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1、考点25 空间几何体的体积及表面积知识理解一圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l二空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3考向分析考向一 空间几何的体积【例1】(2021陕西咸阳市高三一模)如图，在三棱锥中，平面平面是的中点(1)求证：平面；(2)设点N是的中点，求三棱锥的体积【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)平面平面，平面，平面，是的中点，平
2、面(2)由(1)知平面，是的中点，到平面的距离是，平面，【方法总结】求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积等体积法等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决三棱锥的体积【举一反三】1(2020江西吉安市高三其他模拟)在四棱锥中，平面，底面四边形是边长为1的正方形，侧棱与底面成的角是，分别是，的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；
3、(2).【解析】证明：(1)取的中点，连结、，是的中点，且，底面四边形是边长是的正方形，又是的中点，且，且，四边形是平行四边形，又磁面，平面，平面.(2)平面，是侧棱与底面成的角，是等腰直角三角形，则，.2(2021内蒙古赤峰市高三月考)如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，面面，且，点在棱上.(1)证明：当时，直线平面；(2)当平面时，求的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：连结与交于点，连结，又面，面，平面.(2)解：平面，平面，是的中点，面面，点到面的距离为到面的距离为3(2021安徽芜湖市高三期末)如图，三棱柱的各棱的长均为2，在底面上的射影为的重心(1)若为的
4、中点，求证：平面；(2)求四棱锥的体积【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)连接交于点，连接，则为的中点，又为的中点，为的中位线，又平面，平面，平面；(2)在中，为重心，则，在中，则考向二 空间几何的表面积【例2-1】(2020全国高三专题练习)一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 .【答案】【解析】判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则棱锥的斜高为该六棱锥的侧面积为【例2-2】(2020全国高三专题练习)某组合体
5、如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，则该组合体的表面积为( )A20BC16D【答案】A【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.故选：A【方法总结】求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积求不规则几何体的表面积时通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积【举一反三】1(2020湖南高三月考)如图，四棱锥中，侧面为等
6、边三角形且垂直于底面，.(1)证明：直线平面；(2)若四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)在平面内，因为，所以，又平面，平面，故平面.(2)取的中点，连结，.依题四边形为正方形，因为为等边三角形，所以.又侧面底面，平面平面，所以底面.因为底面.所以，同理侧面，所以.设，则，.四棱锥的体积，解得.取的中点，连结，则，所以.所以，. 所以四棱锥的侧面积为.2(2020全国高三专题练习)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，D1D底面ABCD，BD1B1D，四边形ABCD是边长为4的菱形，D1D6，E，F分别是线段AB的两个三等分点(1)求证：D1
7、F/平面A1DE；(2)求四棱柱ABCDA1B1C1D1的表面积【答案】(1)证明见解析(2)【解析】(1)连接交于，连接，如图，分别为，的中点，,又平面A1DE，平面A1DE， D1F/平面A1DE(2)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，D1D底面ABCD，所以四棱柱为直四棱柱，因为在矩形中，BD1B1D，所以四边形是正方形，所以,所以,又，所以，即四棱柱ABCDA1B1C1D1的表面积为.3(2020上海闵行区高三一模)如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于的点.(1)求证：平面；(2)若，求圆柱的侧面积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)如图所
8、示：由已知可知平面，平面，点是上异于的点，是的直径，所以，又，平面.(2)在中，圆柱的侧面积为：S侧 .考向三 点面距【例3】(2021河南信阳市高三月考)如图，在长方体中，为中点(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)连接交于点，则为中点，连接，又为中点，故为的中位线，故， 又平面，平面，所以平面(2)由(1)知，平面，则到平面的距离与到平面的距离相等，连接故，又中，由余弦定理知：，则，故，.故到平面的距离即点到平面的距离为【举一反三】1(2021安徽蚌埠市高三二模)如图，已知四边形和均为直角梯形，且，(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离
9、【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：在平面中，过作于，交于，连接，由题意知，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面 (2)，平面，平面，平面平面平面，在平面内过点作交于，则平面， 设点到平面的距离为，则由得，由题意知， 代入，解得，即点到平面的距离为2(2021河南高三期末)如图，直四棱柱的底面为平行四边形，是的中点()求证：平面平面；()求点到平面的距离【答案】()证明见解析；()【解析】()由题意可得，所以，因此，在直四棱柱中，平面，所以，又因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面 ()如图，在平面内作，垂足为 由()知平面，因为平面平面，所以平面，所以， 又因为，所
10、以平面所以线段的长就是点到平面的距离 因为，所以 在平面内，可知， 所以，得，所以点到平面的距离为 3(2021河南驻马店市高三期末)如图，该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为，是线段上(不含端点)的动点，(1)证明：平面；(2)求到平面的距离【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)证明：取的中点，连接，因为该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，所以截面是平行四边形，则因为，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以因为平面，平面，所以平面(2)解：连接，记到平面的距离为，则到平面的距离为在中，高为，所以的面积为因为三棱锥的高为，所以的体积为在中，所以
11、的面积为因为的体积与的体积相等，所以，所以故到平面的距离为强化练习1(2021安徽高三期末)如图，在直四棱柱(侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱)中，底面是边长为2的菱形，且，点E，F分别为，的中点，点G在上(1)证明：平面ACE(2)求三棱锥B-ACE的体积【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)如图所示：连接BD交AC于点O，则O为BD的中点，连接BF，OE，则平面ACE，平面ACE，平面ACE，四边形为平行四边形，又平面ACE，平面ACE，平面ACE，平面平面ACE，平面，平面ACE(2)在中，则AC边上的高为1，又点E到平面ABC的距离为DE，且，2(2021安徽六安市高三一模)如图
12、，在四棱锥中，平面ABCD，E是PD的中点(1)证明：平面PBC；(2)若，求三棱锥的体积【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：取PC的中点F，连接EF、BF，如图所示：因为E、F分别为PD，PC的中点，所以且，又，所以且所以四边形是平行四边形，所以，又因为平面PBC，平面PBC所以平面PBC (2)因为AB=1，所以，即，所以，即，因为E是PD的中点，所以，又，所以，所以，所以，所以.3(2021陕西西安市高三一模)如图在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.(1)证明：；(2)若M是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求M点的位置.【答案】(1)证明见解析
13、；(2)M点在上靠近P点的四等分点处.【解析】(1)连接且E是的中点，.又平面平面，平面平面平面.平面平面.又为菱形，且分别为棱的中点，.，又平面；平面.(2)如图，连接，设，则，则，又. 解得，即M点在上靠近P点的四等分点处.4(2021安徽池州市高三期末)已知正方体，棱长为2，为棱的中点，为面对角线的中点，如下图.(1)求三棱锥的体积；(2)求证：平面.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)在正方体中，易知.(2)证明：取的中点分别为，连接，.因为，分别为，的中点，所以,又是正方体，所以平面所以平面，因为平面所以.因为，所以，所以，所以，所以.因为，所以平面，因为平面，所以.连接
14、，在正方体中，易知，所以.又，所以.又，平面，所以平面.5(2021六盘山高级中学高三期末)如图，四边形为矩形，且，平面，为的中点.(1)求证：；(2)若为的中点，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)如图，连接，为的中点，由，得，又得，又平面，且平面，又，平面，又平面，.(2)如图，取、的中点、，连接、.易得平面平面，又且，平面，.法二：因为为的中点，所以.6(2020江西吉安市高三其他模拟)如图，在三棱锥中，已知是正三角形，为的重心，分别为，的中点，在上，且.(1)求证：平面；(2)若平面平面，求三棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：
15、连接，为的中点，为的重心，点一定在上，且，为的中点，又，即，则，平面，平面，平面；(2)解：延长，交于，由题设知，为的中点，是正三角形，平面平面，平面平面，平面，平面，即为三棱锥的高，又，故.7(2021陕西宝鸡市高三一模)如图三棱柱中，底面是边长2为等边三角形，分别为，的中点，.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.【答案】(1)详见解析；(2).【解析】设，因为，所以，因为为的中点，所以，所以，即，所以四边形是平行四边形，所以四边形是矩形，因为为的中点，所以，所以，所以，即，因为三棱柱底面是等边三角形，为的中点，所以，又，AB与相交，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；(2)由(1)知
16、：平面，所以CE为三棱锥的高，且 ,，所以.8(2021全国高三专题练习)如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=AA1=1，ACBC，E在AB上，且BA=3BE，G在AA1上，且AA1=3GA1.(1)求三棱锥A1ABC1的体积；(2)求证：AC1EG.【答案】(1)；(2)证明见解析.【解析】(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCAC， 所以BC平面ACC1A1，所以B到平面ACC1A1的距离为1，所以=.(2)如图所示：，在AC上取点D，使CD=CA，连接ED，DG，因为BE=BA，所以DEBC，又BC平面ACC1A1，所以DE平面ACC1A1.又AC1平面ACC1A1，
17、所以DEAC1.在正方形ACC1A1中，由CD=CA，A1G=A1A，得DGAC1.又DEDG=D，所以AC1平面DEG.所以AC1EG.9(2020洛阳市教育局中小学教研室高三月考)如图，在三棱柱中，侧面底面，(1)求证：；(2)求三棱柱的侧面积【答案】(1)证明见解析；(2)【解析】(1)如图所示：连接，侧面是菱形，侧面底面，且平面平面，平面，又平面，又，平面，又平面，；(2)如上图：设棱的中点为，连，则，底面从而，由，得：，在中，由余弦定理得:，即，由(1)知平面，又，三棱柱的侧面积为10(2020全国高三专题练习)如图所示，在直三棱柱中，为的中点，.(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体
18、积为，求直三棱柱的表面积.【答案】(1)证明见解析；(2)60.【解析】(1)如图所示，设与相交于点，连接，在中，为的中点，为的中点，所以，因为平面，平面，所以；(2)因为三棱锥的体积为，可得，解得，所以.11(2020全国高三专题练习)如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.(1)求正三棱锥的表面积；(2)求正三棱锥的体积.【答案】(1)；(2).【解析】(1)取的中点D，连接，在中，可得.正三棱锥的三个侧面是全等的等腰三角形，正三棱锥的侧面积是.正三棱锥的底面是边长为2的正三角形，.则正三棱锥的表面积为；(2)连接，设O为正三角形的中心，则底面.且.在中，.正三棱锥的体积为.12(202
19、1山西吕梁市高三一模)棱长为的正方体，为中点，为的中点(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离【答案】(1)见解析；(2).【解析】(1)如图，连接，取的中点为，连接，因为，故，而平面，平面，故平面，因为，故，由正方体可得，故，而平面，平面，故平面，因为，而平面，故平面平面，而平面，故平面.(2)连接，因为为的中点，正方体的棱长为2，故，.故.又，其中为点到平面的距离，故.13(2021江西新余市高三期末)在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面为等腰直角三角形，(1)求证：平面平面；(2)设为的中点，求点到平面的距离【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】(1)证明：面面，且平面平面，面面，又
20、面又因为由已知且，所以面，又面面面.(2)中，取的中点，连，则面面且它们交于面面由，由已知可求得，所以.所以点到平面的距离为.14(2020全国高三专题练习)如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若.(1)求与平面所成角的正弦值；(2)求直线到平面的距离.【答案】(1)；(2).【解析】(1)如图所示，设的中点为O，的中点为F，连接，则.因为平面平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以，所以即为直线与平面所成的角.因为，则，所以.在中，所以.在中，所以.(2)解法一：因为点D，E分别为，边的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.由(1)知，平面，又
21、，所以以点O为坐标原点，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，.设平面的一个法向量为，由得令，所以.因为，设点O到平面的距离为d，则.因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于.解法二：如图，因为点D，E分别为，边的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.因为平面，平面，所以.又，所以平面.因为平面，所以平面平面.因为平面平面，作交于点G，则平面.在中，所以，.因为点O在直线上，所以直线到平面的距离等于.15(2020上海高三专题练习)如图，立方体的棱长为，分别是，的中点，求：(1)到截面的距离；(2)点到截面的距离【答案】(1)(2)【解析】(1)到平面的距离即为到平面的距离在平面中，作，如图所示，连接，又面，面，则，又，得面，即的长度即为所求的距离，则，又，得即到平面的距离为.(2)连接，设到平面的距离为，则，则，又，则，故由，得.即点到截面的距离为.