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1、20.4正方形的判定教学设计正方形 19.2.3正方形一、教学目的1驾驭正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区分，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教化，提高学生的逻辑思维实力二、重点、难点1教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系2教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的敏捷运用三、例题的意图分析本节课支配了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应留意引导学生能正确的运用其性质例3是正方形判定的应
2、用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形随后可以再做一组推断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将推断题改为下列问题让学生思索：对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？对角线相互垂直的矩形是正方形吗？为什么？对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？假如不是，应当加上什么条件？能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？ 四、课堂引入1做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形学生在动手做中对正方形产生感性相识，并感知正方形与矩形的关系问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一
3、组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）2【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质 五、例习题分析例1（教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）求证：ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形证明：四边形ABCD是正
4、方形，AC=BD，ACBD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且相互垂直平分）ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形，并且ABOBCOCDODAO 例2（补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于F求证：OE=OF分析：要证明OE=OF，只需证明AEODFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO，依据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得证明：四边形ABCD是正方形，AOE=DOF=90，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且
5、相等）又DGAE，EAO+AEO=EDG+AEO=90EAO=FDOAEODFOOE=OF 例3（补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点求证：四边形PQMN是正方形分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证ABMDAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP即可证出MN=NP从而得出结论证明：PNl1，QMl1，PNQM，PNM=90PQNM，四边形PQMN是矩形四边形ABCD是正方形BAD=ADC=90，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）1+2=90又3+2=90，1
6、=3ABMDANAM=DN同理AN=DPAM+AN=DN+DP即MN=PN四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形） 六、随堂练习1正方形的四条边_，四个角_，两条对角线_2下列说法是否正确，并说明理由对角线相等的菱形是正方形；（）对角线相互垂直的矩形是正方形；（）对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）四条边都相等的四边形是正方形；（）四个角相等的四边形是正方形（） 1已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DEBF求证：AFEAEF 4如图，E为正方形ABCD内一点，且EBC是等边三角形，求EAD与ECD的度数 七、课后练习1已知：如图，点E是正
7、方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF求证：EAAF 2已知：如图，ABC中，C=90，CD平分ACB，DEBC于E，DFAC于F求证：四边形CFDE是正方形 3已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF 正方形教学示例正方形教学示例教学建议依据本节内容的特点和与平行四边形的关系,建议老师在教学过程中注意以下问题:1.正方形的学问,学生在小学时接触过一些,可由小学学过的学问作为引入。2.正方形在现实中的实例较多,在讲解正方形的性质和判定时,老师可自行预备或由学生预备一些生活实例来进行判别应用了哪些性质和判定,既增加
8、了学生的参加感又巩固了所学的学问.3.假如条件答应,老师在讲授这节内容前,可指导学生根据教材145页图430所示,制作一个平行四边形作为教学过程中的道具,既增加了学生的动手实力和参加感,有在教学中有切实的体例,使学生对学问的把握更轻松些.4.在对性质的讲解中,老师可将学生分成若干组,每个学生分别对事先预备后的图形进行边、角、对角线的测量,然后在组内进行整理、归纳.5.由于正方形的性质定理证明比较简洁,老师可引导学生分析思路,由学生来进行详细的证明.6.在正方形性质应用讲解中,为便于理解把握,老师要注意题目的层次支配。教学引入师:前面我们已经学习过平行四边形、矩形和菱形,知道矩形和菱形都是非凡的
9、平行四边形,他们都具有平行四边形的性质,同时又都具有各自独特的性质。师:现在我们来学习一种新的非凡的平行四边形正方形。讲授新课师:正方形我们在小学就已经接触过,首先我们来看正方形的定义。动画演示:场景一:正方形定义师:正方形的定义我们可以分成俩部分来理解:(1)有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。(2)有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。师:依据这两部分我们会想起什么?学生活动:主动思索,回想学过定义,大部分学生会想起矩形和菱形,小声争论甚至抢答。生:有一个角是直角的平行四边形是矩形,(1)说的是矩形;有一组邻边相等的平行四边形是菱形,(2)说的是菱形。生:正方形既是矩形又是菱形。生:正方
10、形还是平行四边形。师:大家想得都不错。正方形既是矩形又是菱形,依据定义,他还是平行四边形。师:正方形是非凡的平行四边形、矩形、菱形。动画演示:场景二:正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系师:正方形、平行四边形、矩形、菱形他们之间的关系还可以用图1来表示:图1师:请同学们回想一下,我们在学习矩形、菱形时,知道矩形和菱形都是非凡的平行四边形,他们都具有平行四边形的性质,同时又都具有各自独特的性质。师:那么,依据正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系,正方形应具有什么样的性质?学生活动:回忆矩形、菱形的性质,并逐个验证在正方形上。师在学生活动时要注意视察学生的状况,有迷惑时要注意刚好反馈。师:我们来归
11、纳总结正方形的性质。动画演示:场景三:矩形的性质场景四:菱形的性质?场景五:正方形的性质例题讲解例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG,求证:BG=CE分析:据已知条件画出图形,如图2所示,要证明线段相等,与图形可以证明二个三角形全等,即只需证明ABGAEC.证明:四边形ABDE和ACFG都是正方形AB=AE,AG=ACBAE=CAG=90BAEBAC=CAGBAC即BAG=EACABGAECBG=CE图2说明:应用正方形的性质,可以为证明全等供应条件,要注意等式性质的应用,这与向锐角三角形ABC外作等边三角形的结论完全相同,证法是可以借鉴的。巩固练习巩固练习题目可有老
12、师依据学生状况自主选择。讲解新课师:正方形是非凡的平行四边形、矩形、菱形,那么依据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系,怎么判定一个矩形是正方形?生:证一组邻边相等。师:怎么判定一个菱形是正方形?生:证有一个角是直角。师:怎么判定一个平行四边形是正方形?生:依据定义,证有一组邻边相等且有一个角是直角。师:那么,刚才的结论假如用图来表示,是不是如图3所示?师:图3表现出由平行四边形、矩形、菱形分别得到正方形的三种方法。这是我们依据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系得到的,但好像有缺憾,能不能同样依据平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系把图3补全?学生活动:主动思索,部分
13、学生迷惑不解。师点取上等学生回答问题,依据回答得图4。生茅塞顿开。学生思路得到启发,中上等及上等学生意犹未尽,激励他们依据矩形、菱形的判定方法干脆得到正方形的判定思路,并要求其举出简洁示例。就势跟进,要求学生思索,给定四边形,有什么样的边、角、对角线条件可判定四边形是正方形?要求给出简洁图例,并说出相应证明思路。为进一步理解正方形的判定方法,可探讨以下几个问题:(3)对角线相等的菱形是正方形吗?(4)对角线相互垂直的矩形是正方形吗?(5)对角线相互垂直且相等的四边形是正方形吗?若不是,还需增加什么条件?(6)能说“四条便都相等的四边形是正方形吗?”(7)四个角都相等的四边形是正方形吗?小结:证
14、明正方形的思路,总体讲三种思路,如图4所示;遇到详细条件要学会详细分析,规定条件和隐含条件不外乎边、角、对角线,或者把他们搅和在一起。这是肯定要都要冷静,学会去分析。动画演示:场景六:正方形的判定F例题讲解例2如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、AB的中点,DE、CF相交于M,求证:AD=AM。分析:欲证AD=AM,只需证明1=2,但要依据题目条件干脆证明1=2比较困难,考虑到E、F是正方形的两边中点,轻易证明得:BCFCDF,得3=4,而4BCF=90.由此DECF,这是要证AD=AM,是否想到与直角有关的等腰三角形?只需延长CF、DA交于N,即可出现直角三角形MND,只要证明A
15、是ND中点即可。这是是否发觉BCFANF?由AN=BC=AD,从而A是ND中点,MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线。问题得证。证明:略。说明:将此题中的中点E、F进行改变:E、F分别为正方形ABCD的边BC、AB上的点,且BE=AF,则有DECF。这个改变后的图形在正方形中常常出现,要注意隐含的这个垂直条件。课堂练习题及课后作业可由老师依据学生状况自主选择。矩形、正方形2 第四章四边形性质探究矩形、正方形（二） 一学生状况分析学生已经学习了平行四边形的性质和判定，也学习了一种特别的平行四边形菱形的性质和判定，对于类似的问题有肯定的学习精力、阅历和感受，这将更有利于学生对本节课的学习。 二
16、教学任务分析教学目标：学问目标：1.驾驭正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。2.驾驭正方形的性质定理1和性质定理2。3.正确运用正方形的性质解题。实力目标：1.通过四边形的从属关系渗透集合思想。2在直观操作活动和简洁的说理过程中，发展学生初步的合情推理实力、主动探究习惯，逐步驾驭说理的基本方法。情感与价值观1.通过理解四种四边形内在联系，培育学生辩证观点教学重点：正方形的性质的应用教学难点：正方形的性质的应用 三、教学过程设计课前打算教具打算:一个活动的平行四边形木框、白纸、剪刀学生用具：白纸、剪刀教学过程设计分成四分环节：第一环节：巧设情境问题，引入课题其次环节：讲授新课
17、第三环节：新课小结第四环节：布置作业 第一环节巧设情境问题，引入课题进入正题，提出本节课的探讨主题正方形其次环节讲授新课主要环节（1）呈现两种通过不同途径得到正方形的过程，给正方形下定义（2）探讨正方形的性质（3）通过练习加强对正方形性质的理解（4）找寻平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的相互关系。（5）找寻正方形的判定方法目的：1正方形是特别的平行四边形，也是特别的矩形和菱形，因此想得到一个正方形，可以在矩形的基础上强化边的条件得到，也可以在菱形的基础上强化角的条件得到。于是在课上呈现这两种改变，为后面寻求平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系打下基础。2由于采纳了两种正方形形成的方式，因此正
18、方形的性质和判定方法都可以从中挖掘和发觉。大致教学过程呈现一个平行四边形变成正方形的全过程（演示）由于平行四边形具有不稳定性，所以先把平行四边形木框的一个角变为直角，再移动一条短边，截成有一组邻边相等，此时平行四边形变成了一个正方形这个改变过程，可用如下图表示由此可知：正方形是一组邻边相等的矩形即：一组邻边相等的矩形叫做正方形这个平行四边形木框还可以这样改变：先移动一条短边，截成有一组邻边相等的平行四边形，再把一个角变成直角，此时的平行四边形也变成了正方形这个改变过程，也可用图表示你能依据上面的改变过程，给正方形下定义吗？一组邻边相等的平行四边形是菱形正方形是一个角为直角的菱形，所以可以说：有
19、一个角是直角的菱形叫做正方形由此可知：正方形是特别的矩形，即是邻边相等的矩形，也是特别的菱形，即是有一个角是直角的菱形因为正方形是平行四边形、菱形、矩形，所以它的性质是它们的综合，不仅有平行四边形的全部性质，也有矩形和菱形的特别性质，即：正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质正方形的性质：边：对边平行、四边相等角：四个角都是直角对角线：对角线相等，相互垂直平分，每条对角线平分一组对角 正方形是轴对称图形吗？如是，它有几条对称轴？正方形是轴对称图形，它有四条对称轴，即：两条对角线，两组对边的中垂线 例题例1如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，求AOB，OAB的度数分析：本题是
20、正方形的性质的干脆应用正方形的性质许多，要恰当运用，本题主要用到正方形的对角线的性质，即正方形的轴对称性解：正方形ABCD是菱形，对角线AC，BD肯定相互垂直，所以AOB=90正方形ABCD是矩形，又是菱形，所以：BAD=90且对角线AC平分BAD，因此：OAB=45 拿出打算好的剪刀、白纸来做一做将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样剪才能剪出一个正方形？（学生动手折叠，想，剪切）只要保证剪口线与折痕成45角即可因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形 正方形是平行四边形、矩形、又是菱形，那么它们四者之间
21、有何关系呢？正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间有什么关系呢？它们的包含关系如图： 此图给出了正方形的判别条件，即怎样判定一个平行四边形是正方形？先判定一个四边形是平行四边形，再判定这个平行四边形是矩形，然后再判定这个矩形是菱形；或者先判定一个四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形由于判定平行四边形、矩形、菱形的方法各异，所给出的条件不一样，所以判定一个四边形是不是正方形的详细条件相应可作改变，在应用时要细致辨别后才可以作出推断 第三环节课堂练习教材随堂练习1，2 第四环节课时小结 正方形的定义：一组邻边相等的矩形正方形的性质与平行四边形、矩形、菱形的性质可比较如下：（出示小黑板） 第五环节课后
22、作业课本习题4.71，2，3 四教学设计反思在教材中，并没有明确的给出正方形的判定定理。那么老师在课堂上应当帮助学生理清思路，使他们明确判定的方法。为了实现这个目标，在本节课的起先，老师就实行了两种方式呈现正方形的形成过程，在直观上帮助学生相识了正方形与矩形、正方形与菱形之间的关系；在讲解正方形性质的过程中又再次强化了这种相识。通过层层铺垫，让学生明确矩形邻边相等就是正方形，菱形一个直角就是正方形，如何判定图形是矩形或是菱形，前面已经学习过，因此关于正方形的判定是须要一个条件一个条件“叠加”完成的。 第12页 共12页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页第 12 页 共 12 页