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1、九年级数学竞赛开放性问题评说辅导教案九年级数学竞赛动态几何问题透视辅导教案 【例题求解】【例1】如图，把直角三角形ABC的斜边AB放在定直线上，按顺时针方向在上转动两次，使它转到ABC的位置，设BC=1，AC=，则顶点A运动到点A的位置时，点A经过的路途与直线所围成的面积是(黄冈市中考题)思路点拨解题的关键是将转动的图形精确分割RtABC的两次转动，顶点A所经过的路途是两段圆弧，其中圆心角分别为120和90，半径分别为2和，但该路途与直线所围成的面积不只是两个扇形面积之和【例2】如图，在O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AAAB，BBAB，且AA=AP，BB=BP，连结AB，当点P从点A
2、移到点B时，AB的中点的位置()A在平分AB的某直线上移动B在垂直AB的某直线上移动C在AmB上移动D保持固定不移动(荆州市中考题)思路点拨画图、操作、试验，从中发觉规律 【例3】如图，菱形OABC的长为4厘米，AOC60，动点P从O动身，以每秒1厘米的速度沿OAB路途运动，点P动身2秒后，动点Q从O动身，在OA上以每秒1厘米的速度，在AB上以每秒2厘米的速度沿OAB路途运动，过P、Q两点分别作对角线AC的平行线设P点运动的时间为秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的阴影部分)的周长为厘米，请你回答下列问题：(1)当=3时，的值是多少?(2)就下列各种情形：02；24；46；68求与之间的
3、函数关系式(3)在给出的直角坐标系中，用图象表示(2)中的各种情形下与的关系(吉林省中考题)思路点拨本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将各段分别探讨、画图、计算 注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动改变的哪一类问题，都真实地反映了现实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去视察、探究、探讨此类问题，是一种重要的解题策略建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，很多相关问题就转化为求函数值或自变量的值【例4】如图，正方形ABCD中，有始终径为BC的半圆，BC=2cm，现有两点E、F，分别从点B、点A同时动身，点E沿线段BA以1m秒的速度向点
4、A运动，点F沿折线ADC以2cm秒的速度向点C运动，设点E离开点B的时间为2(秒)(1)当为何值时，线段EF与BC平行?(2)设12，当为何值时，EF与半圆相切?(3)当12时，设EF与AC相交于点P，问点E、F运动时，点P的位置是否发生改变?若发生改变，请说明理由；若不发生改变，请赐予证明，并求AP：PC的值(江西省中考题)思路点拨动中取静，依据题意画出不同位置的图形，然后分别求解，这是解本例的基本策略，对于(1)、(2)，运用相关几何性质建立关于的方程；对于(3)，点P的位置是否发生改变，只需看是否为肯定值 注：动态几何问题常通过视察、比较、分析、归纳等方法寻求图形中某些结论不变或改变规律
5、，而把特定的运动状态，通过代数化来定量刻画描述也是解这类问题的重要思想 【例5】O1与O2相交于A、B两点；如图(1)，连结O2O1并延长交O1于P点，连结PA、PB并分别延长交O2于C、D两点，连结CO2并延长交O2于E点已知O2的半径为R，设CAD=(1)求：CD的长(用含R、的式子表示)；(2)试推断CD与PO1的位置关系，并说明理由；(3)设点P为O1上(O2外)的动点，连结PA、PB并分别延长交O2于C、D，请你探究CAD是否等于?CD与POl的位置关系如何?并说明理由(济南市中考题)思路点拨对于(1)、(2)，作出圆中常见协助线；对于(3)，P点虽为OOl上的一个动点，但O1、O2
6、一些量(如半径、AB)都是定值或定弧，运用圆的性质，把角与孤联系起来学力训练1如图，ABC中，C=90，AB=12cm，ABC=60，将ABC以点B为中心顺时针旋转，使点C旋转到AB延长线上的D处，则AC边扫过的图形的面积是cm(=3.14159，最终结果保留三个有效数字)(济南市中考题)2如图，在RtABC中，C=90，A=60，AC=cm，将ABC绕点B旋转至ABC的位置，且使A、B、C三点在同一条直线上，则点A经过的最短路途的长度是cm(黄冈市中考题)3一块等边三角形的木板，边长为l，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从起先至结束走过的路径长度为()ABC4D(烟台市中考题)4把ABC沿AB
7、边平移到ABC的位置，它们的重叠部分的面积是ABC的面积的一半，若AB=，则此三角形移动的距离AA是()ABC1D(荆门市中考题)5如图，正三角形ABC的边长为6厘米，O的半径为r厘米，当圆心O从点A动身，沿着线路ABBCCA运动，回到点A时，O随着点O的运动而移动(1)若r=厘米，求O首次与BC边相切时AO的长；(2)在O移动过程中，从切点的个数来考虑，相切有几种不同的状况?写出不同的状况下，r的取值范围及相应的切点个数；(3)设O在整个移动过程中，在ABC内部，O未经过的部分的面积为S，在S0时，求关于r的函数解析式，并写出自变量r的取值范围(江西省中考题) 6已知：如图，O韵直径为10，
8、弦AC=8，点B在圆周上运动(与A、C两点不重合)，连结BC、BA，过点C作CDAB于D设CB的长为，CD的长为(1)求关于的函数关系式；当以BC为直径的圆与AC相切时，求的值；(2)在点B运动的过程中，以CD为直径的圆与O有几种位置关系，并求出不同位置时的取值范围；(3)在点B运动的过程中，假如过B作BEAC于E，那么以BE为直径的圆与O能内切吗?若不能，说明理由；若能，求出BE的长(太原市中考题)7如图，已知A为POQ的边OQ上一点，以A为顶点的MAN的两边分别交射线OP于M、N两点，且MAN=POQ=(为锐角)当MAN以点A为旋转中心，AM边从与AO重合的位置起先，按逆时针方向旋转(MA
9、N保持不变)时，M、N两点在射线OP上同时以不同的速度向右平移移动设OM=，ON=(0)，AOM的面积为S，若cos、OA是方程的两个根(1)当MAN旋转30(即OAM=30)时，求点N移动的距离；(2)求证：AN2=ONMN；(3)求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；(4)试写出S随改变的函数关系式，并确定S的取值范围(河北省中考题)8已知：如图，梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=3cm，C60，BDCD(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B起先沿BC边向点C以2cms的速度运动，点Q从点C起先沿CD边向点D以1cms的速度运动，当P、Q分别从B、C同时动身时，写出五边形ABP
10、QD的面积S与运动时间之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围(不包含点P在B、C两点的状况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由(青岛市中考) 9已知：如图，E、F、G、H根据AE=CG，BF=DH，BFnAE(n是正整数)的关系，分别在两邻边长、的矩形ABCD各边上运动设AE=，四边形EFGH的面积为S(1)当n=l、2时，如图、，视察运动状况，写出四边形EFGH各顶点运动到何位置，使?(2)当n=3时，如图，求S与之间的函数关系式(写出自变量的取值范围)，探究S随增大而改变的规律；猜想四边形
11、EFGH各顶点运动到何位置，使；(3)当n=k(k1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由(福建省三明市中考题)10如图1，在直角坐标系中，点E从O点动身，以1个单位秒的速度沿轴正方向运动，点F从O点动身，以2个单位秒的速度沿轴正方向运动，B(4，2)，以BE为直径作O1(1)若点E、F同时动身，设线段EF与线段OB交于点G，试推断点G与O1的位置关系，并证明你的结论；(2)在(1)的条件下，连结FB，几秒时FB与O1相切?(3)如图2，若E点提前2秒动身，点F再动身，当点F动身后，E点在A点左侧时，设BA轴于A点，连结AF交O1于点P，试问PAFA的值是否会发生改变?若不变，请说明理
12、由，并求其值；若改变，恳求其值的改变范围(武汉市中考题) 参考答案 九年级数学竞赛圆与圆辅导教案 【例题求解】 【例1】如图，Ol与半径为4的O2内切于点A，Ol经过圆心O2，作O2的直径BC交Ol于点D，EF为过点A的公切线，若O2D=，那么BAF=度 (重庆市中考题) 思路点拨直径、公切线、O2的特别位置等，隐含丰富的信息，而连O2Ol必过A点，先求出DO2A的度数 注：(1)两圆相切或相交时，公切线或公共弦是重要的类似于“桥梁”的协助线，它可以使弦切角与圆周角、圆内接四边形的内角与外角得以沟通同时，又是生成圆幂定理的重要因素 (2)涉及两圆位置关系的计算题，常作半径、连心线，结合切线性质
13、等构造直角三角形，将分散的条件集中，通过解直角三角形求解 【例2】如图，Ol与O2外切于点A，两圆的一条外公切线与O1相切于点B，若AB与两圆的另一条外公切线平行，则Ol与O2的半径之比为() A2：5B1：2C1：3D2：3 (全国初中数学联赛试题) 思路点拨添加协助线，要探求两半径之间的关系，必需求出COlO2(或DO2Ol)的度数，为此需寻求CO1B、CO1A、BO1A的关系 【例3】如图，已知Ol与O2相交于A、B两点，P是Ol上一点，PB的延长线交O2于点C，PA交O2于点D，CD的延长线交Ol于点N (1)过点A作AECN交Oll于点E，求证：PA=PE； (2)连结PN，若PB=
14、4，BC=2，求PN的长 (重庆市中考题) 思路点拨(1)连AB，充分运用与圆相关的角，证明PAE=PEA；(2)PBPC=PDPA，探寻PN、PD、PA对应三角形的联系 【例4】如图，两个同心圆的圆心是O，AB是大圆的直径，大圆的弦与小圆相切于点D，连结OD并延长交大圆于点E，连结BE交AC于点F，已知AC=，大、小两圆半径差为2 (1)求大圆半径长； (2)求线段BF的长； (3)求证：EC与过B、F、C三点的圆相切 (宜宾市中考题) 思路点拨(1)设大圆半径为R，则小圆半径为R-2，建立R的方程；(2)证明EBCECF；(3)过B、F、C三点的圆的圆心O，必在BF上，连OC，证明OCE=
15、90 注：本例以同心圆为背景，综合了垂径定理、直径所对的圆周角为直角、切线的判定、勾股定理、相像三角形等丰富的学问作出圆中基本协助线、运用与圆相关的角是解本例的关键 【例5】如图，AOB是半径为1的单位圆的四分之一，半圆O1的圆心O1在OA上，并与弧AB内切于点A，半圆O2的圆心O2在OB上，并与弧AB内切于点B，半圆O1与半圆O2相切，设两半圆的半径之和为，面积之和为 (1)试建立以为自变量的函数的解析式； (2)求函数的最小值 (太原市竞赛题) 思路点拨设两圆半径分别为R、r，对于(1)，通过变形把R2+r2用“=R+r”的代数式表示，作出基本协助线；对于(2)，因=R+r，故是在约束条件
16、下求的最小值，解题的关键是求出R+r的取值范围 注：如图，半径分别为r、R的Ol、O2外切于C，AB，CM分别为两圆的公切线，OlO2与AB交于P点，则： (1)AB=2； (2)ACB=OlMO2=90； (3)PC2=PAPB； (4)sinP=； (5)设C到AB的距离为d，则 学力训练 1已知：Ol和O2交于A、B两点，且Ol经过点O2，若AOlB=90，则AO2B的度数是 2矩形ABCD中，AB=5，BC=12，假如分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围 (2022年上海市中考题) 3如图；Ol、O2相交于点A、B，现给出4个命题： (1
17、)若AC是O2的切线且交Ol于点C，AD是Ol的切线且交O2于点D，则AB2=BCBD； (2)连结AB、OlO2，若OlA=15cm，O2A=20cm，AB=24cm，则OlO2=25cm； (3)若CA是Ol的直径，DA是O2的一条非直径的弦，且点D、B不重合，则C、B、D三点不在同一条直线上， (4)若过点A作Ol的切线交O2于点D，直线DB交Ol于点C，直线CA交O2于点E，连结DE，则DE2=DBDC，则正确命题的序号是(写出全部正确命题的序号) (厦门市中考题) 4如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆Ol与AB切于点M，设Ol的半径为，AM的长为，则与的函数关系是，自变量
18、的取值范围是 (昆明市中考题) 5如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管两两相切摞在一起，则其最高点到地面的距离是() A2BCD 6如图，已知Ol、O2相交于A、B两点，且点Ol在O2上，过A作Oll的切线AC交BOl的延长线于点P，交O2于点C，BP交Ol于点D，若PD=1，PA=，则AC的长为() ABCD (武汉市中考题) 7如图，Ol和O2外切于A，PA是内公切线，BC是外公切线，B、C是切点PB=AB；PBA=PAB；PABOlAB；PBPC=OlAO2A 上述结论，正确结论的个数是() A1B2C3D4 (郴州市中考题) 8两圆的半径分别是和r(Rr)，圆心距为d
19、，若关于的方程有两个相等的实数根，则两圆的位置关系是() A肯定内切B肯定外切C相交D内切或外切 (连云港市中考题) 9如图，Ol和O2内切于点P，过点P的直线交Ol于点D，交O2于点E，DA与O2相切，切点为C （1）求证：PC平分APD； (2)求证：PDPA=PC2+ACDC； (3)若PE=3，PA=6，求PC的长 10如图，已知Ol和O2外切于A，BC是Ol和O2的公切线，切点为B、C，连结BA并延长交Ol于D，过D点作CB的平行线交O2于E、F，求证：(1)CD是Ol的直径；(2)试推断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论 (四川省中考题) 11如图，已知A是Ol、O2的
20、一个交点，点M是OlO2的中点，过点A的直线BC垂直于MA，分别交Ol、O2于B、C (1)求证：AB=AC； (2)若OlA切O2于点A，弦AB、AC的弦心距分别为dl、d2，求证：dl+d2=O1O2； (3)在(2)的条件下，若dld2=1，设Ol、O2的半径分别为R、r，求证：R2+r2=R2r2 (山西省中考题) 12已知半径分别为1和2的两个圆外切于点P，则点P到两圆外公切线的距离为 (全国初中数学联赛试题) 13如图，7根圆形筷子的横截面圆半径为r，则捆扎这7根筷子一周的绳子的长度为 (全国初中数学联赛试题) 14如图，Ol和O2内切于点P，O2的弦AB经过Ol的圆心Ol，交Ol
21、于C、D，若AC：CD：DB=3：4：2，则Ol与O2的直径之比为() A2：7B2：5C2：3D1：3 15如图，Ol与O2相交，P是Ol上的一点，过P点作两圆的切线，则切线的条数可能是() A1，2B1，3C1，2，3D1，2，3，4 (安徽省中考题) 16如图，相等两圆交于A、B两点，过B任作始终线交两圆于M、N，过M、N各引所在圆的切线相交于C，则四边形AMCN有下面关系成立() A有内切圆无外接圆B有外接圆无内切圆 C既有内切圆，也有外接圆D以上状况都不对 (太原市竞赛题) 17已知：如图，O与相交于A，B两点，点P在O上，O的弦AC切P于点A，CP及其延长线交PP于点D，E，过点E
22、作EFCE交CB的延长线于F （1）求证：BC是P的切线； (2)若CD=2，CB=，求EF的长； (3)若k=PE：CE，是否存在实数k，使PBD恰好是等边三角形?若存在，求出是的值；若不存在，请说明理由 (青岛市中考题) 18如图，A和B是外离两圆，A的半径长为2，B的半径长为1，AB=4，P为连接两圆圆心的线段AB上的一点，PC切A于点C，PD切B于点D (1)若PC=PD，求PB的长； (2)试问线段AB上是否存在一点P，使PC2+PD2=4？，假如存在，问这样的P点有几个?并求出PB的值；假如不存在，说明理由； (3)当点F在线段AB上运动到某处，使PCPD时，就有APCPBD 请问
23、：除上述状况外，当点P在线段AB上运动到何处(说明PB的长为多少，或PC、PD具有何种关系)时，这两个三角形仍相像；并推断此时直线CP与OB的位置关系，证明你的结论(浙江省嘉兴市中考题) 19如图，D、E是ABC边BC上的两点，F是BA延长线上一点，DAE=CAF (1)推断ABD的外接圆与AEC的外接圆的位置关系，并证明你的结论； (2)若ABD的外接圆半径是AEC的外接圆半径的2倍，BC=6，AB=4，求BE的长 (全国初中数学联赛试题) 20问题：要将一块直径为2cm的半圆形铁皮加工成一个圆柱的两个底面和一个圆锥的底面 操作：方案一：在图甲中，设计一个使圆锥底面最大，半圆形铁皮得以最充分
24、利用的方案(要求，画示意图) 方案二；在图乙中，设计一个使圆柱两个底面最大，半圆形铁皮得以最充分利用的方案(要求：画示意图)；， 探究：(1)求方案一中圆锥底面的半径； (2)求方案二中圆锥底面及圆柱底面的半径； (3)设方案二中半圆圆心为O，圆柱两个底面的圆心为O1、O2，圆锥底面的圆心为O3，试推断以O1、O2、O3、O为顶点的四边形是什么样的特别四边形，并加以证明 (大连市中考题) 九年级数学竞赛方程与函数辅导教案 【例题求解】【例1】若关于的方程有解，则实数m的取值范围思路点拨可以利用肯定值学问探讨，也可以用函数思想探讨：作函数，函数图象，原方程有解，即两函数图象有交点，依此确定m的取
25、值范围【例2】设关于的方程有两个不相等的实数根，且1，那么取值范围是()ABCD思路点拨因根的表达式困难，故把原问题转化为二次函数问题来解决，即求对应的二次函数与轴的交点满意1的的值，留意判别式的隐含制约 【例3】已知抛物线()与轴交于两点A(，0)，B(，0)()(1)求的取值范围，并证明A、B两点都在原点O的左侧；(2)若抛物线与轴交于点C，且OA+OBOC一2，求的值思路点拨、是方程的两个不等实根，于是二次函数问题就可以转化为二次方程问题加以解决，利用判别式，根与系数的关系是解题的切入点 【例4】抛物线与轴的正半轴交于点C，与轴交于A、B两点，并且点B在A的右边，ABC的面积是OAC面积
26、的3倍(1)求这条抛物线的解析式；(2)推断OBC与OCA是否相像，并说明理由思路点拨综合运用判别式、根与系数关系等学问，可判定对应方程根的符号特征、两实根的关系，这是解本例的关键对于(1)，建立关于m的等式，求出m的值；对于(2)依m的值分类探讨 【例5】已知抛物线上有一点M(，)位于轴下方(1)求证：此抛物线与轴交于两点；(2)设此抛物线与轴的交点为A(，0)，B(，0)，且，求证：思路点拨对于(1)，即要证；对于(2)，即要证学历训练1已知关于的函数的图象与轴有交点，则m的取值范围是2已知抛物线与轴交于A(，0)，B(，0)两点，且，则3已知二次函数y=kx2+(2k1)x1与x轴交点的
27、横坐标为x1、x2(x1x2)，则对于下列结论：当x=2时，y=l；当xx2，时，yO；方程kx2+l(2k1)xl=O有两个不相等的实数根x1、x2；x1l，x2l；x2x1=，其中全部正确的结论是(只需填写序号)4设函数的图象如图所示，它与轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则()A8B一4C1lD一4或11 5已知：二次函数yx2+bx+c与x轴相交于A(x1,0)、B(x2，0)两点，其顶点坐标为P(，)，ABx1x2|，若SAPB1，则b与c的关系式是()Ab24c+1=0Bb24c1=0Cb24c+4=0Db24c4=06已知方程有一个负根而且没有正根，那么的取值范
28、围是()A-1B1C1D非上述答案7已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图，二次函数y=ax2bxc（a0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C（1）a、c的符号之间有何关系？（2）假如线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；（3）在（2）的条件下，假如b=4，AB=4，求a、c的值 8已知：抛物线过点A(一1，4)，其顶点的横坐标为，与轴分别交于B(x1,0)、C(x2，0)两点(其中且)，且(1)求此抛物线的解析式及顶点E的坐标；(2)设此抛物线与轴交于D点，点M是抛物线上的点，若MBO的面积为DOC面积的倍，求点
29、M的坐标9已知抛物线交x轴于A（，0）、B（，0），交y轴于C点，且0，.（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴的下方是否存在着抛物线上的点P，使APB为锐角，若存在，求出P点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由.10设是整数，且方程的两根都大于而小于，则=.11函数的图象与函数的图象的交点个数是12已知、为抛物线与轴交点的横坐标，则的值为13是否存在这样的实数，使得二次方程有两个实数根，且两根都在2与4之间?假如有，试确定的取值范围；假如没有，试述理由14设抛物线的图象与轴只有一个交点(1)求的值；(2)求的值15已知以为自变量的二次函数，该二次函数图象与轴的两个交点的横坐标的差的平方等于关于
30、的方程的一整数根，求的值16已知二次函数的图象开口向上且不过原点O，顶点坐标为(1，一2)，与轴交于点A，B，与y轴交于点C，且满意关系式(1)求二次函数的解析式；(2)求ABC的面积 17设是实数，二次函数的图象与轴有两个不同的交点A（，0）、B（，0）(1)求证：；(2)若A、B两点之间的距离不超过，求P的最大值( 第18页 共18页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页