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1、大题综合训练学校:姓名：班级：考号：一、解答题.在aAAC中，角A, B,。所对的边分别为a, h, c,己知宁二也上誓. a + bsinC(I)求角8的大小；(2)设 ? = 2a-c,若=百，且A,。都为锐角，求机的取值范围.1 .如图，A8C的内角A, B, C的对边分别为，b ,。， = ,且-= cos B cos A(1)求C；(2)在 aAHC 内有点 M, NCMA = 4CMB ,且 8W=3AM,直线CW 交 A8 于点 Q,求 tan/CQA.2 .请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.而恁=-6；l + cl=2m，为虚数单位；A8C的面积为3厉.在
2、ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,已知人一2, cosA= , 4(1)求 a；(2)求 sin(C1)的值. O23.“碳达峰”“碳中和”成为今年全国两会热词，被首次写入政府工作报告.碳达峰就是二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后再慢慢减下去；碳中和是指在一定时间内直接或间接产生的温室气体排放总量通过植树造林、节能减排等方式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”.202（）年9月，中国向世界宣布了 2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和的目标.某城市计划通过绿色能源（光伏、风电、核能）替代媒电能源，智慧交通，大力发展新能源汽车以及植树造林置换
3、大气中的二氧化碳实现碳中和.该城市某研究机构统计了若干汽车5年内所行驶的里程数（万千米）的频率分布直方图，如图.数/万千米（1）求。的值及汽车5年内所行驶里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（2）据“碳中和罗盘”显示：一辆汽车每年行驶1万千米的排碳量需要近200棵树用1年时间来吸收.根据频率分布直方图，该城市每一辆汽车平均需要多少棵树才能够达到“碳中和”?（3）该城市为了减少碳排量，计划大力推动新能源汽车，关于车主购买汽车时是否考虑对大气污染的因素,对300名车主进行了调查，这些车主中新能源汽车车主占!，且这些车主在购车时考虑大气污染因素的占20%, O燃油汽车车主在购车时
4、考虑大气污染因素的占10%.根据以上统计情况，补全下面2x2列联表，并回答是否有99%的把握认为购买新能源汽车与考虑大气污染有关.考虑大气污染没考虑大气污染合计新能源汽车车主燃油汽车车主合计n(ad-bc)2附：K2，fi = a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a + c)(b+d)尸（狂）0.100.0250.0100.0050.001院2.7065.0246.6357.87910.82824 . 2021年4月15日是第6个全民国家安全教育日，某社区为增强居民的国家安全意识，举行了国家安全知 识竞赛.第一轮比赛共设有四道题，规定，答对第一道题得1分，答对第二道题得2分，答对第三道题得3
5、分， 答对第四道题得6分，这4道题，任意一道答错扣2分.每答完一题，分数进行累加，当答题者累计得分低于-2 分时，停止答题，淘汰；当答题者累计得分大于等于4分时，答题结束进入下一轮；当四题答完，累计得分 低于四分，则答题结束，淘汰出局；当答完四题，累计得分不低于4分时，答题结束，进入下一轮.每位答题 者都按题号顺序进行答题，直至答题结束.假设参赛者中对第一、二、三、四题回答正确的概率依次为1g，：，且各题回答正确与否相互之间没有影响.4(I)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)川J表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求4的分布列和数学期望E(J).25 .设抛物线C:/= 2px(p 0)的焦点
6、为F,点M在抛物线。上，。为坐标原点，已知| OM卜26，IM用=3.(I)求抛物线。的方程；(2)过焦点/作直线/交。于A, B两点,P为C上异于A, 8的任意一点，直线PAPB分别与。的准线相 交于。，E两点,证明：以线段OE为直径的圆经过x轴上的两个定点.26 .椭圆 + 4 = 1(0)的右顶点为4,上顶点为8,。为坐标原点，直线的斜率为-：，z/MB的 a b2面积为1.(1)求椭圆的标准方程；(2)椭圆上有两点M, N (异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直)，证明：当aOMN的面积最大时，直线OM 与QV的斜率之积为定值.27 .已知M是椭圆C：:+=（。0）上一点，、用分别为椭圆C
7、的左、右焦点，且忻居| = 2, a b/耳M玛=2, GMF?的面积为G.（1）求椭圆C的方程；（2）直线/过椭圆。右焦点22,交该椭圆于A、8两点，A8中点为。，射线Q2 （。为坐标原点）交椭圆于P,记AAO。的面积为S1, V3PQ的面积为邑，若$2=30,求直线/的方程.28 .已知点尸是抛物线C：f=4y的焦点，是其准线/上任意一点，过点产作直线幺，号与抛物线C相切,A, B为切点,PA,依与x轴分别交于Q, R两点.（1）求焦点户的坐标，并证明直线过点”；（2）求四边形A8RQ面积的取值范围.29 .已知椭圆亲一SA,。)经过点A(2,0),且离心率为平 (1)求椭圆C的方程；(2
8、)设直线y=x-l与椭圆C相交于P，Q两点,求衣福的值.30 .已知直线4与4是分别过椭圆吟+营=15”0)的左，右焦点斗巴的两条相交但不重合的动直线与椭圆相交于点4 8, 4与椭圆相交于点C，。，。为坐标原点.直线OAOROC,。的斜率分别为心次公心,心，且满足心+原=心+3.(I)若乙与x轴重合.|4却=2百,|。必=递.试求椭圆E的方程：3(2)在(1)的条件下，记直线4)2 =乙 试问：是否存在定点w，N,使得1PM+ |PN|为定值？若存在.求出定值和定点M，N的坐标：若不存在，请说明理由.31 .已知函数/(外=夕+，其中e是自然对数的底数.(1)判断并证明口的奇偶性;(2)若关于
9、的不等式对COMerm-l在(0,+oo)上恒成立,求实数m的取值范围;(3)已知正数。满足：存在%cH,+8),使得/(“)。(一4+3%)成立，试比较-I与1的大小，并证明你 的结论.32 .设函数/(x) = lnx +七Lg(x) = ax-3.X(1 )求函数以)=f) + g(x)的单调递增区间；(2)当a = l时，记力*) = /(幻或幻，是否存在整数3使得关于x的不等式2%./心)有解？若存在，请求出2 的最小值；若不存在，请说明理由.33 .己知函数/(x) = lnt二，q=l, q田=/(勺). X(1)试判断/(力的单调性；(2)求证：可为递减数列，且q 。恒成立.3
10、4 .设函数/二万/一2ax+ (2a l)lnx,其中 atR.(I)。= 1时，求曲线y = /*)在点(1J)处的切线方程;(2)讨论函数 = /)的单调性；(3)当时，证明对Vxw(0,2),都有/(x)vO.2.已知函数/(幻=加4 +羡/一(4 + 1)阳。火(1)讨论函数的单调区间；设W(OX七)是函数g(x) = /(x) + x的两个极值点，证明：g(xJ-g(X2)?-2021对 cM恒成立.求正整数，的最大值.8 .数列qj满足：4=T，2%=a“+ + 2.(1)记。=/一% 求证：数列为等比数列;(2)记S”为数列q的前项和，求S.9 .已知数列logjj是首项为4,
11、公差为2的等差数列.(左为常数，&0且女工1).(1)求证：数列4是等比数列；(2)当我 = &时，设他=三二,求数列也的前项和。.4/r-110 .设数列乩的前项和为s.,已知3s.=4q-2 （心1且 eN+）, 7；是数列地必的前项和.（I）求数列4的通项公式；（1V ill 1 1 ion（2）求满足条件1-1- - 1-2后Y的正整数的最大值.k 12 八 h） ln / 2U21.已知各项为正数的等比数列q中，4=1，% =4.（I）求数列q的通项公式；（2）设b.=log2%,求数列出的前项和S”.11 .已知正项数列&的前项和为，4=2,当 .2时，；“：是3与S,t的等差中项
12、.（1）求数列4的通项公式；（2）记二（T）修，求数列2的前项和7；.12 .在四棱锥-ABC。中，AB/CD, A8 = 2, BC = CD = , ZABC = ZAPD = 90, PA = PD,平面 APDJ_ 平面ABCD.(I)证明：平面?A8_L平面出血；P(2)求二面角8-。一。的正弦值.13 .如图所示，在四棱锥夕-A4c。中，底面44CO为直角梯形，AB/CD, ADAB, PA1底面ABC。, 且尸A = AD=C = 2, AA = 4, H、E、产分别为 P。、AB、PC的中点.(1)求证：AH1PC；(2)求四棱锥A-AEF”的体枳.14 .如图，在 aABC
13、中，AC=3C = 2,NAC3 = 120。.。为的外心，PO_L 平面 A8C,且 P0 =娓.(1)求证：80平面PAC；(2)设平面PAOPI平面PBC = /；若点M在线段PC上运动，且丽=%定，P当直线/与平面ABM所成角取最大值时，求2的值,15 .如图，在五面体人8CQE中，平面8CQ1平面ABC, AC_L8C,EO/4C,且AC = BC = 2ED = 2,DC = DB = 6(I)求证：平面平面AAC(2)线段8c上是否存在一点F,使得二面角尸-他-8的余弦值等于三叵，若存在，求黑的值；若不存 9BC在，说明理由.八17.如图所示，直三棱柱ABC-A3cl的底面是边长
14、为2的正三角形,(/)求证：平面平面片8CG.()若二面角bAC为45。，求三棱锥尸 AC的体积.E,尸分别是BC, CG的中点.18.在四棱锥尸-A8C。中，四边形48co是边长为4的菱形，PB =(I)证明：尸C_L平面ABC。；DF 2(2)如图，取8c的中点为E,在线段OE上取一点尸使得不7 =彳,FE 3= PD=4尬,PA = 46求二面角尸-24-。的大小.E19 .数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面 推动数学建模活动的开展，某学校举行了 一次数学建模竞赛活动已知该竞赛共有60名学生参加，他们成绩的 频率分布直方图如下.频率
15、组距0.020 0.0150.0100.005 O 20 40 60 80 100 成绩 / 分（1）为了对数据进行分析，将60分以下的成绩定为不合格，60分以上（含60分）的成绩定为合格.为科学 评估该校学生数学建模水平决定利用分层抽样的方法从这60名学生中选取10人，然后从这10人中抽取4人 参加座谈会.记4为抽取的4人中，成绩不合格的人数，求J的分布列和数学期望；（2）已知这6（）名学生的数学建模竞赛成绩X服从正态分布其中可用样本平均数近似代替，可用样本方差近似代替（用一组数据的中点值作代表），若成绩在46分以上的学生均能得到奖励，本次数学 建模竞赛满分为100分，试估计此次竞赛受到奖励
16、的人数.（结果根据四舍五入保留到整数位）解题中可参考使用下列数据：P（/7-crX/ + T）0.6827, P（-2。 X 工 + 2。）40.9545,P（一 3cr X W + 3t 卜 0.9973 .20 .有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换.（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率：（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数“，求随机变量X的分布列与数学期望.21 .甲、乙两人为了响应政府节能减排的号召，决定各购置一辆纯电动汽车.经了解H前市场上销售的主流纯 电动汽车，按行驶里程数R (单
17、位：公里)可分为三类车型：.A：80WRvl50,3:1504 A250,C:RN250, 甲从A4,C三类车型中挑选，乙从用C两类车型中挑选，甲、乙二人选择各类车型的概率如表：ABC甲5Pq乙_4343若甲、乙都选C类车型的概率为6.(1)求，的值；(2)求甲、乙选择不同车型的概率；(3)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如表:车型ABC补贴金额(万元/辆)345记甲、乙两人购车所获得的财政补贴和为X,求X的分布列.22 .端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这 三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个.(1)用4表示取到的豆沙粽的个数，求4的分布列；(2)求选取的2个中至少有1个豆沙粽的概率.