锐角三角函数值的求法.docx

《锐角三角函数值的求法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《锐角三角函数值的求法.docx（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。

1、锐角三角函数值的求法锐角的三角函数值 21.2锐角的三角函数值 一、教法设想： 通过同学们常常运用的三角板，让同学们计算一下，当A=30,A=45,由于同学们所运用三角板大小不一，但他（她）们求得的比值都是和，这是为什么呢？ 由相像三角形有关性质得出：在这些直角三角形中，锐角A取一个固定值，A的对边与斜边的比值仍是一个固定值，进而再引入正弦，余弦的概念，并向同学说明0sinA1,0cosA1（A为锐角）. 再分别求出30，45，60特别三角函数值并应用其进行计算，进一步探讨随意锐角的正弦值与余角的余弦值关系. 依据30，45，60正、余弦值分析，引导同学归纳出：当角度在090间改变时，正弦值随

2、着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；当角度在090间改变时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）. 适时介绍正弦和余弦表的构造.结合实例进行查表，知其角度查正弦值或余弦值，反之亦然.正确处理好修正值. 对学有余力的学生，也可适当介绍“sin2A+cos2A=1”这一重要关系式. 在学习正弦、余弦的概念后，再进一步学正切、余切较简单，可仿正弦、余弦的教法进行，对学有余力的学生也可讲授这些重要关系式. 在教学中对0，30，45，60，90的特别角的三角函数值要求学生肯定要熟记，为此，我们可分别列出表并编出口决让学生记易，省时易记. 表I： 三角函数304560 Sin Cos tg

3、口决：一，二，三，三，二，一，三九二十七. 表II. 三角函数030456090 Sin Cos tg0 1 ctg 1 口决：0，一，二，三，四带根号，比上2要记牢. 其次行左右倒，三，四行靠推导. 【指引迷津】 本单元锐角三角函数的引进，使形与数紧密结合为一体，开拓了数形结合的新航向.因此，在本单元教学中，务必留意数形结合思维方法的引导，应用.用其法解决生活中的实际问题.达到得心应手. 二、学海导航： 【思维基础】 1.锐角三角函数定义 RtABC中，C=90，AB=c，BC=a，AC=b，则A的正弦，余弦，正切，余切分别是：SinA=_CosA=_tgA=_CtgA=_.它们统称为A的锐

4、角三角函数.（1）一锐角的三角函数值是四个_；锐角三角函数都不行能取_，且A为锐角时，SinA，CosA均在_内取值. 2.特别角的三角函数值（完成下表） 030456090增减值 Sin Cos tg ctg 3.互余角间的三角函数关系，ABC中，C=90，A+B=90，B=90A，则有： Sin(90A)=_ Cos(90A)=_ tg(90A)=_ Ctg(90A)=_. 4.同角三角函数关系公式：（A为锐角）. （1）Sin2A+Cos2A=_;Cos2A=_,Sin2A=_. 【学法指要】 例1.假如A为锐角，CosA=，那么（） A.0A30B.30A45 C.45A60D.60A

5、90 思路分析： 当角度在090间改变时，余弦值随着角度的增大（或削减）而减小（或增大）. 60A90应选D 例2.当45X90时，有（） A.SinxCosxtgxB.tgxCosxSinx C.CosxSinxtgxD.tgxSinxCosx 思路分析：45x90取A=60 ，tgxSinxCosx 应选D 解选择题，实行特例法可稀奇制胜，如本例取x=60在45x90的范围内，很快可知Sin60,Cos60,tg60的值，谁大谁小，黯然失色.因之，在解决有关选择题时，依据题目的限制条件，敏捷选取特别值（也可画特别图形，特别点，特别位置，特别线等），可巧夺天工. 例3.计算： 思咯分析：若a

6、0时,a0=1 对此项中的Sin36是一项干扰支.迷惑同学们，因为Sin36，不是表内特别值，求不出来，至使解题陷入僵局，其实不然.不须要求Sin36之值，只须要知道即可.因而，解题时，必需擅长解除干扰支，解除困惑，精确运用数学概念，正确求出答案，对于特别角三角函数值的计算，一.要精确无误代入三角函数值；二.要根据实数的运算法则进行运算；三.运算的结果必需是最简关系式.于是对上式便一目了然了. 例4.已知方程的两根为tg,ctg,求k和，（为锐角） 思路分析：tg,ctg为二次方程的二根，依据与系数关系式，得 tgctg=1k=1 原方程为 即tg=,ctg=或tg=,ctg= 故1=302=

7、60 锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系，各种学问交织在一起，因而必需把综合学问进行剖析，分解，然后各个击破，便可打通思路.如本例，首先运用二次方程的有关学问根与系数关系；再运用锐角三角函数的倒数关系求出K，又回到解一元二次方程来，解出二根，从中求出tg,ctg之值，再求出对应的之值，总之，擅长剖析，化整为零，一个一个解决，对困难的综合题便可攻破了. 例5.在ABC中，三边之比a：b：c=1：2，则SinA+tgA等于（） A.B. C.D. 思路分析：a：b：c=1：2 可设a=k,b=k,c=2k(k0) a2+b2=k2+(k)2=4k2=(2k)2=c2 ABC是直角三角形，且

8、C=90 依据三角函数定义，可知： ABC是直角三角形，且C=90 依据三角函数定义，可知： SinA+tgA 应选（A） 对于题设是以连比形式出现的，通常都是增设参数K，将未知转化已知，使问题明朗化，进而再探讨三角形三边的关系，从而判定为直角三角形，又转化为锐角三角函数问题，找到思路，这是解决此类问题的常用方法，而且又比较便利，请同学们今后遇到此类问题，可小试“牛刀”. 【思维体操】 例1.已知AD是直角ABC的斜边BC上的高，在ADB及ADC中分别作内接正方形，使每个正方形有两条边分别在DB，DA及DC，DA上，而两个正方形的第四个顶点E，F各在AB，AC上，求证：AE=AF. 揭示思路1

9、：设ABC=.正方形EMDG与正方形DNFH的边长分别为a,b AD=AG+DG=atg+a AD=AH+DH=bCtg+b atg+a=bctg+b =bctg=AH. AE=AF 揭示思路2： 设BC=a,且ABC=，则有 AB=acos 同理： AE=AF 由上两种思路证得AE=AF，可发觉用三角法探讨几何问题，开宗明义，直截了当，只要所给定的几何图形中有直角三角形.便可应用锐角三角函数列出它们的边角关系式，再应用代数法计算一下，便可达到目的.题设所给的问题中，未有给定直角三角形，只要能构造出直角三角形，同样也可转化为用三角法证解之，而且也比较便利，由此可见，用三角法证（解）几何问题为解

10、几何问题又开拓了新的渠道.为数与形结合供应了新的条件，我们应在这条新渠道不断探究，取得新的成果.现沿这思路接着扩散. 扩散一： 如图，RtABC中，有正方形DEFG，D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上，求证：EF2=BEFC 揭示思路：从题设及图形中都可发觉有直角三角形，所以用三角法证之比较顺畅. 在RtBDE中， 在RtGFC中， B+C=90，tgB=tg(90C)=ctgC DE=GF=EF EF2=BECF 扩散二： 在ABC外侧作正方形ABDM和ACEN，过D，E向BC作垂线DF，EG，垂足分别为F，G，求证：BC=DF+EG 提示思路：视察图形可发觉直角三角形DFB及直角

11、三角形EGC.便萌生用三角法证明，可是此时DF，EG比较分散.设法作AHBC再构两个直角三角形，通过正方形为“媒介”，这样把DF，EG就有了联系.此时，应用锐角三角函数定义建立边角关系，便可马到胜利！ 在RtEGC中， EG=bcos 在RtDBF中，同理，DF=ccos（设b,c,如图） EG+DF=bCos+ccos 在RtABH中，BH=ccos 在RtACH中，CH=bcos BC=BH+CH,BC=bcos+ccos BC=EG+DF 扩散三： 设顶角A=108的等腰三角形的高为h，A的三等分线及其外角的四等分线分别为P1，P2，求证： 揭示思路：从图形中可发觉有几个直角三角形存在，

12、这个信息向我们供应用三角法证明是得天独厚的条件，不要迟疑，不然，将会失去良机. 如图，设ABC的底边上的高AH=h,A的三等分线AD=P1，A的外角四等线AE=P2，BAC=108，AB=AC， DAH=18 在RtADH中，cos18= CAE=(180108)=18 ACB=(180108)=36 AEC=18 在RtAHE中，Sin18= 扩散四： 已知：如BAC=90，ADBC，DEAB，DFAC，垂足分别为D、E、F. 求证： 揭示思路：本例直角三角形之多，用三角法证之更不宜迟，用锐角三角函数定义，列出边角关系，可非常奇妙就证得结论. 设ABC=，则DAF=CDF= 扩散五： 在正方

13、形ABCD中，AE平分BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC=20F 揭示思路：视察图形，图中有很多直角三角形，它启示我们用三角法作为“向导”，可直达目的地. BEF=ACB+EAC=45+BAE BFE=CAE,BEF=BFE, BE=BF 进而可知AD=DF 设正方表ABCD边长为1，又设BAE=CAE= 则OA=OB= 在RtABE中，BE=ABtg=BF BF=OBOF=OBOAtg ABtg=OBOAtg OF=OAtg=(1) EC=BCBE=11tg=1+1=2=(1) EC=20F 应用锐角三角函数的定义探讨几何问题；直观，又少添或不添设协助线，充分发挥数的特长.把几何问题通

14、过锐角三角形边角关系，应用计算法，便可曲径通幽，柳暗花明.同学们应加强这方面的学习，以拓宽几何证题思路. 三、智能显示 【动脑动手】 1.在RtABC中，C=90，则SinB+CosB的值（） （A）大于1（B）小于1 （C）等于1（D）不确定 2.在ABC中，它的边角同时满意下列两个条件；（1）SinC=1；（2）SinA,CosB是方程4x2cx+1=0的两个根，求a，b，c及SABC 3.证明：“从平行四边形ABCD的顶点A，B，C，D向形外的随意直线MN引垂线AABBCCDD垂足是ABCD（如下图） 求证：AA+CC=BB+DD，现将直线MN向上移动，使得A点在直线的一侧，B、C、D三

15、点在直线的另一侧（如中图），这时，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足为ABCD，那么垂线放AABBCCDD之间存在什么关系？如将直线MN再问上移动，使两侧各有两个顶点（如下图）.从A，B，C，D向直线MN作的垂线放AABBCCDD之间又有什么关系？依据左图，中图，右图写出你的猜想，并加以证明. 揭示思路：1.在RtABC中，C=90 由锐角三角函数定义，得 a+bc SinB+CosB1,应选A. 2.SinC=1,C=90 SinA+CosB=,SinACosB= 又A+B=90,B=90A CosB=Cos(90A)=SinA c=4,A=30,a=2,b= 3.猜想如下： 对于中图有

16、：CCAA=BB+DD 对于右图有：CCAA=DDBB 证法1.如图,设AEA=,则AA=AESin=(OAOE)Sin=OASinOESin，又CC=CESin=(OC+OE)Sin=(OA+OE)Sin=OASin+OESin CCAA=2OESin OO=OESin,CCAA=2OO 由题设知，OO为梯形BBDD的中位线. BB+DD=2OO CCAA=BB+DD （2）如图，仿（1）证法可得 CCAA=2OESin DDBB=2OFSin OESin=OFSin, CCAA=DDBB 证法二：（1）延长CB交MN于E，设AD与MN交于F，又设AFA=，则BEB=，在RtEBB中， BE

17、=CECB BB=BESinCBSin 在RtECC中，Sin=, CC=CESin CCBB=BCSin 在RtAAF与RtFDD中. AA=AFSin,DD=DFSin DF=ADAF DD=ADSinAFSinA DD=ADSinAA DD+AA=ADSin AD=BC,CCBB=DD+AA CCAA=BB+DD （2）仿证法（1）同样可证得 CC+BB=BCSin AA+DD=ADSin CC+BB=AA+DD， CCAA=DDBB 证法三：（1）如图，作DECC，则DDCE为矩形，CE=CCDD 设AFA=，则易知CDE=在RtCDE中， CCDD=CDSin 在RtAFA中，AA=

18、AFSin 在RtFBB中，BB=BFSin BB=(ABAF)Sin=ABSinAFSin AA+BB=ABSin AB=CD,AA+BB=CCDD CCAA=DD+BB （2）如图，仿（1）同法可证： CCAA=DDBB 【创新园地】 已知ABC中，BAC=120，ABC=15， A，B，C的对边分别为a,b,c那么a：b：c=_（本结论中不含任何三角函数，但保留根号，请考虑多种解法）. 解法一：过点B作BDAC交CA的延长线于点D. BAC=120， ABC=15,ACB=DBC=45,ABD=30 在RtABD中，Sin30=AD=c Cos30=，BD= bBDAD= a= a：b：

19、c= = 解法二：如图，作ADBC，交BC于D，在AB上取AE=AC，连CE，作AFCE，交CE于F，则ACE=AEC=，BCE=ACB30=4530=15 BEC为等腰三角形，BE=CE 设AD=CD=1，则AC=，即b= CE=2ACCos30= AB=AE+EB=+，即c=+ BD= BC=BD+DC=3+，即a=3+ a：b：c=（3+）：（+） = 解法三：如图，作ADBC,交BC于D,在BC上取点E，使BAE=B=15,那么，连接AE，得：AEC=30，AE=BE.设AD=DC=1，则AC=，即b=，AE=BE=2AD=2，DE=AECos30= 即c=+ a：b：c=(3+)：(

20、+) = 解法四：如图，BD=x，则2x2=a2， x= =（参照解法一图） 解法五： 以BC为直径作o，延长CA交o于在，连BD，设a=2r，则BD=r,AD= = 解法六：建立如图坐标系，则可求： 解法七：建立如图坐标系，由B点引X轴的垂线，垂足为D，则 解法八：建立如图坐标系，设C(1，0)，B(1，0)，延长CA交Y轴于点D，连结BD，则D点坐标是(0，1)，那么|BD|=|CD|= 本例还可用面积法证明，如SCBD=aBD，Sin45=BD2BD= 锐角三角函数的应用 31.3锐角三角函数的应用教学目标1.能够把数学问题转化成数学问题。2.能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对

21、结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的实力。过程与方法经验探究实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用。情感看法与价值观主动参加探究活动，并在探究过程中发表自己的见解，体会三角函数是解决实际问题的有效工具。重点：能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算。难点：能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系。教学过程一、问题引入，了解仰角俯角的概念。提出问题：某飞机在空中A处的高度AC1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18，求A、B间的距离。提问：1.俯角是什么样的角？，假如这时从地面B点看飞机呢，称A

22、BC是什么角呢？这两个角有什么关系？2.这个ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？老师通过问题的分析与探讨与学生共同学习也仰角与俯角的概念，也为运用新学问解决实际问题供应了肯定的模式。二、测量物体的高度或宽度问题.1.提出老问题，找寻新方法我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的学问来解决这些问题呢。利用三角函数的前提条件是什么？那么假如要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的学问来解决吗？学生分组探讨体会用多种方法解决问题，解决问题须要适当的数学模型。2.

23、运用新方法，解决新问题.从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30，测量仪距古塔60米，则古塔高（）米。从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45、30，已知C、D相距100米，那么山高（）米。要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得ACB45，ABC60，求河宽（精确到0.1米）。在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形解决实际问题，渗透建模的数学思想。三、与方位角有关的决策型问题1.提出问题一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追逐鱼群，在A处望见小岛C在北偏东60的方向上；40nin后，渔船行驶到B处，

24、此时小岛C在船北偏东30的方向上。已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是多暗礁的危急区。这艘渔船假如接着向东追逐鱼群，有有进入危急区的可能？2.师生共同分析问题按以下步骤时行：依据题意画出示意图，分析图中的线段与角的实际意义与要解决的问题，不存在直角三角形时须要做协助线构造直角三角形，如何构造？选用适当的边角关系解决数学问题，按要求确定正确答案，说明结果的实际意义。3.学生练习某景区有两景点A、B，为便利游客，风景管理处确定在相距2千米的A、B两景点之间修一条笔直的马路（即线段AB）。经测量在A点北偏东60的方向上在B点北偏西45的方向上，有一半径为0.7千米的小水潭，问水潭会不会影响马

25、路的修建？为什么？ 学生可以分组探讨来解决这一问题，提出不同的方法。四、总结。1.由学生谈利用三角函数学问来解决实际问题的步骤，再次体会建立数学模型解决问题的过程。2.总结详细几种类型的图形构造直角三角形的方法： 用计算器求锐角三角函数值21.3用计算器求锐角三角函数值教学目标（一）学问教学点1会用计算器求出一个数的平方、平方根、立方、立方根。2会用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角。（二）实力训学点：培育学生娴熟地运用现代化协助计算手段的实力（三）德育渗透点；激发学生学习爱好与求知欲。教学重点：会用计算器求锐角三角函数值和由锐角三角函数值求锐角教学过程问题1你能用计算器求出（1）

26、45、（2）、（3）、（4）的值吗？试一试。说明和建议（1）组织学生人人用计算器来计算上述运算，分别求出它们的结果，使学生回忆出以前学过的用计算器进行数的乘方、开方的计算方法。（2）在计算上述4个问题时，实行兵教兵的方法，老师只需作个别辅导。计算结束后，可叫学生逐一说出访用计算器的依次和方法，以订正学生中存在的错误。在运用CZ1206型计算器时，要求乘方的底数大于或等于0，当算式中乘方的底数小于0，且指数是奇数时,应将计算器中得到的结果加上负号，再进行加、减、乘、除运算时，只要按四则运算算式依次输入数据与运算符号即可完成运算，具有括号的算式，可根据算式中的括号出现的依次按键即可，如计算：200

27、2384+2（342）（5+6）可按以下依次按键2、0、0、-、2、3、-、8、4、+、2、3、-、4、2、-、5+、6、=，显示176（4）老师还可以出一组加减乘除和乘方、开方的简洁的计算题，让学生练习，以复习和巩固以前学过的计算器的有关内容和方法。问题2运用计算器进行计算，逐一回答问题。（1）用计算器求锐角的三角函数值时应首先按哪一个键？（2）怎样用计算器求锐角的三角函数值？要留意什么问题？说明和建议：（1）对求非整数度数的锐角三角函数值时，要先把它化为以度为单位的角后再求它的三角函数值。在用计算器计算时留意度与分、秒之间均要用+键，分化度时用、6、0键，秒化度时用、3、6、0、0、键。（

28、2）按键时要正确，依次不能搞错。（3）老师可依据学生边读阅、边动手计算的状况，再供应已知锐角求它的正弦、余弦、正切、余切的题目让学生求出各锐角的三角函数值问题3（阅读课本，按课本内容用计算器计算，并回答问题）（1）怎样运用计算器由锐角三角函数值求锐角？要留意什么问题？（2）怎样求锐角的余切值和由锐角的余切值求锐角？说明和建议：（1）在学生边阅读、边计算时，老师要提示学生以下几点：在按sin或cos或tan键前必需按其次功能选择键；按sin键后显示得到的是这个锐角的度数，必需按课本上的方法逐一把度数的小数部分化为分，再把分的小数部分化为秒，最终得到精确到的锐角的近似值。（2）求锐角的余切值时应转换成求这个锐角的余角的正切值。即利用关系式cotA=tan(A)来解决。再由锐角的余切值求锐角时，应利用关系式cotA=来解决。（3）老师应配置相应的课堂练习题让学生巩固这类问题的解决方法。课堂练习课本习题作业同步练习第22页 共22页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页第 22 页 共 22 页