ ）,对称中心（k,0 ）. ycos x 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对称轴方程是xk（ kZ ）,对称中心（k1,0 ）. y2tanx 的对称中心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ k,0 ） . y2cos 2 x原点对称ycos2 xcos 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑
18、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 tantan1,k k2Z . tantan1,k k2Z .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ycosx 与 ysinx2k 2是同一函数 ,而 yx 是偶函数,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yxsinxk1cos 2x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数ytan x在 R 上为增函数 .（ ） 只能在某个单调区间单调递增. 如在整个定义域,可编辑资
19、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ytan x为增函数,同样也是错误的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域关于原点对称是f x 具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件： 一是定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_义域关于原点对称（奇偶都要）,二是满意奇偶性条件,偶函数：f xf x,奇函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xf x）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如： 义域不关于原点对称）ytan x 是奇函数, ytan x1 是非奇
20、非偶 .（定3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇函数特有性质：如0x 的定义域,就f x 肯定有f 00 .（ 0x的定义域,就无此性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_质）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ysin x 不是周期函数.ysin xyy为周期函数（ T）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ycos x 是周期函数（如图） .ycosx为周期函数（ T）.y= cos|x| 图象x1/2xy=|cos2x+1/2|图象可编辑资料
21、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ycos 2x1 的周期为（如图）,并非全部周期函数都有最小正周期,例如：2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x5f xk , kR .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ya cosb sin22a bsincosb 有aby . a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2211、三角函数图象的作法： ）、几何法：）、描点法及其特例 五点作图法（正、余弦曲线） ,三点二线作图法（正、余切曲线） .）、利用图象变换作三
22、角函数图象三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y Asin（ x ）的振幅 |A| ,周期 T2 ,频率 f1| ,相位x; 初相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|T2（即当 x0 时的相位）（当 A 0, 0 时以上公式可去肯定值符号） ,由 y sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长 （当 |A| 1）或缩短 （当 0 |A|1）到原先的 |A|倍,得到 y Asinx 的图象, 叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换 （用 y/A替换 y）由 y sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐
23、标伸长 （ 0 | | 1）或缩短（ | | 1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_到原先的| 1 | 倍,得到 y sin x 的图象,叫做 周期变换 或叫做沿 x 轴的伸缩变换 用 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_替换 x由 y sinx 的图象上全部的点向左 （当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位, 得到 y sin（ x ）的图象,叫做 相位变换 或叫做沿 x 轴方向的平移 用 x 替换 x由 y sinx 的图象上全部的点向上 （当 b 0）或向下 （当 b 0）平行移动 b个单位, 得到 y sinx b 的图象叫做沿y 轴方向的平移 （用 y+
24、-b 替换 y）由 y sinx 的图象利用图象变换作函数y Asin（ x ）（ A 0, 0）（ x R）的图象, 要特殊留意： 当周期变换和相位变换的先后次序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区分.4、反三角函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y sinx, x,的反函数叫做 反正弦函数 ,记作 y arcsinx,它的定义域是 1,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,值域是 , 2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y cosx,（x 0,）的反应函数叫做反余弦函数 ,记作
25、 y arccosx,它的定义域是 1, 1,值域是 0, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 ytanx, x,）,值域是,的反函数叫做 反正切函数 ,记作 y arctanx,它的定义域是 （2 2,2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 yctgx, x（ 0,）的反函数叫做 反余切函数 ,记作 y arcctgx,它的定义域是（,） ,值域是（ 0, ）II.竞赛学问要点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、反三角函数 .1. 反三角函数： 反正弦函数yarcsinx 是奇函数, 故 arcsinxarcsin x ,x1,1（一可编
26、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定要注明定义域,如x,没有 x 与 y 一一对应,故ysinx 无反函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： sinarcsin xx , x1,1, arcsin x,.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反余弦函数yarccos x 非奇非偶,但有arccos xarccosx2k, x1,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：cosarccos xx , x1,1 , arccos x0,.可编辑
27、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ycos x 是偶函数,yarccosx非奇非偶,而ysin x和yarcsinx 为奇函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反正切函数：yarctan x ,定义域 , ,值域（,）,22yarctan x 是奇函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_arctanxarctan x , x, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注： tanarctan xx , x, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
28、精品资料_反余切函数：yarc cot x ,定义域 , ,值域（,）, y22arc cot x 是非奇非偶 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_arccotxarc cot x2k, x, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_注：cot arc cot xx , x, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yarcsin x 与 yarcsin1x 互为奇函数,yarctanx 同理为奇而yarccosx 与 yarc cot x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_非奇非偶但满意arccos xarccos x2k , x1,1arc
29、cot xarc cotx2k , x 1,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a 的取值范畴解集a 的取值范畴解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin xa 的解集 cos xa 的解集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 1a 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a =1x | x2karcsin a, kZa =1x | x2karccosa, kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 1x | xk1 k arcsin a,
30、 kZa 1x | xkarccosa, kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ tan xa 的解集：x | xkarctan a, kZ cot xa 的解集：x | xkarccot a,kZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、三角恒等式 .组一nsin 2n 1sin 33 sin4 sin 3sin 2sin 2sinsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_coscos 2cos 4组二. cos22 n 1 sincos34cos 33 coscos2cos2可编辑资料 - - - 欢迎下载
31、精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ncoskk 12cos2cos4cos8cosn2sinn2 n sin2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ncosxkdcos xcosxd cosxnd sin n1d cosxnd 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 0sin d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nsin xkdsin xsin xdsin xnd sin n1d sin xnd 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 0sin d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tantantantantantantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1tantantantantantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_组三 三角函数不等式sin x x tan x, x