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1、武朗科於大号教案纸第2章 环路跟踪性能（8学时）【主要讲授内容及时间分配】线性相位模型与传递函数（45分钟）2.1 二阶系统的一般性能（45分钟）环路对输入暂态信号的响应（70分钟）2.2 环路对输入正弦信号的响应（65分钟）环路的稳定性（90分钟）2.3 非线性跟踪（45分钟）【重点与难点】1、重点：理解锁相环的相位模型和传递函数，掌握二阶线性系统的分析方法和环路的 稳定性分析。并能应用所学的方法分析环路对输入暂态信号和正弦信号的响应 2、难点：从时域和频域两个方面分析锁相环的线性和非线性性能。【教学要求】1、线性相位模型与传递函数；2、二阶系统的一般性能；3、环路对输入暂态信号和正弦信号的
2、响应；4、环路的稳定性分析。【实施方法】课堂讲授，PPT配合在工程实践中，绝大多数锁相环路是在同步状态下进行工作的。线性跟踪是锁相环 路正常工作时最常见的情况。二阶线性系统是工程实践中非常重要的一个系统，是控制 系统分析的重要基础。本章首先将环路动态方程一般形式线性化，得到其线性相位模型, 以一阶滤波器代入即得到二阶线性系统的模型。接着介绍二阶线性控制系统在时域和频 域方面的一般性能。然后在结合实际的二阶锁相环路对照分析，得到二阶锁相环路时域 和频域的各项性能指标。本章将导出不少有关跟踪性能指标的计算公式，这些公式都是 工程计算中常用的。止匕外，锁相环路的稳定性能如何也是本章所要讨论的问题之一
3、。/=Am 在实际中，收发信机作匀速运动，相位斜升。3 .相位加速度（频率斜升）94）=一&2 ,=%3在实际中，收发信机作加速运动，接收信号相位加速。二、求相位误差的方法在环路跟踪性能的研究中，关心的是相位误差的变化规律。1 .求尔S）,.乩2 .优=a（s）,H,s）4,劣= t （$）5 .作图看Q的变化规律（由失锁到锁定）书上讨论，两种输入：相位斜升（频率阶跃）相位加速度（频率斜升）两种电路：无源比例积分器的非理想二阶PLL有源比例积分器的理想二阶PLL三、结论-相位误差1 .定义 4（oo） = lima（，）求法：从定义求应用拉氏变换的终值定理.表 2-4结论：环路的“型”数-理想
4、积分环节的个数。原点处极点的个数，也就是环路 中理想积分环节的个数。显然，决定稳态相差的是开环传递函数中处于原点的极点个数，而不是“阶”数。有RC积分滤波器PLL二阶1型环无源比例积分器 二阶1型环高增益有源比例积分滤波器三阶2型环两节高增益有源比例积分滤波器三阶3型环由表2-4可知：型数越高,增益越高，越有利于减小稳态误差。2.4环路对输入正弦相位信号的响应环路频域跟踪性能一、PLL频率特性的含义：特指输入输出均为相位，各量均与相位发生关系的情况。闭环频率特性 H（jco） = 也2= / ”4（汝）i + y）误差频率特性He（j）=误差频率特性He（j）=4（%）1 +/（池）例：/=%
5、S词就I + q )例：/=%S词就I + q )输入相位耳=+仇）线性系统频率不变，% =mo + %）mo =叫 H（jQ）d=6+ArgH（jQ）% (，) =+ 设. + ArgH(jQ同理,Oe （。=+ 0）e = &+ArgHjQ)= % 风(jQ)牌疝6 + (4 + A 吆乜(4)二、二阶PLL的频率响应1、1、有源比例积分器的理想二阶环将传输函数H （s）中的S = JO代入，得频率特性:将传输函数H （s）中的S = JO代入，得频率特性:Hg) =1 + j2cx-x2 + j2#I”(=i d 2幅频特性 V(l-x2) +42%2ArgH(jx) = arg 20
6、- arg相频特性-x由图2T3、2T4可知：低通滤波器。叱的范围内，是通带。 阻尼系数越小，过冲越大，但过渡带下降得快。 同理可得，误差频率响应以及Bode图2-15、2-16o 有结论：误差幅频响应成高通特性。2、 Rc积分滤波器二阶环闭环Bode图2-17 (P17)低通特性误差Bode图2-17、2-18高通特性无源比例积分器二阶环二理想二阶环总之，二阶环0。)呈低通特性，乩(4)成高通特性。物理意义：环路可跟踪输入相位中的低频成分，而不能跟踪4(。中的高频成分。4(。 中的高频成分变为相位误差。即：/(，)可跟踪40中的低频成分，而4(。中的高频成分变为4(。，低频中的 生价“61
7、(%)。三、.频域指标截止频率0CI。心=:RC积分器二阶环 (oc = con理想二阶环理想二阶环0 (db),想 0。其中，Km是增益量，耙是相位余量。201g |HO( j)|/dB增益临界频率；相位临界频率显然，稳定0。7。犬。为了保证稳定，一般45。耙60。2、理想二阶环Ms) = 3乩=k = fTSTSH,卜):祖3-TCD fk1201grg 一201gM (网= k：201g- + 201g(r2)02*1 - K)当K-1时，K越大，。越大。 2五、 理想三阶环稳定性分析(采用两节理想比例积分Filder)八 、2产(s)= gI 7一H (.= K-K f n耙t ,高增
8、益稳定超于稳定可用罗斯准那么，令l + ”,(s) = O + K* + 2Kjs + K = 02Kt2罗斯阵列：之Kt由罗斯准那么可知：当第一列元素全大于零时，闭环系统稳定,心即 2Kt2 -5-0了2K2 46非线性跟踪前面的分析都假设在跟踪过程中，环路相差。始终很小，环路工作在正弦鉴相特性的线性工作区域，因此可将原来是非线性的环路动态方程线性化，用线性系统的传递 函数来求解系统的时域和频域响应。实际上，如果跟踪过程中相差。比拟大，前面 的线性分析就会带来比拟大的误差。如果相差再加大，直至环路失锁，线性化的分析方 法就不再适用了，这就涉及到环路的非线性跟踪问题。在非线性跟踪状态，环路的稳
9、态 相差、暂态响应、频率响应等都将与线性跟踪状态有所不同。当然，要确切分析非线性 跟踪状态的性能，需求解非线性微分方程，除了一阶环以外这是很困难的。这里仅就其 中的几个问题作一简单的介绍。一、锁定时的稳态相差非线性跟踪的稳态相差不能再用线性化方程式来求解,而必须从动态方程的一般形 式出发，即4=4-(p)sin劣 在输入固定频率的条件下q (。= A/ 4=A%在环路锁定的条件之下，瞬时频差等于零。即这样，锁相环路锁定条件下稳态相差的表达式KF(p) sin 9e(t) = A。对于理想二阶环，有K(1 + pq)sin。=0= 0即锁定后稳态相差为零。对于采用RC积分滤波器的二阶环，有Ksi
10、n 仇= arcsin一CC/V1即存在稳态相差，且随着灯的加大而加大。当K时方程无解，此时环路就失锁。对于采用无源比例积分滤波器的二阶环，有K(l + /7r2)sin(z) = %=夕) = arc sinK采用无源比例积分滤波器的二阶环和采用RC积分滤波器的二阶环同是二阶1型环，稳 态相差也就相同。同步带问题:2.1线性相位模型与传递函数 一、线性相位模型与传递函数的一般形式锁相环路相位模型的一般形式P仇=P*- KF(p)sin仇因为环路应用了正弦特性的鉴相器，所以模型与方程都是非线性的。 如图2-1所示在环路的同步状态，瞬时相差总是很小的，鉴相器工作在鉴相特性的零点附近。 零点附近的
11、特性曲线可以用一条斜率等于正相特性零点处斜率K”的直线来进行近似。不会引起明显的误差，(t)在30之内的误差不大于5虬因为ud(t) = ud sinOe(t)Kd仇_ dUd sinQ,: 也= Udcos0e(t)0e=0近似线性鉴相特性的斜率K”在数值上等于正弦鉴相特性的输出最大电压力。但要 注意，两者所用的单位是不同的，右的单位是V/md,力的单位是。锁相环线性化条件：仇产优 CC-C6含义：在环路处锁定状态(同步跟踪状态)时，瞬态相差/很小，在0点附近用 线性直线代替。在非锁定状态下。尸以，闻,工6假设输入单音信号，常数，处于跟踪状态,(1)为什么从环路方程可以得到理想二阶环同步带为
12、无限大的结论，而事实上是不可 能的？(2)采用RC积分滤波器的二阶环和采用无源比例积分滤波器的二阶环的同步带是多 少？三、最大同步扫描速率理想二阶环的最大同步扫描速率是多少？如何求得？四、最大频率阶跃与峰值暂态相差什么是“最大频率阶跃量”？采用正弦鉴相器的理想二阶环，其最大频率阶跃量与环路参数之间的关系如何？适 用范围？频率阶跃所引起的峰值相位误差与阻尼系数7密切相关。& Q) = %cos% Q) = w, cos。/ + q 此时，oe(o = (o - o0(o假设输入调角信号，仍可处于跟踪状态，回=%但3跟随耳变化而变化。线性数学模型.线性化sin。，将K祝取代U“sina 得 pe(
13、t) = p(t)-KoKdF(p)6fe(t)再令环路增益 K = KoUd那么方程为 p(t) = P，) - KF(p)Q)相应的线性相位模型如图2-2 (a)o%仇f R(s)复频域：p T S频域：S = JCD传递函数复频域相位模型如图2-2 (b)开环传函：H,(s) =等仇 s闭环传函：患=名黑KF(s)/H(c =4 二%1 + KF(s)/ 1 + /s)H误差传函：HH误差传函：H(s)=a（s）0 (5) 5 + KF(s) 1 + H/s)二、二阶锁相环路的线性动态方程和传递函数当采用RC积分滤波器作为环路滤波器时，传递函数F（5）=1 + S环路线形方程 S?。（S
14、）HS。（S）H8（S）= S26x（5）Hsg（S）C-I 1Z- iZ- iT1s2 + 误差传递函数“e(S)= ? = 1仇d+SK闭环传递函数H(s) = 1 -乩(s)= -2 s Ks + + K开环传递函数乩=1 一 H（s） 2J I当环路滤波器采用无源比例积分滤波器和有源比例积分滤波器时，其结果见教材 22页的表2-1。F（s）=l一阶环歹（s） = 典型二阶环，RC filter的二阶环1 + ST1/（5）=匕三非理想二阶环，无源比例filter二阶环1 + 5T皿、1+sq b(s) =rST、理想二阶环，有源比例filter二阶环&)=(1三)2STX三阶环二阶锁相
15、环路经线性化之后，成为一个二阶线性系统，它具有二阶线性系统的一般 性能特点。例如，它的动态方程是二阶线性微分方程，它的传递函数都是具有两个极点 等等。此外，二阶系统的响应在性质上可以是非线性振荡型的或振荡型的；通常又惯于 用两个参数，即无阻尼振荡频率以和阻尼系数二，来描述系统的响应；在描述其时域 和频域的性能指标时，要用到一些统一的指标等等。这些都属于自动控制系统的基础知 识，又是锁相技术中常用的。为了了解它们的含意，下面就二阶线性系统的一般性能先 作介绍。2.2二阶线性系统的一般性能 一、二阶系统及其描述二阶线性系统的数学模型如图：列电压回路方程:L- + W) + j = Ui(t) dt
16、设初始条件为3拉氏变换Lsl(s) + RI(s) + -/(s) = Ui(s) C s /(5)= Uo(S) C sI(s) = C.SU.(s)LCs2Uo(s) + RCs- Uo(s) + U(s) = M(s)d2uo(t)diio(t)LCF A CF Uot) drdt定义两个说明系统的参数无阻尼震荡频率(自由震荡频率)coco14lc1 R 11 7? 5 1 R4C2 L con 2 L 2 dL当输入小为单位阶跃电压，且4小于1,解得:e毋/与二1-尸苫sinJ 一12 ,+ arctg振荡频率%=J1一片 随着时间的增长衰减 振荡随时间的增长时衰减的。当J=0时，d
17、二无阻尼震荡，可推得：能量消耗元件为0所致。21、二阶系统传函为：七9 =二一37低通系统Uj (s) LCs2 +RCs + l s2+ 2弧 s + 冠系统传函也可用如、匕、K二KK表示。0、J与、K的关系如表2-2,N这些不同的表达为系统设计带来方便和灵活性。二、时间相应及其指标(2-28)式已给出了 C1的R-L-C电路，在单位阶跃电压输入下的输出响应,它是一 个衰减振荡。当C为不同值时,输出响应尚有不同的形式。将C为不同值时方程(2-27) 的解列出如下：01-a” h _二。(。=1 -r=siny/l -2cont + arctgJl-铲JJ=1练= l e(l + J)&1,_
18、也_也2_1)(032y/c - 7F)+27FTc+TFi)1、对于不同的阻尼系数J,二阶系统的单位阶跃响应如图2-4 （P25）。*.n*.ng由。2对应曲线，由上至下。分四类：g=o, 无阻尼震荡0i, 过阻尼系统，响应为单调上升曲线，是非震荡型。设计二阶系统一般在（KJG （欠阻尼状态），二阶锁相环路就是如此。2、瞬态指标(暂态指标)法) = )-阶跃信号。求的情况下定义Mp、ts。Mp随J减小而增大, 叱大f稳定性差。ts 跟踪速度，与4成反比42%： t =,+ 5%： t =3、稳态指标稳态误差：U() (co) -ui (oo)时间趋向无限大时，系统进入稳定状态之后的静态误差。
19、 由拉氏变换终值定理e(oo) = lim SE(s)ST 0(s) = e(t)4、频率响应(稳态响应) 3 = _.%(s) s + 2cons + co令 s = j。H(jQ)=-%=1-Q2+配S +比一 一+ j2+ 1归一化，令 = & =con 1 - X + j2X得幅频响应相频响应argH(j。)P28 如图 2-7。小结：这一节中，我们以R-L-C电路作为二阶系统的一个例子，介绍了二阶系统的 一般性能，例如动态方程、传递函数、单位阶跃输入激励下的输出响应、暂态过程中的 性能指标和频率响应等等。值得注意的是，这些二阶系统的一般性能，在常用的二阶锁 相环中都能得到表达。从表2
20、-3中可以看到，采用RC积分滤波器的二阶锁相环路，其 闭环传递函数H（s）的表达式，与R-L-C电路的传递函数的表达式完全相同。当然，系统参数二和口“所代表的物理量是完全不同的。仅此一例我们就能知道，不同的物理系 统可以有相同的动态方程和传递函数。从研究这个传递函数所得到的系统性能指标，又 统一地描述了不同物理系统的性能。由此可见，掌握二阶系统的一般性能，对于分析和 理解二阶锁相环路是有意义的。2. 3 环路对输入暂态信号的响应本节主要讨论，在环路已锁定的条件下，输入信号发生相位或频率变化，通PLL 自身的控制作用，PLL的输入信号将会跟踪输入信号的变化。这是一个由稳态一暂态f稳态的过程。我们通过分析输入信号的变化引起暂态相位误差和稳态相位误差的大小，来看环路 对输入暂态信号的响应，这是衡量环路线性跟踪性能好坏的标志。得到跟踪精度、跟踪速度等时域性能指标。一、 典型暂态相位信号在自动控制理论中，常把位置信号，速度信号，加速度信号作为典型输入量 来分析各种控制系统的性能。在PLL中，输入量是相位，一三种典型暂态信号：相位阶跃、相位斜升（频率 阶跃）、相位加速度（频率斜升）.相位阶跃信号0,/0q） = = q（s）s在实际中，收发信机距离突变，相位阶跃。1 .相位斜升信号