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1、第?章?导数与微分我们在解决实际问题时?除了需要了解变量之间的函数关系以外?有时还需要研究变量变化快慢的程度?例如物体运动的速度?城市人口增长的速度?国民经济发展的速度?劳动生产率等等?而这些问题只有在引进导数概念以后?才能被更好地解释和说明?导数反映的是函数相对于自变量变化快慢的程度?而微分则指明当自变量有微小变化时?函数大体上变化多少?本章主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法?导数的应用将在第?章讨论?导数概念?引例?变速直线运动的速度设?表示一物体从某一时刻开始到时刻?作直线运动所经过的路程?则?是时刻?的函数?现在我们研究一下物体在?时的运动速度?当时间由?改变到?时?物体在?这
2、段时间内所经过的距离为?当物体作匀速运动时?它的速度不随时间而改变?是一个常量?它是物体在时刻?的速度?也是物体在任意时刻的速度?但是?当物体作变速运动时?它的速度随时间而确定?此时?表示时刻从?到?这一段时间内的平均速度?当?很小时?可以用?近似地表示物体在时刻?的速度?愈小?近似程度就愈好?当?时?如果极限?存在?就称此极限为物体在时刻?的瞬时速度?即?切线问题圆的切线可定义为?与曲线只有一个交点的直线?但是对于其他的曲线?用?与曲线只有一个交点的直线?作为切线的定义就不一定合适?例如?对于抛物线?在原点?处?两个坐标轴都符合上述定义?但实际上只有?轴是该抛物线在点?处的切线?图?设曲线?
3、的图形如图?所示?点?为曲线上一定点?在曲线上另取一点?点?是曲线上一动点?其位置取决于?作割线?设其倾斜角为?由图?易知此割线?的斜率为?当?时?动点?将沿曲线趋向于定点?从而割线?也随之变动而趋向于极限位置?直线?我们称直线?为曲线在定点?处的切线?显然?此时倾角?趋向于切线?的倾角?即切线?的斜率为?上面两个实际例题的具体含义是不同的?但从抽象的数量关系来看?它们的实质是一样的?都归结为计算函数改变量与自变量改变量的比在自变量改变量趋于零时的极限?这种特殊的极限称为函数的导数?导数概念定义?设函数?在点?的某邻域内有定义?给?以增量?仍在该邻域内?函数?取得相应的增量?如果?存在?则称此
4、极限值为函数?在点?处的导数?记为?或?即?此时也称函数?在点?处可导或具有导数?如果上述极限不存在?则称?在?处不可导?若?这时也称函数在?处导数为无穷大?记为?导数的定义式也可取不同的形式?如令?则有?即?式?可以改写为?导数是概括了各种各样的变化率而得出来的一个更一般性也更抽象的概念?它纯粹从数量方面刻画了变化率的本质?是函数?在以?和?为端点的区间上的平均变化率?而导数?则是函数?在?处的变化率?它反映了?随自变量的变化而变化的快慢程度?根据导数的定义?瞬时速度?曲线在?处的切线的斜率?如果函数?在开区间?内处处可导?则称函数?在区间?内可导?这时?对于区间?内的每一个确定的?值?都有
5、确定的导数值与之对应?这样就构成了一个新的函?应 用 数 学数?称为函数?的导函数?记作?或?在式?中?把?换成?即得导函数的定义式?在不致混淆的情况下?导函数也简称为导数?显然?有?利用定义求导数根据导数的定义?求导数可以分为以下三步?求增量?算比值?取极限?例?求函数?为常数?的导数?解?即?例?设?求?解?即?更一般地?对于幂函数?为常数?有?这就是幂函数的导数公式?如?时?槡?即?槡?槡?时?即?例?设?求?解?第?章?导数与微分?即?于是?类似地?有?例?求?的导数?解?令?则?于是?即?特别地?有?类似地?可以求出对数函数的导数?特别地有?以上按定义求出的几个导数公式?读者必须牢记
6、?导数的几何意义根据导数的定义及曲线切线斜率的求法?可以知道函数?在点?处的导数?表示曲线?在?处的切线斜率?见图?即?是切线的倾斜角?这就是导数的几何意义?于是?根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程?可知曲线?在点?处的切线方程为?过点?且与切线垂直的直线叫做曲线在点?处的法线?如果?法线方程为?若?或?切线与法线方程如何?请读者考虑?例?求?在?及?处的切线与法线方程?解?由导数的几何意义知?在点?处?应 用 数 学切线方程为?法线方程为?在?处?切线方程为?法线方程为?例?曲线?上哪一点处的切线与直线?平行?解?设曲线在点?处的切线与直线?平行?由题意及导数的几何意义?有?切?又?切
7、?槡?于是?槡?解得?将?代入所给曲线方程?得?所以曲线?在点?处的切线与直线?平行?可导与连续的关系定理?如果函数?在点?处可导?则?在点?处连续?证明?因为?在点?处可导?所以有?于是?即函数?在点?处连续?但其逆不真?即连续是可导的必要条件?请看下例?例?证明函数?槡?在点?处连续?但不可导?证明?槡?因为?槡?所以?槡?在?处连续?而?槡?即?在?点处不可导?这在图形中表现为曲线?槡?在原点?具有垂直于?轴的切线?如图?所示?例?讨论函数?在点?处的连续性和可导性?解?因为?所以?在点?处连续?但是?第?章?导数与微分所以?不存在?即?在点?处不可导?这事实在图形中表现为?在?点处没有
8、切线?如图?所示?图?图?例?中出现的极限?称为函数在?点处的右导数?记为?称为函数?在点?处的左导数?记为?一般地?设函数?在点?处的某邻域内有定义?如果?存在?则称之为?在点?处的右导数?记为?如果?存在?则称之为?在点?处的左导数?记为?显然?当且仅当函数在一点的左?右导数都存在且相等时?函数在该点才是可导的?习题?设?试按定义求?设?都是常数?试按定义求?证明?求下列函数的导数?槡?槡?槡?槡?一物体的运动方程为?求这物体在?秒时的速度?求曲线?在点?处的切线方程?在抛物线?上取横坐标为?及?的两点?做过这两点的割线?则该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?讨论下列函数在?处的连续性和
9、可导性?槡?槡?设?应 用 数 学为了使函数?在?处连续且可导?应取什么值?设有一根细棒?取棒的一端作为原点?棒上任意点的坐标为?于是分布在区间?上细棒的质量?是?的函数?应怎样确定细棒在点?处的线密度?对于均匀细棒来说?单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度?当物体的温度高于周围介质的温度时?物体就不断冷却?若物体的温度?与时间?的函数关系为?应怎样确定物体在时刻?的冷却速度?函数和?差?积?商的求导法则初等函数是微积分研究的主要对象?如何求其导数是个重要问题?虽然在上一节中给出了用定义求导数的一种方法?但是当函数较复杂时?由导数定义求其导数?往往较困难?在本节和下节中?将介绍导数的四则运算?
10、复合运算及基本初等函数的导数公式?借助于这些法则和公式?从而解决了初等函数的求导问题?本节讨论函数和?差?积?商的求导法则?设函数?和?在?处可导?则其和?差?积?商在?处也可导且有以下法则和推论?法则?法则?推论?为常数?推论?法则?证明?上述三个公式的证明思路都相似?现只证法则?设?因为?即?同理有?则?于是?因为?在?处可导?从而也连续?所以有?于是?即?第?章?导数与微分特别地?当?为常数?时?由法则?及?即得推论?常数因子可以提到导数符号外面?例?设?求?解?例?设?求?及?解?例?设?求?解?例?求?的导数?解?因此?同理有?例?求?的导数?解?因此?同理有?习题?推导余切函数及余
11、割函数的导数公式?求下列函数的导数?应 用 数 学?槡?槡?为常数?都是常数?槡?槡?求下列函数在给定点处的导数?求?和?求?槡?槡?求?求?和?以初速度?上抛的物体?其上升高度?与时间?的关系是?求?该物体的速度?该物体达到最高点的时刻?求抛物线?上具有水平切线的点?求曲线?上横坐标为?的点处的切线方程和法线方程?复合函数的求导法则和反函数的导数到目前为止?我们只能求一些简单函数的导数?但实际遇到的函数多为复合函数?例如?槡?槡?它们是否可导?若可导?如何求它们的导数?下面就介绍复合函数的求导法则?复合函数的求导法则法则?复合函数的求导法则?设函数?均可导?则复合函数?也可导?且?或?第?章
12、?导数与微分或?证明?设变量?有一增量?相应地变量?有增量?从而?有增量?由于?可导?所以?时?必有?于是当?时?即?当?时?上述结论仍成立?证明从略?上述法则可以推广到有限个中间变量的情形?如?则复合函数?的导数为?在复合函数求导时?关键是要弄清复合结构?认清中间变量?例?求?解?可看作由?复合而成?因此?例?求?解?可以看作由?复合而成?因此?例?求?解?可以看作由?复合而成?因此?通过上面的例子可知?运用复合函数求导法则的关键在于把复合函数分解成基本初等函数或基本初等函数的和?差?积?商?然后运用复合函数求导法则和适当的导数公式进行计算?复合函数求导后必须把引进的中间变量代换成原来的自变
13、量的式子?对复合函数分解比?应 用 数 学较熟练以后?就不必再写出中间变量?只要把中间变量所代替的式子默记在心?直接由外往里?逐层求导即可?逐层求导?指的是每次只对一个中间变量进行求导?例?求?解?把?看成中间变量?并记在心里?关于?求导也在心里运算?这样可直接写出下式?例?槡?求?解?槡?槡?槡?槡?例?槡?求?解?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡?例?求?解?例?求?槡?的导数?解?先将分母有理化?得?槡?槡?槡?槡?然后求导数?得?槡?槡?例?求下列函数的导数?槡?解?槡?第?章?导数与微分?当?时?这时?当?时?这时?因此?例?证明?证明?由于?所以?于是?即?反函数的导数法则?反函数求
14、导法则?设函数?在点?处有不等于?的导数?并且其反函数?在相应点处连续?则?存在?并且?或?证明略?例?求?解?当?时?的反函数是?而?槡?槡?所以由?式得?槡?即?槡?同样可证?槡?应 用 数 学例?求函数?的导数?解?槡?槡?例?求函数?的导数?解?基本初等函数的求导公式前面我们推导了所有基本初等数的导数公式和函数和?差?积?商的求导法则及复合函数的求导法则?从而解决了初等函数的求导问题?基本初等函数的导数公式和各种求导法则是初等函数求导运算的基础?读者必须熟练掌握?为了便于查阅?我们把这些导数公式和求导法则列于表?表?中?表?基本初等函数的导数公式?槡?槡?表?求导法则?以下同?为常数?
15、设?则复合函数?的求导法则为?或?第?章?导数与微分习题?分析下列复合函数的结构?槡?槡?求下列函数的导数?槡?槡?槡?槡槡?槡?槡?槡槡槡?槡?求下列函数在指定点处的导数值?槡?槡?槡?槡?应 用 数 学?设?可导?求下列函数的导数?曲线?上哪一点的切线平行于?轴?求这切线方程?求曲线?在?的切线方程和法线方程?一物体的运动方程为?为常数?求物体在?时的速度?质量为?的物质?在化学分解中经过时间?以后?得到的质量?与时间?的关系是?是正的常数?求这个函数的变化率?高阶导数?高阶导数的概念如果函数?的导函数?仍可导?则其导数称为原来函数?的二阶导数?记为?或?即?类似地?二阶导数?的导数?称为
16、?的三阶导数?记为?或?依此类推?的?阶导数?记为?或?它是?的?阶导数的导数?注意四阶以上的导数应记为?二阶及二阶以上的导数称为高阶导数?而?称为?的一阶导数?由此可见?求高阶导数可反复应用前面的求导方法进行计算?例?求下列函数的二阶导数?解?例?设?求?解?第?章?导数与微分例?设?求?解?例?设?求?解?同理可得?二阶导数的力学意义设物体作变速直线运动?其运动方程为?则物体运动的速度是路程?对时间?的导数?即?此时?若速度?仍是时间?的函数?我们可以求速度?对时间?的导数?用?表示?就是?在力学中?叫做物体运动的加速度?也就是说?物体运动的加速度?是路程?对时间?的二阶导数?例?已知物体
17、作变速直线运动?其运动方程为?是常数?求物体运动的加速度?解?因为?所以?例?已知自由落体运动方程?求落体的速度?及加速度?解?习题?求下列函数的二阶导数?槡?槡?槡?为常数?应 用 数 学?槡?验证函数?是常数?满足关系式?验证函数?槡?槡?满足关系式?设质点作直线运动?其运动方程给定如下?求该质点在指定时刻的速度与加速度?在?为常数?在?求下列各函数的?阶导数?隐函数及由参数方程所确定的函数的导数?隐函数的导数前面所讨论的函数?其自变量?与因变量?之间的关系?可以表示成?如?等?这种形式的函数称为显函数?以前我们所遇到的函数大都是显函数?有些函数的表达式却不是这样?例如方程?在区间?内任给
18、一个值?相应的可以确定一个?值?因此根据函数的定义?这个方程在区间?内也确定了一个?关于?的函数?由于?没有明显地用?的解析式表示?故称这样的函数为隐函数?一般地?称由方程?所确定的函数为隐函数?隐函数怎样求导呢?一种做法是从方程?中解出?成为显式?再求导?但隐函数的显化有时很困难?甚至不可能?例如方程?就很难解出?那么此时如何求导呢?方法是?把方程中?看成是?的函数?方程两边对?求导?然后解?下面举例说明?例?设方程?确定了函数?求?及?解?方程两边对?求导?注意?是?的函数?即?解得?因为?从原方程解得?代入上式得?第?章?导数与微分例?求椭圆?在点?槡?处的切线方程?解?方程两边关于?求
19、导?得?于是?槡?槡?槡?所以切线的方程为?槡?槡?即槡?槡?利用隐函数求导法?也可以证明反三角函数及对数函数的导数公式?读者不妨自证?对数求导法对数求导法?是先对函数?两边取对数?然后等式两边分别对?求导?最后解出?下面通过例题介绍这种方法?例?求?的导数?这个函数既不是幂函数?也不是指数函数?因此不能用这两种函数的导数公式求导数?形如?的函数称为幂指函数?求此类函数的导数可用对数求导法?解?两边先取自然对数?两端再关于?求导?注意?是?的函数?得?于是?例?设?槡?求?解?此题如果直接按复合函数求导法则解?是较麻烦的?现按对数求导法解?两边取自然对数?得?两边关于?求导?则?应 用 数 学
20、?槡?由以上几例可知?对数求导法适用于幂指函数及一些因子之幂的连乘积的函数?由参数方程所确定的函数的导数我们知道?一般情况下参数方程?确定了?是?的函数?在实际问题中?有时需要我们求方程?所确定的函数?对?的导数?但从方程?中消去参数?有时会很困难?因此我们要找一种直接由方程?来求导数的方法?假设方程?所确定的函数是?那么函数?可以看成是由函数?和?复合而成的?即?假定?和?都可导?且?于是根据复合函数的求导法则?就有?即?例?已知圆的参数方程为?为参数?求?解?因为?图?所以?例?以初速度?发射角为?发射炮弹?其运动方程为?求?炮弹在时刻?的速度大小与方向?如果中弹点与发射点在同一地平线上?
21、求炮弹的射程?见图?解?炮弹的水平方向与垂直方向的速度分别为?第?章?导数与微分?所以?在时刻?炮弹速度的大小为?槡?槡?槡?速度的方向就是弹道的切线方向?设?是切线的倾角?根据导数的几何意义?得?令?即?得从发射到中弹经过的时间?所以射程为?习题?求由下列方程所确定的隐函数?对?的导数?槡?求下列各函数的导数?槡?槡槡槡?槡?求下列方程所确定的隐函数的二阶导数?设方程?确定了函数?求?求下列参数方程所确定的函数的导数?为常数?应 用 数 学?已知参数方程?求?求曲线?在点?的切线方程与法线方程?函数的微分在许多实际问题中?需要计算当自变量有微小变化时函数的改变量?当函数?较复杂时?的精确计算
22、会相当麻烦?这就需要寻找求函数改变量近似值的方法?为此?我们引出微分学中的另一重要概念?微分?微分的概念?微分的概念先从一个具体问题来分析?一块正方形金属薄片?受热膨胀?其边长由?变到?此薄片面积增加了多少?设正方形的面积为?面积增加量为?则?由两部分组成?第一部分?是?的线性函数?当?时?它是?的同阶无穷小?而第二部分?当?时?是比?高阶的无穷小?即?因此?对?来说?当?很小时?可以忽略不计?而?可以作为其较好的近图?似值?见图?由于?的计算既简便又有一定的精度?我们可以把它作为?的近似值?并称其为?在?处的微分?定义?设函数?在点?的某一邻域内有定义?如果函数的增量?可表示为?其中?与?无
23、关?是比?高阶的无穷小?则称?为函数?在?处的微分?记为?即?这时也称函数?在点?处可微?于是?当?很小时?究竟是怎样一个常数?它与函数?有什么关系?我们有下面的定理?定理?函数?在点?可微的充要条件是函数?在?可导?证明?先证必要性?设函数?在?可微?则?第?章?导数与微分?因为?是与?无关的常数?所以?即?故函数?在点?处可导?且?再证充分性?设函数?在点?可导?即?由极限与无穷小的关系?有?其中?因此有?因?与?无关?根据微分的定义?在点?可微?且?该定理表明?一元函数可微与可导?实际上是同一回事?式?也可写成?通常把自变量的增量?写成?称为自变量的微分?即?于是式?又可以写成?从而有?
24、为了使表述更一般化?把点?改记为?则式?可改写成?这就是说?是函数?在点?处的导数?而这式中的?与?恰是相应的微分?由微分定义及式?可得?导数?恰是?即微分之商?因此导数也称为?微商?求导数与求微分的运算统称为微分法?例?求?在?和?处的微分?解?因为?所以?图?微分的几何意义微分具有明显的几何意义?在直角坐标系中?函数?的图像是一条曲线?如图?所示?在该曲线上取一定点?且过点?作曲线的切线?它与?轴的交角为?则该切线的斜率为?应 用 数 学?当自变量?从?处取得改变量?时?就得到曲线上另一点?于是曲线?的纵坐标?就得到相应的改变量?同时点?处的切线?的纵坐标也得到相应的改变量?且?由此可见函
25、数?的微分的几何意义就是曲线?在?点处切线之纵坐标的增量?微分的运算因为?所以计算微分便归结为计算导数?由导数的基本公式及运算法则?可以很容易推出微分公式和运算法则?表?表?列出微分的基本公式和四则运算法则?表?微分基本公式?槡?槡?表?微分四则运算法则?其中?为常数例?已知?求?解?第?章?导数与微分?微分形式的不变性设?则复合函数?的微分为?由于?所以复合函数?的微分公式也可以写成?这就是说?无论?是自变量还是中间变量?的微分?总可以写成?的形式?这一性质称为微分形式不变性?利用这一性质求复合函数的微分十分方便?例?求?解?令?则?利用微分形式不变性?得?例?求?解?把?看成中间变量?但不
26、用写出?则?例?求?解?例?在括号内填入适当的函数?使下列等式成立?解?因为?所以?即?显然?对任何常数?都有?因为?所以?即?应 用 数 学也有?微分在近似计算中的应用由微分的定义可知?当函数?在点?处?且?很小时有?于是?令?即有?利用式?可以近似计算函数在?附近的增量?利用式?可以近似计算?附近的函数值?例?有一批半径为?的球?为了提高球表面的光洁度?要镀上一层厚度为?的铜?已知铜的密度为?试估计一下每个球需用多少克铜?解?这是求体积增量近似值的问题?可应用式?因为球体积?故?即?于是?镀每只球大约需用铜?例?利用微分计算?的近似值?解?这是求函数的近似值问题?可以利用式?设函数?因为?
27、故可取?于是?弧度?所以?弧度?如果在式?中令?有?由?可推出工程上常用的几个近似公式?设?很小?槡?用弧度?用弧度?证明?仅证公式?其余类似?从略?第?章?导数与微分设?槡?则?运用式?有?槡?例?计算?槡?的近似值?解?槡?槡?槡?槡?这里?很小?于是?槡?所以?槡?习题?分别求出函数?当?时的改变量及微分?并加以比较?是否能得出结论?当?愈小时?二者愈近似?求下列各函数的微分?槡?槡?槡?正方体的棱长?如果棱长增加?求此正方体体积增加的精确值与近似值?一平面圆环形?其内半径为?宽为?求面积的近似值?证明当?很小时?下列各近似公式成立?求下列各式的近似值?槡?槡?学习指导?基本要求?理解导
28、数和微分的概念及其几何意义?会用导数?变化率?描述一些简单的实际问题?熟练掌握导数和微分的四则运算法则和基本初等函数导数公式?应 用 数 学?熟练掌握复合函数?隐函数以及由参数方程所确定函数的一阶导数求法?了解高阶导数的概念?熟练掌握初等函数的二阶导数求法?了解函数可导?可微?连续之间的关系?常见题型与解题指导?用导数的定义求函数的导数?导数是特殊形式的极限?注意区分导数定义的几种形式?用某点导数来求极限?求分段函数的导数时?除了在分段点处用导数定义求之外?其余点则仍按求导公式求得?用基本初等函数导数公式及和?差?积?商求导法则求函数的导数?复合函数求导数?复合函数求导法是函数求导的灵魂?也是
29、隐函数求导法?对数求导法?参数方程求导法等的基础?复合函数求导法的关键是?将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单函数的复合形式?在分解过程中要正确设置中间变量?即由外及里逐步地设置中间变量?使分解后的函数成为基本初等函数或简单函数?最后逐一求导?求导时要分清是对中间变量还是对自变量求导?对中间变量求导后?切记要乘以该中间变量对下一个中间变量?或自变量?的导数?当熟练掌握该方法后?函数分解过程可不必写出?对数求导数?对数求导法适合两类函数的求导?一类幂指函数?另一类是由几个初等函数经过乘?除?乘方?开方构成的?隐函数求导数?隐函数求导法是方程?两边对自变量?求导?求导过程中时刻注意?是?的函数?
30、得到一个关于?的方程?解出即得?也可以利用微分形式的不变性?对方程两边求微分?解得微商?有时此方法更方便?由参数方程所确定函数的求导数?求由参数方程?所确定函数的导数时?不必死记公式?可以先求出微分?然后作比值?即作微商?求二阶导数时?应按复合函数求导法则进行?必须分清是对哪个变量求导?求函数的微分?求函数微分可利用微分的定义?微分的运算法则?一阶微分形式不变性等?利用微分形式不变性可以不考虑变量之间是怎样的复合关系?有时更方便?微分与导数是两个不同的概念?微分是由于函数的自变量发生变化而引起的函数变化量的近似值?而导数则是函数在一点处的变化率?对于一个给定的函数来说?它的微分跟?与?都有关?
31、而导数只与?有关?因为微分具有形式不变性?所以提到微分不说明是关于哪个变量的微分?但提到导数必须说清是对哪个变量的导数?利用微分求近似值?利用公式?计算函数近似值时?关键是构建函数?及正确选取?一般要求?及?便于计算?越小?计算出函数的近似值与精确值越接近?另外?在计算三角函数的近似值时?必须换成弧度?第?章?导数与微分?求曲线的切线方程和法线方程?求切线和法线方程关键是求切线的斜率?就是曲线在切点处的导数?求函数的变化率?对于求变化率的模型?要先根据几何?物理等知识建立变量之间的函数关系式?求变化率时要注意复合函数的链式求导法?弄清是对哪个变量的导数?学习建议?本章重点是导数的概念及其几何意
32、义?求导数的方法?初等函数的一二阶导数的求法及初等函数的微分法?难点是求复合函数和隐函数的导数?要正确理解导数与微分的概念?弄清概念之间的区别与联系?可导与可微是等价的?等价的含义是?函数在某点可导必定得出在该点可微?反之?函数在某点?可微?必能推出在该点可导?但并不意味着可导与可微是同一概念?导数是函数改变量?与自变量改变量?之比的极限?即?微分是函数增量?的线性主部?即?在概念上两者有着本质的区别?复合函数求导法既是重点?又是难点?不易掌握?怎样才能达到事半功倍的效果呢?首先?必须熟记基本的导数公式?其次?对求导公式?必须弄清每一项是对哪个变量求导?如?因为?理解公式还要和微商结合起来?右
33、边的微分约分之后必须等于左边的微商?另外?要想达到求导既迅速又准确?必须多做题?但要牢记?导数是函数改变量之比的极限?不能因为有了基本初等函数的求导公式及求导法则后?就认为求导仅是利用这些公式与法则的某种运算而忘记了导数的本质?利用导数解决实际问题?本章主要有三类题型?一类几何应用?用来求切线?法线方程?其关键是求出切线的斜率?及切点的坐标?另一类是变化率模型?求变化率时?一定要弄清是对哪个变量的变化率?如速度?再一类是用微分近似计算求某个量的改变量?解决这类问题的关键是选择合适的函数关系?正确选取?及?切莫用中学数学方法求问题的准确值?否则是不符合题意的?复习题?填空题?某物体沿直线运动?其
34、运动规律为?则在时间间隔?内?物体经过的路程?平均速度?在?时刻的速度?设一非均匀细棒的质量为?为常数?则该细棒长度?由?变到?时?细棒的平均线密度是?在?时?细棒的线密度是?若函数?在点?的导数?则曲线?在?处有的切线?若?为无穷大?则曲线?在点?处有?应 用 数 学的切线?过曲线?上点?和点?所引割线的斜率是?过?点的切线斜率是?过?点的切线方程是?法线方程是?设函数?是线性函数?已知?则该函数的导数?若函数?可导?为自然数?则?若函数?在点?的导数?则函数增量的线性主部是?设函数?而?又是?的可微函数?则?槡?槡?选择题?将下列各题的正确答案的代号写在题后的括号内?如果函数?在点?可导?
35、则?若?则?槡?若函数?在点?连续?则下面说法中正确的是?函数?在点?可导?函数?在点?不可导?函数?在点?不一定可导?不存在?函数?在点?连续是函数在该点可导的?充分条件但不是必要条件?必要条件但不是充分条件?充分必要条件?既不是充分条件?也不是必要条件?设函数?在点?可导?且?则曲线?在点?处切线的倾斜角是?锐角?钝角?曲线?的平行于直线?的切线方程是?若?且?可导?则?为?第?章?导数与微分?若函数?是?的线性函数?下列等式中成立的是?设函数?则函数在点?处?连续且可导?连续且可微?连续不可导?不连续不可微?半径为?的金属圆片?加热后?半径伸长?则面积?的微分?是?求下列函数的导数?槡?
36、为常数?槡?槡?槡?槡?槡?槡?槡槡?求下列方程所确定的隐函数?的导数?为常数?求下列参数方程所确定的函数的导数?为常数?已知?求?已知?求?抛物线?在何处的切线平行于直线?在何处的切线垂直于直线?设?的?阶导数?求?的?阶导数?求下列函数的高阶导数?求?求?应 用 数 学?求?求?与?设?证明?满足下式?应用微分计算下面各数的近似值?槡?一金属圆板因加热膨胀?当其半径为?时?半径的增长率为?试求此时该圆板面积的增长速度?已知函数?求?由?变到?时?函数的增量与微分?一金属圆管?它的内半径为?厚度为?当?很小时?求圆管截面积的近似值?球壳外直径为?厚度为?求球壳体积的近似值?精确到?已知函数?在点?处可导?求?的值?证明双曲线?上任一点的切线与两坐标轴所围三角形的面积是常数?第?章?导数与微分