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1、数字信号分析理论与实践第四单元：信号的频域分析本节将要学习：1.频谱分析的概念2.周期信号的傅立叶级数分解3.数字信号的频谱计算方法(DFT与FFT)4.FFT谱中的能量泄露与栅栏效应5.非周期信号的频谱计算方法6.应用实践声音信号频谱分析仪设计第四单元：信号的频域分析谱的概念最早是从光学领域提出，当一束白光通过三棱镜，会按按光的波长，分解为赤橙黄绿青蓝紫等色彩，称之为光谱。荧光灯的光谱白炽灯的光谱三棱镜4.1概述第四单元：信号的频域分析频谱分析是借助于傅里叶变换，将信号转换到频率域，揭示出构成信号的不同频率成分，各频率分量的贡献曲线就称为信号的频谱。时时间间幅值幅值频频率率波形波形频谱频谱傅
2、里叶变换从数学角度看，傅里叶变换是将任意信号分解为一组简单的正弦波和余弦波信号的合。从数学角度看，傅里叶变换是将任意信号分解为一组简单的正弦波和余弦波信号的合。第四单元：信号的频域分析第四单元：信号的频域分析时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况从波形中很难快速看出频率变化。另外，除单频分量外，很难揭示信号的频率组成和各频率分量大小。第四单元：信号的频域分析 下图是发动机振动信号波形和频谱，从信号波形很难发现什么，但从信号频谱，则可以一眼看出主要的振动分量的频率成分，从而进一步确定振动源。波形波形频谱频谱第四单元：信号的频域分析频谱分析的优点一：复杂信号分析波形频谱第四单元：信号的频域分析
3、频谱分析的有点二：抗干扰能力强波形频谱+第四单元：信号的频域分析频谱分析的优点三：有明确的物理意义音叉声音信号琴弦声音信号旋转机械振动信号交流电信号第四单元：信号的频域分析4.2周期信号的频谱分析周期信号是经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件：,.4,3,2,1);(x)(nnTttx其中T称为信号的周期。其倒数F=1/T，称为信号的频率。简单周期信号复杂周期信号第四单元：信号的频域分析F0XY1y1x(a)1aF0AB1b(b)1.向量的正交分解与合成yyxxF11作用：X-Y工作台可以实现到平面上任何一点的运动。第四单元：信号的频域分析ijijttjittjijiKdttftfjidt
4、tftf,)()(,0)()(1212信号的正交函数分解与合成:212211),(.)()()(ttttfctfctfctxnn正交函数集定义2.信号的正交分解与合成作用：用正交函数集可以合成任何信号。第四单元：信号的频域分析,.5,4,3,2,1),2sin(),2cos(00itiftif3.三角正交函数集(F0=1/T);(x)(nTttx0f02 f03f)2sin(0tf)22sin(0tf)32sin(0tf)32cos(0tf)22cos(0tf)2cos(0tf第四单元：信号的频域分析正交特性：三角函数集中任意两个函数相乘、积分值为零。ijijttjittjijiKdttftf
5、jidttftf,)()(,0)()(12120)3(sin*)2(sin-00dttftf0)3(cos*)2(cos-00dttftf第四单元：信号的频域分析f0 2f0 3f0 周期周期信信号号 f0=1/T时时间间幅值幅值频频率率);(x)(nTttx周期信号：周期信号：).2sin(),2cos(00tiftif傅里叶级数第四单元：信号的频域分析),0()(tWalsha),1()(tWalshb),2()(tWalshc),3()(tWalshd4.沃尔什正交函数集0t11第四单元：信号的频域分析WalshHadamard 变换变换:Walsh谱物理意义不明确第四单元：信号的频域分
6、析)2sinf2cos()(01020tfnbtnatxnnna,.)3,2,1(n2/2/0)(2TTdttxTa,.3,2,1,)2cos()(22/2/0ndttnftxTaTTn,.3,2,1,)2sin()(22/2/0ndttnftxTbTTn傅里叶级数F0XY1 y1 x(a)T:信号周期信号周期 f0=1/T :基频基频5）周期信号的三角函数分解和合成（傅立叶级数展开）第四单元：信号的频域分析)2sinf2cos()(01020tfnbtnatxnnna,.)3,2,1(n102)f2cos()(0nnnatnAtx写为：三角函数辅助角公式三角函数辅助角公式22Annnbann
7、nabarctgBBABinAarctg=)sin(sinAs22第四单元：信号的频域分析例：方波信号的傅里叶级数分解Aty)(2/0Tt Aty)(02/tT.)5sin(54)3sin(34)sin(4)(1tAtAtAtxn0)(12/2/0TTdttxTa0)f2cos()(22/2/0TTndttntxTanAdttntxTbTTn/4)f2sin()(22/2/0.)7,5,3,1(n第四单元：信号的频域分析)5sin(51)3sin(31)sin(4)(1tttAtxn展开合成第四单元：信号的频域分析仿真实验：方波信号的合成)5sin(51)3sin(31)sin(4)(1ttt
8、Atxn第四单元：信号的频域分析N=1024;T=2;x=linspace(0,T,N);y1=sin(2*3.14*x);subplot(4,1,1);plot(x,y1);y2=y1+1/3*sin(3*2*3.14*x);subplot(4,1,2);plot(x,y2);y3=y2+1/5*sin(5*2*3.14*x);subplot(4,1,3);plot(x,y3);y4=y3+1/7*sin(7*2*3.14*x);subplot(4,1,4);plot(x,y4);Matlab:第四单元：信号的频域分析例：锯齿波信号的合成与分解,.3,2,1sin14)(10ntnnAtXn
9、N=1024;T=4;x=linspace(0,T,N);y=sin(2*3.14*x)+1/2*sin(2*2*3.14*x)+1/3*sin(3*2*3.14*x)+1/4*sin(4*2*3.14*x)+1/5*sin(5*2*3.14*x)+1/6*sin(6*2*3.14*x);plot(x,y);第四单元：信号的频域分析6.频谱图工程上习惯用图形方式来表示信号各频率成分的能量大小情况，称为频谱图。频谱波形时时间间频频率率第四单元：信号的频域分析)sincos()(01020tnbtnatxnnnaf510203002-24-4naf510203002-24-4nb实频谱幅频谱f51
10、0203023140nAf51020300n功率谱f51020308160nA2102)f2cos(0nnnatnA虚频谱相频谱第四单元：信号的频域分析例：方波信号的频谱图绘制Aty)(2/0Tt Aty)(02/tT实频-虚频谱ff03f05f07f002-24-4nanbff03f05f07f002-24-4)5sin(51)3sin(31)sin(4)(1tttAtxn第四单元：信号的频域分析 周期信号频谱图的特点a)离散性：每条谱线代表一个频率分量；b)谐波性：谱线出现在基波的整数信频率上c)收敛性：谐波次数越高，谐波分量越小。锯齿波锯齿波幅值谱第四单元：信号的频域分析7.用快速傅里叶
11、变换(FFT)计算频谱对A/D采样后的数字信号，无法给出函数表达式。因此，也很难推导出其傅里叶级数展开式，但可以用数字积分方法求出傅里叶级数。)2sinf2cos()(01020tfnbtnatxnnna,.)3,2,1(n,.3,2,1,)2cos()(22/2/nndttftxTaTTn,.3,2,1,)2sin()(22/2/nndttftxTbTTn,.3,2,1),2cos()(1-N0ntnftnxann,.3,2,1),2sin()(b1-N0ntnftnxnn傅里叶级数三角函数展开式第四单元：信号的频域分析欧拉公式)(2)2sin()(21)2cos(2222ftjftjftj
12、ftjeejfteeft；1220)(00ntfjnntfnneCeCCtxtdtetxTCtfnTTn022/2/)(1ntfnneC02,.2,1,0nknNNkWkXNnx10111NjNew2离散傅里叶变换公式(复指数形式)离散傅里叶变换公式(复指数形式)knNNnWnxkX1011第四单元：信号的频域分析Matlab中的傅里叶变换(FFT)函数,.3,2,1,Ynjbannn注意：数据长度n必须是2的幂方，256,512,1024,2048,.)2sinf2cos()(01020tfnbtnatxnnna第四单元：信号的频域分析Fs=5120;N=1024;dt=1.0/5120.0
13、;T=dt*N;t=linspace(0,T,N);x=10*sin(2*3.14*100*t)+10/3*sin(3*2*3.14*100*t);plot(t,x);y=fft(x,N);a=real(y);b=imag(y);figure;subplot(2,1,1);plot(a);subplot(2,1,2);plot(b);A1=abs(y);Q1=angle(y)*180/pi;figure;subplot(2,1,1);plot(A1);subplot(2,1,2);plot(Q1);例程：第四单元：信号的频域分析f=linspace(0,Fs/2,N/2);A1=abs(y)/
14、(N/2);Q1=angle(y)*180/pi;figure;subplot(2,1,1);plot(A1);plot(f,A1(1:N/2);subplot(2,1,2);plot(f,Q1(1:N/2);FFT谱需注意的问题：1.不显示负频率部分，2.X坐标换为频率，3.幅值量纲还原第四单元：信号的频域分析功率谱和对数功率谱分贝：dB=20log(P)Fs=5120;N=1024;dt=1.0/5120.0;T=dt*N;t=linspace(0,T,N);x=10*sin(2*3.14*100*t)+sin(3*2*3.14*100*t);y=fft(x,N);f=linspace(0,Fs/2,N/2);A1=abs(y)/(N/2);A2=A1.2;P2=20*log10(A2);subplot(2,1,1);plot(f,A2(1:N/2);subplot(2,1,2);plot(f,P2(1:N/2);功率谱对数功率谱第四单元：信号的频域分析方波信号的功率谱对数功率谱第四单元：信号的频域分析作业：1.用11025Hz的采样频率分别对幅值为10、频率为200Hz的正弦波、方波、三角波信号进行采样和1024点的FFT变换，并分别绘制出它们的信号波形和幅值谱。