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1、大题综合训练学校:姓名：班级：考号:一、解答题27r1. （2021 .邵东市第一中学高三月考）在中，内角A、B、。的对边分别是。、b、ZBAC = , AD平分N阴。交3c于O, AD = .（1）求ABC面积S的最小值；（2）已知。=2石，求A4C面积S.2. （2020.湖南长郡中学高三开学考试）在ABC中，内角A, B, C的对边分别为m b, c,。在BC边上，且2BD=2DC,若 sin2A + sin2Csin2B= sinAsinC, c=2.（1）求sin3的值;q Bsin oc（2）设N3AD=a, /DAC=B，若ADC的面积为工，求一的值.3sina + b sin
2、Ca + b sin C3. （2021湖南师大附中高三月考）在A5C中，角A, B,。所对的边分别为m b, c,已知二二.：n20. （2021 湖南雅礼中学）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动,该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为:、J； 1小时以 46上且不超过2小时离开的概率分别为J、两人滑雪时间都不会超过3小时. / j（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之
3、和为随机变量二 求4的分布列.21. （2021 邵东市第一中学高三月考）如图,已知圆 E:x2 +(y-l)2224经过椭圆吟+方焦点用尼，与椭圆C在第一象限的交点为A ,且月，E, A三点共线.（1）求椭圆。的方程；（2）设与直线。4（。为原点）平行的直线交椭圆。于两点，当AAMN 的面积取取最大值时，求直线/的方程.22. (2021糊南师大附中高三月考)设抛物线C:y2=2px(0)的焦点为足点M在抛物线。上，。为坐标原点，已知|OM|=26，IMF|=3.(1)求抛物线C的方程；(2)过焦点/作直线/交C于A, 8两点，P为C上异于A, 8的任意一点，直线PAP3分别与。的准线相交
4、于Q, 两点，证明：以线段。石为直径的圆经过x轴上的两个定点.23. (2020湖南长郡中学高三开学考试)已知抛物线C： 9=2X(。)的焦点为尸，过点尸且垂直于不轴的直线交抛物线。于O、E两点，且目=4.(1)求抛物线。的方程；(2)设直线/过点A(2,0)且与抛物线。交于P,。两点，点R在抛物线。上，点N在x轴上，NP + NQ + NR = 0,S直线依交X轴于点8,且点B在点A的右侧，记的面积为S,的面积为邑，求U的最小值.22（2021 .双峰县第一中学高三开学考试）椭圆=+与=1（人0）的右顶点为A,上顶点为以。为坐标原点， er h直线AB的斜率为-不，ziOAB的面积为1.（1
5、）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上有两点用，N （异于椭圆顶点，且与x轴不垂直），证明：当OMV的面积最大时，直线与QV的斜率之积为定值.29（2021 湖南雅礼中学）已知抛物线C:1=i6y的焦点为八 准线为/,椭圆cr b到/的距离为5,过耳的直线4与E交于N两点，当MNJLy轴时，|MN|=3.（1）求椭圆E的方程；（2）直线府与不轴交于A点，直线RV与轴交于B点，求证：|砌二|人理.24. (2021 邵东市第一中学高三月考)已知函数x) = xlnx-Jg2 一羽根尺乙(1)若g(x) = /(x)，(/)为/的导函数)，求函数g(%)在区间Le上的最大值;(2)若函数/(%)有两个极
6、值点石,W，求证：x/2/(2020湖南长郡中学高三开学考试)已知函数/(%) = + *,其中e是自然对数的底数.(1)判断并证明Ax)的奇偶性；(2)若关于x的不等式呵G)e，+机-1在(0,+oo)上恒成立，求实数机的取值范围；(3)已知正数。满足：存在不口,+8),使得了(/)+CO JQ26. (2021 双峰县第一中学高三开学考试)已知函数=(1)讨论司的单调性；(2)若g(x) = /(x)-l在(L+oo)上有零点,求实数a的取值范围.27. (2021 湖南雅礼中学)已知函数/(x) = lnx + G + (owR). X(1)求函数“X)的单调区间；当a = -1时，ga
7、)= x) + (x-2)e“-L记函数y = g(x)在pl上的最大值为 2,证明：(加+4)(加+3)0. X(1)求角8的大小;(2)设加= 2a-c,若b = 6,且4 C都为锐角，求机的取值范围.4. (2021双峰县第一中学高三开学考试)如图，ABC的内角A, B,。的对边分别为。，b, c , a = 2b,且a _ bcos B cos A(1)求C；(2)在ABC 内有点 A/, /CMA = /CMB ,且直线 CM 交 4?于点。，求 tan/CQA.5. (2021 湖南雅礼中学)4c的内角A, B, C的对边分别是。，b, c,且。csin 3 = J%cosC.(1
8、)求角B的大小；(2)若 =3,。为AC边上一点，BD = 2,且,求A5C的面积.(从8。为的平分线，。为AC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答)6. (2021 邵东市第一中学高三月考)设各项均为正数的数列%的前项和为S”，若。2,%，囚4构成等比数歹U，且 4S=q2 4n ,neN* n+l(1)求数列的通项公式；(2)求证：对任意正整数，有一匚+ 匚+4% a2a327. (2020湖南长郡中学高三开学考试)在数列斯为等差数列，且3+。7=18；数列为等比数列，且。2。6= 64,。2。3512,若存在，求出相应的正整数攵的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个
9、条件分别解答，按第一个解答计分.8. (2021 湖南师大附中高三月考)设数列4的前项和为S，已知当心2时，41=2,且4%为S-S5的等比中项.（1）求数列4的首项以1的值；（2）设丁 =,求数列色的前项和小 anan+ .乙9.（2021 双峰县第一中学高三开学考试）已知：数列4满足吗=1 .（1）求知;（2）求满足4+出+ 4 2022的最大的正整数的值.10. （2021 湖南雅礼中学）已知数列%中，=1必=3,其前项和S”满足5向+Si=2S+2（N2,N*）.（1）求数列4的通项公式；（2）若久=。 + 2匕 求数列出的前几项和刀一11. （2021 邵东市第一中学高三月考）如图，
10、在多边形A5PCQ中（图1）.四边形ABC。为长方形，ABPC为正 三角形，AB = 3, 3c = 3血，现以3c为折痕将BPC折起，使点P在平面ABC。内的射影恰好是AO的中点（图2).(1)证明：A3,平面PA。；(2)若点E在线段所上，且PE = ；PB,求二面角E-DC-8的余弦值.P图212. (2020湖南长郡中学高三开学考试)已知底面为正三角形的斜三棱柱ABC-A4G中，只尸分别是棱A4 , AB的中点，点4在底面投影为4C边的中点。，4CcAG=P，A/nAE = G.(1)证明：PG平面AgG ;32(2)若AB = 6,朋=5,点”为棱4月上的动点，当直线A与平面A/C所
11、成角的正弦值为 k言时，求点 v2117M的位置.(2021湖南师大附中高三月考)如图，直三棱柱A5C-44G的底边长和侧棱长都为2,点。在棱8片上运动(不包括端点).(1)若。为3瓦的中点，证明：CDA.AQ.(2)设面ACQ与面A5C所成的二面角大小为。(。为锐角)，求cos。的取值范围.Ci13. （2021 双峰县第一中学高三开学考试）在四棱锥PABCD中，AB/CD , A3 = 2, BC = CD = T, ZABC = ZAPD = 90, PA = PD,平面APD_L平面ABC。.(1)证明：平面Q4BJ_平面(2)求二面角BPQC的正弦值.14. (2021 .湖南雅礼中
12、学)如图，在半圆柱W中，AB. CD分别为该半圆柱的上、 下底面直径，E、尸分别为半圆弧AB,CD上的点，AD. BC.防均为该半圆柱的 母线，AB = AD = 2.(1)证明：平面。石户，平面CEb；(2)设ns尸= eoeg,若二面角七co/的余弦值为更，求。的值. 、2)515. (2021 邵东市第一中学高三月考)某款游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音 乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，若出现一次音乐获得1分，若出现两次音乐获得2分，若出现三次音 乐获得5分，若没有出现音乐则扣15分(即获得-15分).设每次击鼓出现音乐的概率为且各次击鼓出现音 乐相互独
13、立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.(2)玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？16. (2020湖南长郡中学高三开学考试)据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了 超过50%的高速年均增长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知 该包装胶带的质量以某项指标值人为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取 了 1(X)0个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值晨并分成以下5组，其统计结果及产品等级划分如下表所示:质量指标化50,60)60,70)70,80)80,90)90,100产品
14、等级A级B级C级。级废品频数16()30040010040试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）.（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值%近似地服从正态分布其中近似为样本平均数输，。近似为样本的标准差S,并已求得5。10.03.记X表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指 标值左在区间（50.54,80.63之外的包装胶带个数，求P（X = 1）及X的数学期望（精确到0.001 ）；（2）已知每个包装胶带的质量指标值Z与利润V （单位：元）的关系如下表所示：“（1,4）.质量指标上50,60)60,70)70,80)80,90
15、)90,100利润y5t3f2tt-5el假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5（X）0万元（含引进生产线、兴建厂房等等 一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由.参考数据：若随机变量 Z NJ,）,则 p（ bZ + b） = 0.6827, P（/z - 2r Z / 4- 2o-） = 0.9545 ,P（3bZ + 3b） = 0.9973, 0.818629 0.0030 , In 13 b 2.6.17. （2021 .湖南师大附中高三月考）今年五月，某医院健康管理中心为了调查成年人体内某种自身免疫力指标， 从在本院体检
16、的人群中随机抽取了 100人，按其免疫力指标分成如下五组：（10,20,（20,30,（30,40,（40,50,（50,60, 其频率分布直方图如图1所示.今年六月，某医药研究所研发了一种疫苗，对提高该免疫力有显著效果.经临床 检测，将自身免疫力指标比较低的成年人分为五组，各组分别按不同剂量注射疫苗后，其免疫力指标y与疫苗注 射量个单位具有相关关系，样本数据的散点图如图2所示.组距0.04()1免疫力指标0.0260.0240.0080.002LlJu四而注射中10 30 50 70 90图1图2（1）健管中心从自身免疫力指标在（40,60内的样本中随机抽取3人调查其饮食习惯，记X表示这3人
17、中免疫力 指标在（40,50内的人数，求X的分布列和数学期望；（2）由于大剂量注射疫苗会对身体产生一定的副作用，医学部门设定：自身免疫力指标较低的成年人注射疫苗 后，其免疫力指标不应超过普通成年人群自身免疫力指标平均值的3倍.以健管中心抽取的100人作为普通人群 的样本，据此估计疫苗注射量不应超过多少个单位.附：对于一组样本数据（4凹）,（,%）,（七,笫），其回归直线夕=版+。的斜率和截距的最小二乘估计值分别为Z （七一元）（y - 7）一时b = t= ,a = y-bx .9（七-元储2_加2Z=1z=l18. （2021 双峰县第一中学高三开学考试）有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换.（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望.