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1、高中数学必修四2.2.3向量数乘运算及其几何意义导学案中学数学必修四2.2.2向量减法运算及其几何意义导学案 2.2.2向量减法运算及其几何意义【学习目标】1.了解相反向量的概念；1.2.理解向量减法的几何意义，驾驭向量的减法运算；会作两个向量的差向量，并能和向量的加法综合运用.【新知自学】学问回顾：1.如何用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两向量的和？2.向量加法的运算律：新知梳理：1、“相反向量”的定义：与向量长度相同、方向相反的向量.记作2、规定：（1）零向量的相反向量仍是零向量.（2）()=.（3）任一向量与它的相反向量的和是零向量.即+()=(4)假如、互为相反向量，则=，=，
2、+=3、向量减法的定义：向量加上的相反向量，叫做，即：=求两个向量差的运算叫做向量的减法.向量减法的几何意义是4、若+x=，则x叫做与的差，记作求作差向量：已知向量，求作向量作法： 思索感悟：（1）向量的起点与向量的起点相同时，假如从向量的终点指向向量的终点作向量，那么所得向量是（2）若，如何作出？ 对点练习：1.化简OP-QP+PS+SP的结果是()A.QPB.OQC.SPD.SQ2.下列四式中不能化简为AD的是(）A.AB+CD+BCB.AD+MB+BC+CMC.OC-OA+CDD.MB+AD-BM3.如图四边形ABCD中，设，则（）ABCD4.如图，D、E、F分别是的边AB、BC、CA的
3、中点，则（）ABCD 【合作探究】典例精析：例1、已知向量、，求作向量、. 变式练习：1课本练习1. 例2、平行四边形中，用、表示向量、. 变式练习：2已知，且，则=【课堂小结】【当堂达标】1、在ABC中，=，=，则等于()?A.+?B.-+(-)?C.-?D.-?2.可以写成：；,其中正确的是（）A.B.C.D.3.如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AC与BD交于O点，则_ 4、化简【课时作业】1、在ABC中，向量可表示为；中的是（）ABCD2.在ABCD中，|AB+AD|=|AB-AD|，则必有()A.AD=0B.AB=0或AD=0C.ABCD是矩形D.ABCD是正方形 *3.设分别为
4、的三边的中点，则()A.B.C.D. 4.若非零向量和互为相反向量，则错误的是（）A、B、C、D、 5.已知中，则下列等式成立的是_。（1）（2）（3）（4） 6.若，下列结论正确的是_。（1）（2）（3）（4） *7.中，是的中点，设，则；. *8.如图，已知OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,OF=f,试用a,b,c,d,e,f表示下列向量.(1)AD-AB;(2)AB+CF;(3)BF-BD. 9.如图，在ABCD中，设AB=a,AD=b,则(1)当a,b满意什么条件时，a+b与a-b垂直？(2)当a,b满意什么条件时，|a+b|=|a-b|？(3)a+b与a-b可能是相等
5、向量吗？(4)当a,b满意什么条件时，a+b平分a与b所夹的角? 【延长探究】已知|AB|=8,|AC|=5,，则|BC|的取值范围是. 其次章2.222.3向量数乘运算及其几何意义 22.3向量数乘运算及其几何意义预习课本P8790，思索并完成以下问题(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？(2)向量数乘运算满意哪三条运算律？(3)向量共线定理是怎样表述的？(4)向量的线性运算是指的哪三种运算？ 新知初探1向量的数乘运算(1)定义：规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：a，它的长度和方向规定如下：|a|a|；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相
6、反(2)运算律：设，为随意实数，则有：(a)()a；()aaa；(ab)ab；特殊地，有()a(a)(a)；(ab)ab.点睛(1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如a，a均无法运算(2)a的结果为向量，所以当0时，得到的结果为0而不是0.2向量共线的条件向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.点睛(1)定理中a是非零向量，其缘由是：若a0，b0时，虽有a与b共线，但不存在实数使ba成立；若ab0，a与b明显共线，但实数不唯一，任一实数都能使ba成立(2)a是非零向量，b可以是0，这时0a，所以有0，假如b不是0，那么是不为零的实数3向量的线性运算向量的加、减、
7、数乘运算统称为向量的线性运算对于随意向量a，b及随意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b.小试身手1推断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)a的方向与a的方向一样()(2)共线向量定理中，条件a0可以去掉()(3)对于随意实数m和向量a，b，若mamb，则ab.()答案：(1)(2)(3)2若|a|1，|b|2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是()Ab2aBb2aCa2bDa2b答案：A3在四边形ABCD中，若12，则此四边形是()A平行四边形B菱形C梯形D矩形答案：C4化简：2(3a4b)7a_.答案：a8b 向量的线性运算 例1化简下列各式：(1)3(6ab)9a1
8、3b；(2)123a2ba12b212a38b；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.解(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式122a32ba34ba34ba34b0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量 活学活用化简下列各式：(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)；(2)1622a8b44a2b.解：(1)原式6a4b3a15b20b5a14a9b.(2)原式16(4a16b16a8b)16(12a24b)2a4b.用已知向量
9、表示未知向量典例如图所示，D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知a，b，试用a，b分别表示，.解由三角形中位线定理，知DE綊12BC，故12，即12a.ab12a12ab.121214ab12a14ab.用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用 活学活用如图，四边形OADB是以向量a，b为边的平行四边形又13，13，试用a，b表示，.解：131616()16(ab)，b16a16b16a56b.1316
10、，12162323()23(ab)23(ab)16a56b12a16b. 共线向量定理的应用题点一：推断或证明点共线1已知两个非零向量a与b不共线，ab，2a8b，3(ab)，求证：A，B，D三点共线证明：ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.，共线，又它们有公共点B，A，B，D三点共线题点二：利用向量的共线确定参数2已知a，b是不共线的两个非零向量，当8akb与ka2b共线时，求实数k的值解：8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0.a与b不共线，8k0，k20，解得2，k24.题点三：几何图形形态的判定3.如
11、图所示，正三角形ABC的边长为15，1325，1525AC.求证：四边形APQB为梯形证明：因为132515251315，所以.又|15，所以|13，故|，于是四边形APQB为梯形用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行；(2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若向量，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法 层级一学业水平达标1若|a|5，b与a的方向相反，且|b|7，则a()A57bB57bC75bD75b解析：选Bb与a反向，故ab(0)，|a|b|，
12、则57，所以57，a57b.2已知a5e，b3e，c4e，则2a3bc()A5eB5eC23eD23e解析：选C2a3bc25e3(3e)4e23e. 3已知a5b，2a8b，3(ab)，则()AA，B，C三点共线BA，B，D三点共线CA，C，D三点共线DB，C，D三点共线解析：选B2a8b3(ab)a5b，又与有公共点B，A，B，D三点共线4在ABC中，点P是AB上一点，且2313，又t，则t的值为()A13B23C12D53解析：选A由题意可得231313()13，又t，t13.5在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若a，b，则()A
13、13abB12abCa13bDa12b解析：选A由已知条件可知BE3DE，DF13AB，1313ab.6若3(xa)2(x2a)4(xab)0，则x_.解析：由已知得3x3a2x4a4x4a4b0，x3a4b0，x4b3a.答案：4b3a7下列向量中a，b共线的有_(填序号)a2e，b2e；ae1e2，b2e12e2；a4e125e2，be1110e2；ae1e2，b2e12e2.解析：中，ab；中，b2e12e22(e1e2)2a；中，a4e125e24e1110e24b；中，当e1，e2不共线时，ab.故填.答案：8已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma3b与a(2m)b共线，则实数
14、m的值为_解析：因为向量ma3b与a(2m)b共线且向量a，b是两个不共线的向量，所以存在实数，使得ma3ba(2m)b，即(m)a(m23)b0，因为a与b不共线，所以m，m230，解得m1或m3.答案：1或39计算：(1)25(ab)13(2a4b)215(2a13b)；(2)(2mn)amb(mn)(ab)(m，n为实数)解：(1)原式2523415a25432615b0.(2)原式2manambm(ab)n(ab)2manambmambnanbmanb.10已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a2e1e2，bke1e2，若a与b是共线向量，求实数k的值解：a与b是共线向量，ab，2e
15、1e2(ke1e2)ke1e2，k2，1，k2，1，k2.层级二应试实力达标1设a是非零向量，是非零实数，则下列结论中正确的是()Aa与a的方向相同Ba与a的方向相反Ca与2a的方向相同D|a|a|解析：选C只有当0时，a与a的方向相同，a与a的方向相反，且|a|a|.因为20，所以a与2a的方向相同2已知O是ABC所在平面内一点，D为边BC的中点，且20，则()AB2C3D2解析：选A在ABC中，D为边BC的中点，2，2()0，即0，从而.3已知向量a，b不共线，若1ab，a2b，且A，B，C三点共线，则关于实数1，2肯定成立的关系式为()A121B121C121D121解析：选CA，B，C
16、三点共线，k(k0)1abk(a2b)kak2b.又a，b不共线，1k，1k2，121.4已知平面内有一点P及一个ABC，若，则()A点P在ABC外部B点P在线段AB上C点P在线段BC上D点P在线段AC上解析：选D，0，0，即0，2，点P在线段AC上5设e1，e2是两个不共线的向量，若向量ke12e2与8e1ke2方向相反，则k_.解析：ke12e2与8e1ke2共线，ke12e2(8e1ke2)8e1ke2.k8，2k，解得12，k4或12，k4.ke12e2与8e1ke2反向，12，k4.答案：46.如图所示，在ABCD中，a，b，AN3NC，M为BC的中点，则_(用a，b)表示解析：12
17、1412b14(ab)14b14a14(ba)答案：14(ba)7已知：在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，求证：四边形ABCD为梯形证明：如图所示(a2b)(4ab)(5a3b)8a2b2(4ab)，2.与共线，且|2|.又这两个向量所在的直线不重合，ADBC，且AD2BC.四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形8.如图，已知OCB中，点A是BC的中点，D是将OB分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)若，求的值解：(1)由A是BC的中点，则有12()，从而22ab.由D是将OB分成21的一个内分点，得23，从而(2ab)23b2a
18、53b.(2)由于C，E，D三点共线，则，又(2ab)a(2)ab，2a53b，从而(2)ab2a53b，又a，b不共线，则22，153，解得45. 向量的减法运算及其几何意义 向量的减法运算及其几何意义教学目标：1.了解相反向量的概念；2.驾驭向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3.通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向的确定.学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算驾驭向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教具：多媒
19、体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则向量加法的运算定律：例：在四边形中，.解：二、提出课题：向量的减法1用“相反向量”定义向量的减法（1）“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作a（2）规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0假如a、b互为相反向量，则a=b，b=a，a+b=0（3）向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x=
20、a，则x叫做a与b的差，记作ab3求作差向量：已知向量a、b，求作向量(ab)+b=a+(b)+b=a+0=a作法：在平面内取一点O，作=a，=b则=ab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.留意：1表示ab.强调：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+(b)明显，此法作图较繁，但最终作图可统一. 2探究：）假如从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是ba. ）若ab，如何作出ab？三、例题：例一、（P例三）已知向量a、b、c、d，求作向量ab、cd.解：在平面上取一点O，作=a，=b，=c，=d，作，则=ab，=cd 例二、平行四边形中
21、，a，b，用a、b表示向量、.解：由平行四边形法则得：=a+b，=ab变式一：当a，b满意什么条件时，a+b与ab垂直？（|a|=|b|）变式二：当a，b满意什么条件时，|a+b|=|ab|？（a，b相互垂直）变式三：a+b与ab可能是相当向量吗？（不行能，对角线方向不同）练习：98四、小结：向量减法的定义、作图法|五、作业：P103第4、题六、板书设计（略）七、备用习题：1.在ABC中，=a，=b，则等于()?A.a+b?B.-a+(-b)?C.a-b?D.b-a?2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设=a，=b，=c，=d，则A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0?C.a+b-c-
22、d=0D.a-b-c+d=0.如图，在四边形ABCD中，依据图示填空：?a+b=，b+c=，c-d=，a+b+c-d=.?、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试依据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=，c-d=，并画出b-c和a+d. 向量的加法运算及其几何意义 向量的加法运算及其几何意义教学目标：1、驾驭向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培育数形结合解决问题的实力；3、通过将向量运算与熟识的数的运算进行类比，使学生驾驭向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法；教学
23、重点：会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.学法：数能进行运算，向量是否也能进行运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章接受向量的加法定义.结合图形驾驭向量加法的三角形法则和平行四边形法则.联系数的运算律理解和驾驭向量加法运算的交换律和结合律.教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们探讨的向量是与起点无关的
24、自由向量，即任何向量可以在不变更它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、情景设置：（1）某人从A到B，再从B按原方向到C，则两次的位移和：（2）若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，则两次的位移和：（3）某车从A到B，再从B变更方向到C，则两次的位移和：（4）船速为，水速为，则两速度和：二、探究探讨：、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、三角形法则（“首尾相接，首尾连”）如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即a，规定：a+0-=0+a 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量；（2）当向量与不共线时，+的方向不同向，且|+|+|；（3）当与同向时
25、，则+、同向，且|+|=|+|，当与反向时，若|，则+的方向与相同，且|+|=|-|；若|，则+的方向与相同，且|+b|=|-|.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n个向量连加例一、已知向量、，求作向量+作法：在平面内取一点，作，则. 加法的交换律和平行四边形法则问题：上题中+的结果与+是否相同？验证结果相同从而得到：）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）向量加法的交换律：+=+向量加法的结合律：(+)+=+(+)证：如图：使，则(+)+=，+(+)=(+)+=+(+)从而，多个向量的加法运算可以根据随意的次序、随意的组合来进行.三、
26、应用举例：例二（P9495）略练习：P95四、小结1、向量加法的几何意义；、交换律和结合律；、留意：|+|+|，当且仅当方向相同时取等号.五、课后作业：P103第、题六、板书设计（略）七、备用习题1、一艘船从A点动身以的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km，求河水的流速.3、一艘船从A点动身以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为，船的实际航行的速度的大小为，方向与水流间的夹角是，求和.4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是km/h，最小是km/h、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.、用向量加法证明：两条对角线相互平分的四边形是平行四边形 第15页 共15页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页第 15 页 共 15 页