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1、高考冲刺概率与统计编稿：孙永钊审稿：张林娟【高考展望】在近五年高考中，新课程试卷每年都有一道概率统计解答题,并且这五年的命题趋势是一道概率统计解 答题逐步增加到一道客观题和一道解答题;从分值上看，从12分提高到17分油其是实施新课标考试的省份, 增加到两道客观题和一道解答题.值得一提的是此累试题表达了考试中心提出的“突出应用能力考查”以 及“突出新增加内容的教学价值和应用功能”的指导思想，在命题时，提高了分值，提高了难度，并设置了灵活 的题目情境,如测试成绩、串联并联系统、计算机上网、产品合格率、温度调节等，所以在概率统计复习中 要注意全面复习，加强基础，注重应用.就考查内容而言用概率定义（除
2、法）或基本领件求事件（加法、减法、乘法）概率，常以小题形式出现；随 机变量取值一取每一个值的概率一列分布列一求期望方差常以大题形式出现.概率与统计还将在选择与填 空中出现，可能与实际背景及几何题材有关.而对于统.计方面的考查，主要是考查分层抽样、系统抽样的 有关计算或三种抽样方法的区别以及茎叶图，频率分布表，频率分步直方图的识图及运用.考查概率与统 计知识点的高考试题，既有自身概念的思想表达，如：样本估计总体的思想、假设检验的思想；又有必然 与或然思想、函数与方程思想和数形结合思想.【知识升华】1 .随机抽样（1）简单随机抽样；（2）分层抽样；（3）系统抽样.2 .统计图表频率分布表、频率分布
3、直方图、茎叶图.3 .样本特征数（1）众数；（2）中位数；（3）平均数；（4）方差；（5）标准差.4 .变量的相关性与最小二乘法5 .独立性检验对于值域分别是即，X2和巾，2的分类变量X和K其样本频数列联表是：yi2总计XIababX2cdcd总计q+cbdn那么K2 =(其中n=a+b+c+d为样本容量).(a + b)(c + d)(a + c)(Z? + d)6.概率概念的统计定义；（1）求直方图中X的值.（2）假设将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨 的居民数X的分布列和数学期望.【思路点拨】利用矩形面积之和等于1求x的值；理解问题有放
4、回任取3位居民，其概率分布符合二 项分布，利用公式计算分布列和数学期望.【解析】（1）依题意及频率分布直方图知，0.02 + 0.1 + x+0.37 + 0.39 = l,解得 = 0.12（2）由题意知,X B（3, 0. 1）.因此。（*=0）=。卜0.93=0.729,.p（x = 1） = G X0. 1 义0.92 = 0.243， P（x =2） = C; x0.12x0.9 = 0.027 , P（X = 3） = C； x0.F = o.OO 1X0123P0. 7290. 2430. 0270. 001【总结升华】（1）不清楚矩形面积表示的就是频率；（2）从频率分布直方图读
5、取数据时，不注意组距及纵 坐标是频率除以组距，而各长方形面积和为1； （3）不记得二项分布及期望的计算公式.举一反三：【变式1】某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大说明质量越好，且质量指标值大于或等 于102的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了 100件这种产品， 并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表指标值 分组90,94)94,98)98,102)102,106)106,110频数82042228指标值 分组90,94)94,98)98,102)102,106)106,110频数412423210
6、1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为-21 94,产1 2,940/102,4J2102.从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望.（以试验结 果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）22+ R【解析】(1)由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为五-由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为卫W100P(XP(XP(X即X的分布列为X-224PX的数学期望E(X)=-2X X X【变式2高清视频：概率与统计ID:36968
7、3例2】以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙 组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示。(I )如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；(H)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和 数学期望。+ + (%)，其中 X 为1，X2 , %”的平均数)【解析】(1)当X=8时: 由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8, 8, 9, 10,所以平均数为方差为(II)当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9, 9, 11, 11；乙组同学的植树棵数是: 9, 8, 9, 10o分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4
8、x4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17, 18, 19, 20, 21事件“丫=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出2 I的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P (丫=17).16 8同理可得P(Y = 18) = -; P(Y = 19) = -; P(Y = 20) = -;P(K = 21)= 4448所以随机变量Y的分布列为:Y1718192021PEY=17xP ( Y=17 ) +18xP ( Y=18 ) +19xP ( Y=19 ) +20xP ( Y=20 ) +21 xP ( Y=21 )= 17x-+18x + 19x +20
9、x +21x-84448二19类型五、回归分析及独立性检验例12.一个车间为了规定工时定额，须要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 10次实验，测得的数据如下:零件个数x（个）102030405060708090100加工时间y （分）626875818995102108115122（I） y与x是否具有线性相关关系？（2）如果y与x具有线性相关关系，求回归直线方程.（3）并据此估计加工200个零件所用的时间为多少？【思路点拨】画散点图，观察所给的数据列成的点是否在一条直线的附近；利用样本相关系数的计算公式对其进行相关性检验；利用公式计算出5,再由6-蜃求出力，写出回归直线方程？=日工+ 3
10、.【解析】X10+20+30+40+50+60+70+80 + 90+1001055 9 y62 + 68 + 75 + 81 + 89 + 95 + 102+108+115 + 122 = 91.71010101010 玉2 =38500，Zy； =87777 ,工龙，=55950 于是：rioT（）xyi=l55950-10x55x91.7工 0.9998n-2的相关系数临界值= 0-632 ,由38500-10x552）（87777-10x91.72）r公）5知，y与x具有线性相关关系.A利用上表可得利用上表可得A 一 A 一。二），一小 9 L7 - 0.668 x 55 = 54.9
11、6（2）设所求的回归直线方程为y = + ，同时,a = .-W = 55950-10x55x91.7 0668,10（，23850010x552A即所求的回归直线方程为y = 0.668% + 54.96.（III）当x = 200时、y的估计值y = 0.668x200 + 54.96 = 188.56 4 189 ,故加工200个零件时所用的 工时约为189个.【总结升华】解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式；（2）题目中假设x与y呈线性相关关系，就无须进行相关性检验.否那么，应先进行相关性检验.因为假设两 个变量不具备相关关系，或者说它们之间相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无
12、意义的，而且用其 估计和预测的量也是不可信的；（3）此题对计算能力的要求较高，假设计算不慎，可导致对线性相关性的判断有误.举一反三：【变式】（1）以下是某地到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：应的方程,房屋面积(m2)11511080135105销售价格(万元)22(I)画出数据对散点图;(II)求线性回归并在散点图中加上回归直线;(III)据(H)的结果估计当房屋面积为150小时的销售价格;为了比拟注射A, B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地 分成两组，每组100只，其中一组注射药物A,另一组注射药物B.(I)甲、乙是200只家兔中的2只，
13、求甲、乙分在不同组的概率；(II)下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表表2：注射药物8后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积频数30402010疱疹面积频数1025203015(i )并比的中完成下面频率分布直方图，较注射两种药物后疱疹面积位数大小；(ii)完成下面2X “注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.表3：疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于70 7nm之合计注射药物A注射药物B合计附：K?=Mad-bcf(a + h)(c + d)(a + c)(Z? + d)【总结升华】统计案例(回归分析
14、、独立性检验)是新增内容，在全国的高考中并没有涉及到，但在一 些省市的统考中已有所表达，随着新课标的实施，在以后的高考中会有考的内容.统计案例主要考查回归 直线方程、独立性检验.通常用样本的平均数与标准差、方差来估计总体的平均数与标准差、方差；平均数反映了数据取值的 平均水平，标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的分散程度越 大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的分散程度越小，越稳定.在解决具体问题时，要先进行相关性检验（有时可绘制散点图来判断），通过检验确认两个变量是否具有线性相关关系，假设它们之间具有相关关系，再求回归方程.对于相关系数r来说,|r|Wl,
15、并且|r|越接近于1,两个变量的线性相关程度越强;|r|越接近于0,两个变量的线性相关程度越弱.当卜|大于0.75时，我们认为x与Y有很强的线性相关关系，这时求回归直线方程有必要也有意义，否那么，在|r|0.75时，寻找回归直线方程就没有意义.如果低于左2.706,就认为没有充分的证据说明变量x和y是有关系.统计与统计案例中，很多数据都是图、表的形式给出，要善于看图、作图、理解图所传递的信息，对数据的精确处理要有较强的计算能力.因为这几年的高考应用题基本都落实在概率统计的内容上，另一方面，这局部内容本身和实际联系较多，所以我们在复习中加强培养学生的应用意识.类型六、概率与统计的综合应用例13.
16、 （2016海淀区模拟）某家电专卖店试销尔B、。三种新型空调，销售情况如下表所示:第一周第二周第三周第四周第五周A型数量（台）1110153型数量（台）101213C型数量（台）15812（I ）求4型空调前三周的平均周销售量;（II）根据C型空调连续3周销售情况，预估C型空调连续5周的平均周销量为10台.请问：当C型空调周销售量的方差最小时，求。小的值;，工的（注:方差/二（Xj X）2 +（X2 X）2 4F（Xn X）2,其中不为国,X?n平均数）（1TI）为跟踪调查空调的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第二周和第三周售出的空调中分别随机抽取一台，求抽取的两台空调中A型空调台数X的
17、分布列和数学期望.【解析】（D A型空调前三周的平均销售量（II）因为。型空调平均周销售量为10台,所以 0+。5 =10x5 15 8 12 = 159 115 9 91化简得到 2 =-2(c4-)2+ 5因为IN,所以当cz=7或g=8时，/取得最小值所以当或时，2取得最小值1%=81% =7(III)依题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,P(X=Q) = = 30 40 1210 25 20 15 11P(X=1) =P(X=1) =+=30 40 30 40 24尸2)嘿畀,随机变量X的分布列为1724随机变量 X 的期望E(X) = 0x + x + 2x- =12248【总结
18、升华】在高考解答题中，常常是将概率与统计内容与其它知识内容交汇在一起进行考查，主要考查 综合理解能力计算能力.此类问题一般都同时涉及多个知识点，它们相互交织在一起，难度较大，解答此 类题时，要在透彻理解各类事件、各个知识内容的基础上，准确把题目含义，将问题进行分解，特别是要 注意挖掘题目中的隐含条件.概率与方程、不等式、函数等知识的综合应用题，通过对课本原题进行改编, 对基础知识的重新组合、变式和拓展，解题时，应注意各知识要点的联系及列举法、分类讨论与正难那么反 思想方法运用.举一反三：【变式1】(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)用此次测试结果估计全市毕业生的情况.假设从今年的高中毕业
19、生中随机抽取两名，记X表示两人中 成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望； 【解析】7工此次测试总人数为 =50(人).0.14，X 50=36(人).1477(2)X=0,2,此次测试中成绩不合格的概率为一二一，X3(2,).50 252518 , 324尸。尸(石)、公k/7、/18、 252P(X= 1)=C； ()()=-25 256257 9P(X=2)= ()2 =49625所求分布列为X012P324 .252 .4914e(x)=oxz + ix +2X =62562562525设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，那么基本领件满足的区域为 f8x10,事件A “甲比乙投掷
20、远的概率”满足9.5y,如下图.1 1 1x x 由几何概型得P(A)= 2 2 2 =1x216【变式2】甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的假设干次预赛成绩中随 机抽取8次.记录如下：甲：82 81 79 78 95 88 93 84乙：92 95 80 75 83 80 90 85(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图，指出学生乙成绩的中位数；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位学生参加合适？请 说明理由；(3)假设将频率视为概率，对学生甲在今后的三次数学竞赛成绩进行预测，记这三次成绩中高于80分的 次数为X,求X的分布列及数
21、学期望E(X).【解析】(1)茎叶图如下：学生乙成绩的中位数为84.(2)派甲参加比拟合适，理由如下：- 1元甲=耳(70X2 + 80X4+90X2+9 + 8 + 8+4+2+1+5 + 3) = 85, 1元乙= (70X 1+80X4+90X3 + 5 + 3 + 5 + 2+5) = 85,9 1s, = 一(78 85)2+(79 85)2+(8185+(82 85)2+(84 85)2+(88 85+(93 85+(95 85)28(75-85)2 + (80 85 + (80-85)2 + (83-85)2 + (85 -85)2+(90 -85)2 + (92 -85)2 +
22、 (95 85)2=41.娱甲乙，s:s3 甲的成绩比拟稳定，派甲参加比拟合适.(3)记“甲同学在一次数学竞赛中成绩高于80分”为事件4nI 6 3那么 P(A)=_ = _, 8 4随机变量X的可能取值为0,1,2,3，3且X服从5(3, J,.P(X= k)=(1 一广及，左=0,1,2,3,X的分布列为：X0123PI92727939*夕(给=0 X +1 X + 2 X + 3 X = = np= 3 X =.64646464444(2)两个随机事件之间的关系：包含关系；相等关系；和事件；积事件；互斥事件；(3)概率的基本性质：任何事件A的概率都在0,1内；如果事件A, B互斥,那么P
23、(A+3) =尸(A) +P;事件A与它的对立事件了的概率满足P(A)+P(A)=1；(4)古典概型：特征是基本领件发生等可能性和基本领件的个数有限性；(5)几何概型：特征是基本领件个数的无限性、每个基本领件出现的等可能性.1.离散型随机变量的 分布列它具有两条基本性质：(l)p20(i=12 (2)pi+p2TFp=l,即总概率为 1；(3)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它在这个范围内各个值的概率之和.2 .超几何分布列3 .条件概率和独立事件、二项分布(1)条件概率；(2)事件的独立性；(3)独立重复实验和二项分布：此时称随机变量X服从二项分布，记作Xp),并称p为成功概 率.4
24、 .离散型随机变量的均值和方差(1)均值：性质ay)=mX+0) = QE(X)+b.假设X服从两点分布，那么氏X)=p.假设X服从二项分布，即X Bg p),那么 E(X) = p.(2)方差：性质。(*+。)=420(为.假设X服从两点分布，那么O(X)=p(lp).假设Xp),那么0(%) = np(1p).5 .正态分布(1)概念；(2)正态曲线的六个特点.【典型例题】类型一、古典概型与几何概型例1.(1)甲盒中有红，黑，白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄，黑，白三种颜色的球各2个，从两 个盒子中各取1个球.那么取出的两个球是不同颜色的概率为.(2)在等腰放AABC的斜边A3取一点P,
25、那么APvAC的概率为.【思路点拨】(1)抓住每个基本领件等可能性，建立适当的古典概率模型.(2)几何概型主要有长度、角度、面积、体积等度量值之比.【解析】(1)在每个盒中不同颜色的球的个数相同，从颜色考虑，在甲盒中取球有3种可能，在乙盒中取7球有3种可能，总共有3x3 = 9种可能，两个球颜色不同有7种可能，不同颜色的概率为9(2)点P在AB上任何一个位置的可能性相等，且=那么APvAC的概率为生=正.2AB 2【总结升华】构建概率模型时不能忽略每个基本领件的等可能性要求。举一反三：【变式】甲、乙两人参加普法知识问答，共有10个不同的题目，其中选择题6个、判断题4个，甲、 乙两人依次各抽一题
26、(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率是多少？【答案】甲、乙两人依次抽一题的结果有Gc；个(1)甲抽到选择题、乙抽到判断题的结果有个,ClCl 4 所求概率p(A) = =。10。915(2)法一:法一:因为甲，乙二人都没有抽到选择题的概率是C；oCi1191 3故甲,故甲,法二:乙二人中至少有一人抽到的概率为p = 1 一 _ = 1- = C；0C*15 15甲，乙二人中至少有一人抽到选择题包含着三种情况：clcl甲，乙二人都抽到选择题，其概率为cl CJoclc甲抽到选择题，乙抽到判断题，其概率为c；c；cxcx甲抽到判断题，乙抽到选择题
27、，其概率为三种情况是三个互斥事件,01 G G c1 c1 13故甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率p=乎4+4+字= c!o4 CoG c；oc 15例2.设函数-2(6Z-1)x + /?2的定义域为D.(1)q 1,2,3,4,1,2,3,求使。=1的概率;(2)4/e0,4，求使。=1的概率.【思路点拨】函数定义域为R,说明其判别式不大于零，第一问中(，取值个数有限，是古典概型，第 二问中3,。)的取值个数无限，是几何概型，把(，份看做坐标平面上的点，就构造出了基本领件所在的面, 只要算出随机事件在这个面内占有的面积即可.【解析】123,4, 1,2,3,(，。)的所有可能为：(1)
28、，(1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (4,2), (4,3),共计12种.而 Z)=R,有 4(。- 1)24Z?2W0,即|q那么满足 D=R 的3,力的所有可能为：(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3), (4,3),93共计9种，其概率为P=Z =巳12 4(2) V a e 0,4J，咐0,3,工所有的点3，与构成的区域的面积= 12,而。=R,有 4(- 1)2即|q满足a0,4, 附0,3, |al|Wb的点(m b)构成
29、的区域的面积为7,7故所求概率P=一12举一反三：2x+y-40,x+y-30, 05235A.B.-C.D.771414【答案】B7【解析】如图，不等式组所表示的平面区域的面积是一，在这个区域中带形区域的面积是1,故 22所求的概率是一7类型二、等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率例3.袋中装着标有数字1, 2, 3, 4, 5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；(2)计分介于20分到40分之间的概率.【思路点拨】互斥事件的概率加法公式与对立事件
30、的概率计算._2【解析】1)解法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ,那么 P(A)=解法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为8,那么事件A和事件8是互斥事件，因为P(8) =数字相同”的事件记为8,那么事件A和事件8是互斥事件，因为P(8) =Cc；c；所以P(A) = 1-P(B) = 1-1 = |.(2) “一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C,即最大数字为3或4,那么最大数字为3时：月二0；尸0； =2;品)15最大数字为4时：B = c；.c； + c；.=jC：O10【总结升华
31、】在计算互斥事件的概率时分类不清；不能利用对立事件进行快速计算.举一反三：【变式】盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球.规定取出1个红色球得1 分，取出1个白色球得。分，取出1个黑色球得-1分.现从盒内任取3个球.(1)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(2)求取出的3个球中至少两个球颜色相同的概率.例4.袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，(1)作不放回抽样，求第二次才取到黄色球的概率.(2)作有放回抽样，求第二次才取到黄色球的概率.【思路点拨】“第二次才取到黄色球”是指“第一次取到白色球”与“第二次取到黄色球”同时发生.【解析
32、】记第一次取到白球”为事件A, “第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,4 6 4(1 ) P(C) = P(A)P(B/A) = -x- = .10 9 15【总结升华】容易混淆P(AB)与P(B/A)的含义，P(A.B)表示在样本空间S中,A与B同时发生的概率；而 P(B/A)表示在缩减的样本空间Sa中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率.举一反三：【变式】甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐 中随机取出一球放入乙罐，分别以A，4和4表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐 中随机取出一球，以B表示由乙
33、罐取出的球是红球的事件，那么以下结论中正确的选项是 (写出所 有正确结论的编号)2SP(B) = ；p(bia) = ；事件B与事件A相互独立；4,4,A是两两互斥的事件;1 1P(B)的值不能确定，因为它与4,4,4中哪一个发生有关.例5.在五个数字1,2 3,4,5中，假设随机取出三个数字，那么剩下两个数字都是奇数的概率是 (结果用数值表示).【解析】提示:=提=3=3C； 5x4 10,【总结升华】此题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.户口例6.右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，-)-EZI就能接收到信号，否那么就不能接收到信号.假设将图中左端
34、的六个接线点随机地平均.口分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的-匚 两个接线点用导线连接，那么这五个接收器能同时接收到信号的概率是.(A) (B) (C) (D) 45361515【解析】由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有空遗=15种分法，同理右端的六个接线点也 8随机地平均分成三组有空遗=15种分法；要五个接收器能同时接收到信号，那么需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有8=120种，所求的概率是尸=9=旦，所以选D. 225
35、 15【总结升华】此题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，并进一步求得概率问题，其中隐含着平均分组问题.类型三、随机变量的分布列、期望与方差例7 (2016渭南一模)一个盒子里装有6张卡片，其中红色卡片4张，编号分别为3, 6, 8, 9；蓝色卡片2张，编号分别为6, 8,从盒子中任取3张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(I )求取出的3张卡片中，含有编号为6的卡片的概率；(II)记X为取到的卡片中红色卡片的张数，求X的分布列和数学期望.【解析】(I )取出的3张卡片中，含有编号为6的卡片的概率：- P+C 1 4 C 2 2 C(II)由题意取到红色卡片的张数X的可能取值
36、为1, 2, 3,C 1 C 2P (X=l)c3 5%P (X=2)P (X=2)P (X=3)AX的分布列为:X123PEX=ix+2xt+3X、=2555【变式】(2016重庆模拟)设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为2,假设 3他连续两发命中或连续两发不中那么停止射击，否那么将子弹打完.(I )求他前两发子弹只命中一发的概率；(II)求他所耗用的子弹数X的分布列与期望.【解析】(I ) 某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为2,3他前两发子弹只命中一发的概率：(1-) + (1-) X2=43 1(II)由得他所耗用的子弹数X的可能取值为
37、2, 3, 4, 5,P (X=2) = (2) 2+ (1) 2=3 339P (x=3) =lx (2) 2jx (1) NZ,33392 12 12 1三 xWx4 义 x4 X3 3 3 3 3 3 32_8 丁瓦p(x=4)ixix 24xix 0)/，P(X=5)=1X-|X1X2X|X-|X (1AX的分布列为:X2345P EX = 2 x 4+3 x+4 X 袅5 X y y oi824 81- 81 ,例8.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为、n, 和的分布列如下:012n012PP那么比拟两名工人的技术水平的高低为.【思路点拨】一是要
38、比拟两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品 数的波动情况，即方差值的大小.【解析】工人甲生产出次品数的期望和方差分别为：E = 0x + lx + 2x= 0.7， 101010)6919 3Oe = (0 0.7)2 X一 + (1 0.7)2 X一 + (2 0.7)2 X= 0.891 ；101010工人乙生产出次品数n的期望和方差分别为：537532由E=En知I,两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但DDn,可见乙的技术比拟稳定.【总结升华】期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.类型四、抽样方法与总体分
39、布的估计例9.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参 加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时， 将学生按一、二、三年级依次统一编号为1, 2,，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1, 2, 270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有以下四种情况：7, 34, 61, 88, 115, 142, 169, 196, 223, 250；5, 9, 100, 107, 111, 121, 180, 195, 200, 265；11, 38, 65, 92, 119, 146,
40、173, 200, 227, 254；30, 57, 84, 111, 138, 165, 192, 219, 246, 270；关于上述样本的以下结论中，正确的选项是（）A.、都不能为系统抽样B.、都不能为分层抽样C.、都可能为系统抽样D.、都可能为分层抽样【思路点拨】抓住分层抽样中“按比例抽取”的本质；抓住系统抽样中“按相同的间隔规律抽取样本”的 特点；【解析】对于系统抽样应在 1-27, 28-54, 55-81, 82-108, 109-135, 136-162, 163-189, 190-216, 217-243, 244-270中各抽取一号，对于分层抽样应在1-108抽取4个号，1
41、09-189抽取3个号，190-270抽取3个号, 应选D.【总结升华】在本例中，要能正确审清题意，否那么求解思路受阻；不能把每层抽的人数转化为在哪个 区间取号；（3）忽视系统抽样等距的特点，分段的临界值会出错.举一反三：【变式】（1）将参加夏令营的600名学生编号为:001,002,，600,采用系统抽样方法抽取一个容量为50 的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从。01到300在第I营区，从301到495 在第n营区，从496到600在第m营区，三个营区被抽中的人数分别为（）A. 26,16,8 B. 25,17,8 C. 25,16,9 D. 24,17,9（
42、2）从2012名学生中选取50名学生参加英语比赛，假设采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2012 人中剔除12人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，那么在2012人中，每人入选的概率（）A.不全相等B.均不相等C,都相等，且为任一D.都相等，且为任一 20122010【答案】（1）B （2）C【解析】（1）从600名学生中选出50名，随机抽取的号码为003,那么由系统抽样的特点，被抽取的相邻号码之间的间隔应该是网= 12,故被抽取的号码成等差数列.该等差数列以3为首项，12为公差，那么 509其通项公式为如=12-9（N*）.所以在第I营区的学生数需满足012一9W300,解得
43、一W25,故12第I营区的有25人；在第n营区的学生数需满足300Vl2-9W495,解得26WW42,可知在第H营区的 学生数为17人；在第HI营区的学生数需满足495Vl2一9W600,解得42W50,可知在第山区的学生数 为8人.综上可知选择B.12（2）设个体为4入选必须同时具备不被剔除和按照系统抽样能够入选,4不被剔除的概率是1 2012=任”，。按照系统抽样入选的概率是任一,这两个事件同时发生那么被入选，故个体。入选的概率20122000晨 2000、50 50201220002012例10.考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下：171
44、163163166166168168160168165171169167169151168170160168174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161作出频率分布表；画出频率分布直方图.【思路点拨】确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.【解析】最低身高为151,最高身高180,其差为180-151=29。确定组距为3,组数为10,列表如下:频率分布直方图如下:【总结升华】合理、科学地确定组距和组数，才能准确地制表及绘图，这是用样本的频率分布估计总体分布 的基本功.估计总体分布的基本功。举一反三:甲班218乙班19 91 0