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1、交通量优化配置非线性规划模型排3最终 行健杯 数学建模竞赛承 承诺书我们细致阅读了行健杯数学建模竞赛规那么. 我们完全明白，在竞赛起先后参赛队员不能以任何方式包括 、电子邮件、网上询问等与队外的任何人包括指导老师探讨、探讨与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规那么的, 假如引用别人的成果或其他公开的资料包括网上查到的资料，必需根据规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们慎重承诺，严格遵守竞赛规那么，以保证竞赛的公正、公允性。如有违反竞赛规那么的行为，我们将受到肃穆处理。我们参赛选择的题号是从 A/B/C 中选择一项填写： C参赛队员 (打印并签名) ：1.
2、 蔡亚刚 理学院 10144287 2.程丽 理学院 10144216 3. 周金刚 理学院 10144281指导老师或指导老师组负责人(打印并签名)：日期：2021年4 月 6 日评阅编号由组委会评阅前进行编号： 行健杯 数学建模 竞赛编 编 号 专 用 页评阅编号由组委会评阅前进行编号：评阅记录可供评阅时运用：评 阅 人评 分 备 注统一编号：评阅编号：交通量优化配置的非线性规划模型 摘要：城市交通拥挤现象是城市交通规划最为明显的失策现象之一。从某种程度上说，城市交通拥挤现象是汽车社会的产物，特殊是在人们上下班的顶峰期交通拥挤现象尤为明显。据统计，上海市由于交通拥挤，各种机动车辆时速普遍下
3、降，50 年头初为 25km 现在却降为 15km 左右。一些交通繁忙路段，顶峰时车辆的平均时速只有 34km。交通堵塞导致时间和能源的严峻奢侈，影响城市经济的效率。城市交通拥挤现象是现代我国大中城市存在的普遍问题由于公交车、小汽车流量较多，加上餐饮业商贸功能聚集，使原来就不宽的道路变得拥挤不堪，给进行物资运输，急救抢险，紧急疏散等状况带来不便。其中，城市各路段交通流量的合理安排可以有效缓解道路发生拥挤。接下来，我们将模拟一个交通网络， 针对两点之间的交通量优化配置问题，利用非线性规划建立了最优化行驶方案的模型，使交通流量到达最优化配置以解决局部由流量不均而导致的交通堵塞问题。问题一中，将车辆
4、的有效行驶路径定义为向右向下行驶的路径，基于此建立有效路径搜寻算法并求解得 8 条有效路径。分别为：1 1 2 3 4 7 02 1 2 3 6 7 03 1 2 3 6 10 04 1 2 5 6 7 05 1 2 5 6 10 06 1 8 9 10 07 1 8 9 5 6 7 08 1 8 9 5 6 10 0JJJJJJJJ =- - - - - =- - - - - =- - - - - =- - - - - =- - - - - =- - - - =- - - - - - =- - - - - - ：；：；：；：；：；：；：；：； 问题二中，假设车子单辆行驶且全部有效路径都被利用
5、，首先建立密度与速度、速度与路段车辆数的根本函数，并由此得到各路段行驶时间关于各路段车辆数的模型。按优化方案中要求各条路径行驶时间最短的目标，并且以每条路径耗时相等和各节点总流入车辆数与总流出车辆数相等为约束条件，建立非线性规划模型。问题三中，基于问题二中建立的模型，依据的车辆数条件，并对最大速度、最大车辆密度和路段长度进行合理假设代入模型中，并用 MATLAB 编程求得近似最优安排方案：路径一 1475 辆；路径二 600 辆；路径三 0 辆；路径四 1346 辆；路径五 0 辆；路径六 2154辆；路径七 0 辆；路径八 412 辆。在上述模型中，仅考虑了路段单位长度车辆数对速度的影响，而
6、忽视了横向路段宽度对通行速度的影响，且实际生活中有效路径往往不会被同时利用。由此本文又考虑了路段最大车流量，并引入了美国 BPR 函数，得到路段出行时间关于实际车流量的函数，并以各条路径行驶时间最短为目标，依据用户均衡安排原理，以流量平衡为约束条件，建立一个非线性规划模型更接近实际状况。】：非线性规划 用户均衡安排 车流量平衡 网络图 MaTLab1 一 一 问题重述 某区域道路网络如图 1 所示，每条道路等级完全相同，某时间段内，有 N 辆车要从节点 1 动身，目的地是节点 0假设该时间段内，路网中没有其它车辆。在该时间段内，道路截面经过的车辆数越多，车辆在该路段行驶的速度就越慢。1确定有效
7、的行驶路径及其算法； 2确定每条路径上的通过的车辆数，使 N 辆车从节点 1 到节点 0 的总行驶时间最小； 3N=6000，请给出详细的计算结果。注：横向路段长度是纵向路段长度的 2 倍 16 59 93 28 074 图 1：某区域道路网络图 二、模型的假设 1在每个路段上车辆都为单辆路道行驶，无并排车辆，且不允许超车； 2源点1是以最大流量向两条路发车；3假设每一条有效行驶路径上都有车通过； 4假设车辆的最大行驶速度为120km/h，纵向路段长为300km； 5道路截面经过的车辆数与车辆在该路段行驶的速度成反比例函数关系 v=k/I； 6车流密度匀称不变 ( ) / tan d t dt
8、 o cons t r r = = ； 7各环路两条支路对时间负载均衡。三、 符号说明 a , b :路网中节点的标号其中 0,1,2 ,10 a b 和 取值都为 ，且节点 b 为节点 a 的后继节点 xa:第 a 个节点的横坐标 ya:第 a 个节点的众坐标 xb:第 b 个节点的横坐标2yb:第 b 个节点的众坐标 ( ) s x :第 b 个节点的横坐标与第 a 个节点的横坐标之差 ( ) s y :第 b 个节点的众坐标与第 a 个节点的众坐标之差 i:表示在第 i 段路径上 I:该路径上的车流数量 H:某条路径上的车辆数 N:总的车辆数 V :该路径上的车辆速度 Q :该路径上的车
9、流量 r:该路径上定义的平均密度 ρ constIL= =L:该段路径的长度 jT:路径 j 到达终点的总时间 k:反比例系数 t:通过该段路径所用的时间四、模型的分析 与建立 问题一 4.1.1 问题的分析 问题所要解决的是定义有效行驶路径，并给出相应的算法确定有效的行驶路径。在一个较大的网络中，每一个 OD 对之间都有许多的行驶路径，但是在实际网络配流中，有许多路径是明显不会被出行者考虑的，出行者只在一局部合理路径有效行驶路径中进行选择。因此，在安排前必需先确定每一对 OD 之间的有效行驶路径。我们先假设有效行驶路径应为无重复、折回的行驶路径，即行驶方向始终朝向目的地，即向右向下行
10、驶的路径。要找到有效行驶路径，可以利用图建立直角坐标系，以节点 1 为原点，向右为 x 轴的正方向，向下为 y 轴的正方向，这样路网中的每一个节点都可以用相应的坐标来表示。因此，有效行驶路径通俗的说明是：从路段的起始节点走到终止节点后，终止节点离起点更远，同时离终点更近。如某一路段 ( , ) a b 是否位于有效路径上可以用 ( ) s x 和 ( ) s y 来推断，当满意 ( ) 0 s x 其中 ( )x xs x b a = - 或者 ( ) 0 s y 其3中 ( )y ys y b a = - 时，路段 ( , ) a b 即位于有效行驶路径上。综上，假如 OD 对 (1,0)
11、之间的路径 j 满意以下两个条件，那么称路径 j 为有效行驶路径：路径 i 上的路段 ( , ) a b 满意 ( ) 0 s x 或者 ( ) 0 s y ； 4.1.2 有效行驶路径算法步骤 依据上述的分析，本文定义的找寻有效行驶路径的算法步骤如下：Step1：建立一个以节点 1 为原点，向右为 x 轴的正方向，向下为 y 轴的正方向的直角坐标系； Step2：将路网中的每一个节点根据建立的直角坐标系，在遵循题目中横向路段长度是纵向路段长度的 2 倍 的原那么下表示出每一个节点的坐标； Step3：找到节点 a 全部的后继节点 b ，推断节点 a 与节点 b 是否满意( ) 0 s x 或
12、者( ) 0 s y 。假如满意，那么该路段 ( , )a b位于有效行驶路径上，假如不满意，那么该路段不位于有效行驶路径上； Step4：将全部在有效行驶路径上的路段在路网中标注出来，能够从节点 1 连通到节点 0 的路径就是有效行驶路径。4.1.3 确定有效行驶路径 本文以节点 5 为例，找出全部经过节点 5 的在有效行驶路径上的路段。依据上述的算法可得节点 5 的坐标为 (2,1) ，节点 5 的全部的后继节点有节点 2，节点 6 和节点 9，坐标分别为 (2,0) 、 (4,1) 和 (2,2) 。节点 5 与节点 2 的 ( ) 2 2 0 s x = - = 、( ) 0 1 1
13、0 s y = - = - 、 ( ) 1 1 0 s y = - = ，满意条件，因此该路段位于有效行驶路径上；节点5 与节点 9 的 ( ) 2 2 0 s x = - = ， ( ) 2 1 1 0 s y = - = ，满意条件，因此该路段也位于有效行驶路径上。综上，可得出经过各节点的且在有效行驶路径上的路段如图 4.1 所示。4 图 4.1 标有路段的路网图依据算法第四步，可以确定从节点 1 动身到达节点 0 的全部有效行驶路径，一共有7 条，分别为：1 1 2 3 4 7 02 1 2 3 6 7 03 1 2 3 6 10 04 1 2 5 6 7 05 1 2 5 6 10 0
14、6 1 2 5 9 10 07 1 8 9 10 0JJJJJJJ= - - - - - = - - - - - = - - - - - = - - - - - = - - - - - = - - - - - = - - - - ：；：；：；：；：；：；：； 4.2 问题二 4.2.1 问题二的分析 假设干脆对该交通网络进行优化配置那么存在许多阻碍，对此我们对此模型进行了一些志向化的处理。首先我们假设道路截面经过的车辆数与车辆在该路段行驶的速度严格成反比函数的关系，由此解除了双向通车的可能性。例如位于 56 支路上不行能既有 5 开向 6 的车也有 6 驶向 5 的车，因为由假设可知车越多行使
15、速度越慢，因此为了使速度最大化我们不能将空间赐予车流走回头路。我们把车流当作流量模型即对每条支路的车流量对时间进行积分然后再找最优配置方案明显是不切实际的，所以在此我们假设车流密度不随时间发生改变，也就是说我们把车看作质点进行分析。就一般而言我们可以随意选取一环路带进出口的环路5 图 图 4.2 如下图：我们假设 Ta≠Tb，那么必有 Tagt;Tb 或 Talt;Tb，不管是哪种可能，我们必定可以通过上调时间花费短的路径负载 I 使得该路径的行车速度 v 下降、行使时间 t 上升，以及下调时间长的路径负载 I 使得该路径的行车速度 v 上升、行使时间 t 下 降，那么在这个动态改变中总
16、有一个时刻使得 T0=Tb =Ta 以 此到达对时间的负载均衡。又因为 T0lt;maxta，tb，所以这个静态点的配置优于原配置。 在接下来的模型建立中，我们将以我们的分析假设作为根底进行数学建模，最终用matlab 编程完成对该交通优化配置的求解。4.2.2 模型的建立1 每条路径上的车流量与行车速度之间的函数关系 现实生活阅历告知我们这两者成反比关系，那么在这里我们志向的认为两者成格的反比例函数关系 VIk=4-1 2 车流密度函数 生活阅历告知我们车流密度与某时刻的车间距，车长等关系相关，在这里我们近似认为与车流密度是时间 ρt，但为了模型的简化我们不得不认为 ( ) / ta
17、n d t dt o cons t r r = =4-2 那么ρ constIL= = 4-3 3 流量 流量大了就必定要限制车速，我们用量纲分析结合这个常识可以得到流量与车速成正比关系 Q ρV = 4-4 4 每条路径上的行车时间道路是否优化的标准 行车时间即为道路的车流数量与车流量的比值6/ t I Q =4-5 5 时间，流量，路径之间的函数关系通过上述公式的等效变换 ρ constVQ ρVI QtILIk= = 4-6 我们最终可以得到 t∝IL 即：kt IL =我们对上式两边进行积分得到：01ji mtiik dt I dL= 4-7
18、现在我们对最优解下的交通网络列线性方程组：1 1 4 5 112 1 4 6 8 113 1 4 6 10 134 1 3 7 8 11 2 315 1 3 7 10 136 1 3 9 12 137 2 12 134 5 61 2 2 32 2 2 23 2 2 24 2 2 25 2 2 26 2 2 27 4 2 2J kt I I I IJ kt I I I I IJ kt I I I I IJ kt I I I I IJ kt I I I I IJ kt I I I Ikt kt kt kt kt kIJtkt I I I= = + + += = + + + += = + + + +
19、= = + + + += = + + + += = + + + += = = = = =+ +：7kt=4-8 依据各个节点的流量守恒原理我们可以列出以下方程组：1 21 3 44 5 63 7 96 7 8 105 8 112 9 1210 12 1311 130000000I I NI I II I II I II I I II I II I II I II I N+ = - - =- - =- - =+ - - =+ - = + - =+ - =+ =4-97对于以上方程我们用 MATLAB 求解得：123456789101112130.62030.36950.29270.31960.22350.09520.34100.22710.05870.20280.47620.29610.4732I NI NI NI NI NI NI NI NI NI NI NI NI N= -= 4-10 视察结果我们发觉：90 I 说明根据问题一中图 图 1 4.1 的方向计算，结果90 I - - - - =- - - - - =- - - - - =- - - - - =- - - - - =- - - - =- - - - - - =- - - - - - ：；：；：；：；：；：.