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1、高一数学下册向量的加法知识点整理湘教版高一数学上册学问点整理：集合 高一数学上册学问点整理：集合 集合概念集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，特地探讨集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的全部领域。集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不
2、能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。元素与集合的关系元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。集合与集合之间的关系某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。说明一下：假如集合A的全部元素同时都是集合B的元素，则A
3、称作是B的子集，写作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了一个符号(如右图)，不要混淆，考试时还是要以课本为准。全部男人的集合是全部人的集合的真子集。集合的几种运算法则并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作AB(或BA)，读作“A并B”(或“B并A”)，即AB=x|xA，或xB交集：以属于A且属于B的元差集表示素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作AB(或BA)，读作“A交B”(或“B交A”)，即AB=x|xA，且xB例如，全集U=1，2，3，4，5A=1，3，5B=1，2，5。那么因为A和B中都有
4、1，5，所以AB=1，5。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说AB=1，2，3，5。图中的阴影部分就是AB。好玩的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减集合1再相乘。48个。对称差集：设A，B为集合，A与B的对称差集A?B定义为：A?B=(A-B)(B-A)例如：A=a，b，c，B=b，d，则A?B=a，c，d对称差运算的另一种定义是：A?B=(AB)-(AB)无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的全体，且N_n=1，2，3，n，假如存在一个正整数n，使得集合A与
5、N_n一一对应，那么A叫做有限集合。差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作：AB=xxA，x不属于B。注：空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”.补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA=x|xU，且x不属于A空集也被认为是有限集合。例如，全集U=1，2，3，4，5而A=1，2，5那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA=3，4。在信息技术当中，经常把CuA写成A。集合元素的性质1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学
6、”“很小的数”都不能构成集合。这特性质主要用于推断一个集合是否能形成集合。2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必需为自然数。3.互异性：集合中随意两个元素都是不同的对象。如写成1，1，2，等同于1，2。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。4.无序性：a，b，cc，b，a是同一个集合。5.纯粹性：所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A=x|x2，集合A中全部的元素都要符合x2，这就是集合纯粹性。6.完备性：仍用上面的例子，全部符合x2的数都在集合A中，这就是集合完备性。完备性与纯粹性是遥相呼应的。集合有以下性质若A包含于B，则A
7、B=A，AB=B 高一数学下册直线与圆的位置关系学问点整理 高一数学下册直线与圆的位置关系学问点整理 一、教学目标 1、学问与技能 (1)理解直线与圆的位置的种类; (2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离; (3)会用点到直线的距离来推断直线与圆的位置关系. 2、过程与方法 设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： (1)当时，直线与圆相离; (2)当时，直线与圆相切; (3)当时，直线与圆相交; 3、情态与价值观 让学生通过视察图形，理解并驾驭直线与圆的位置关系，培育学生数形结合的思想. 二、教学重点、难点： 重点：直
8、线与圆的位置关系的几何图形及其推断方法. 难点：用坐标法判直线与圆的位置关系. 三、教学设想问题设计意图 师生活动 1.初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类? 启发学生由图形获得推断直线与圆的位置关系的直观认知，引入新课. 师：让学生之间进行探讨、沟通，引导学生视察图形，导入新课. 生：看图，并说出自己的看法. 2.直线与圆的位置关系有哪几种呢?得出直线与圆的位置关系的几何特征与种类. 师：引导学生利用类比、归纳的思想，总结直线与圆的位置关系的种类，进一步深化数形结合的数学思想.问题设计意图 师生活动 生：视察图形，利用类比的方法，归纳直线与圆的位置关系. 3.在初中，我们怎样推断直
9、线与圆的位置关系呢?如何用直线与圆的方程推断它们之间的位置关系呢? 使学生回忆初中的数学学问，培育抽象概括实力. 师：引导学生回忆初中推断直线与圆的位置关系的思想过程. 生：回忆直线与圆的位置关系的推断过程. 4.你能说出推断直线与圆的位置关系的两种方法吗? 抽象推断直线与圆的位置关系的思路与方法. 师：引导学生从几何的角度说明推断方法和通过直线与圆的方程说明推断方法. 生：利用图形，找寻两种方法的数学思想. 5.你能两种推断直线与圆的位置关系的数学思想解决例1的问题吗? 体会推断直线与圆的位置关系的思想方法，关注量与量之间的关系. 师：指导学生阅读教科书上的例1. 生：新闻记者教科书上的例1
10、，并完成教科书第136页的练习题2.6.通过学习教科书的例1，你能总结一下推断直线与圆的位置关系的步骤吗? 使学生熟识推断直线与圆的位置关系的基本步骤. 生：阅读例1. 师;分析例1，并展示解答过程;启发学生概括推断直线与圆的位置关系的基本步骤，留意给学生留有总结思索的时间. 生：沟通自己总结的步骤. 师：展示解题步骤. 7.通过学习教科书上的例2，你能说明例2中体现出来的数学思想方法吗? 进一步深化数形结合的数学思想. 师：指导学生阅读并完成教科书上的例2，启发学生利用数形结合的数学思想解决问题. 生：阅读教科书上的例2，并完成第137页的练习题.问题设计意图 师生活动 8.通过例2的学习，
11、你发觉了什么? 明确弦长的运算方法. 师：引导并启发学生探究直线与圆的相交弦的求法. 生：通过分析、抽象、归纳，得出相交弦长的运算方法. 9.完成书上练习 巩固所学过的学问，进一步理解和驾驭直线与圆的位置关系. 师：引导学生完成练习题. 生：相互探讨、沟通，完成练习题. 10.课堂小结： 老师提出下列问题让学生思索： (1)通过直线与圆的位置关系的推断，你学到了什么? (2)推断直线与圆的位置关系有几种方法?它们的特点是什么? (3)如何求出直线与圆的相交弦长? 高一数学上册学问点整理：幂函数 高一数学上册学问点整理：幂函数 定义：形如y=xa(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指
12、数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下：假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数；假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需根据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数；假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不怜悯况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种状况来探讨各自的特性：首
13、先我们知道假如a=p/q，q和p都是整数，则x(p/q)=q次根号(x的p次方)，假如q是奇数，函数的定义域是R，假如q是偶数，函数的定义域是0，+)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(xk)，明显x0，函数的定义域是(-，0)(0，+).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：解除了为0与负数两种可能，即对于x0，则a可以是随意实数；解除了为0这种可能，即对于x0和x0的全部实数，q不能是偶数；解除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的全部实数，a就不能是负数。总结起来，就可以得到当a为不同
14、的数值时，幂函数的定义域的不怜悯况如下： 假如a为随意实数，则函数的定义域为大于0的全部实数；假如a为负数，则x确定不能为0，不过这时函数的定义域还必需依据q的奇偶性来确定，即假如同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的全部实数；假如同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的全部实数。在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。由于x大于0是对a的随意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自状况.可以看到：(1)全部的图形都通过(1，1)这点。(2)当a大于0时，幂函数为单调递增
15、的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。(3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。(5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。(6)明显幂函数无界。 高一数学下册点、线、面之间的位置关系学问点整理 高一数学下册点、线、面之间的位置关系学问点整理 1.直线在平面内的判定 (1)利用公理1：始终线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内. (2)若两个平面相互垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于其次个平面的直线在第一个平面内，即若,A，AB，则AB. (3)过一点和一条已知直线垂直的全部直线，都在过
16、此点而垂直于已知直线的平面内，即若Aa,ab，A,b，则a. (4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P，P，Pa,a，则a. (5)假如一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a,A，Ab,ba,则b. 2.存在性和唯一性定理 (1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条; (2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条; (3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个; (4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条; (5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个; (6)过平面的一条斜线且与该平面垂
17、直的平面有且只有一个; (7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个; (8)过两条相互垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个. 3.射影及有关性质 (1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点. (2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影. 和射影面垂直的直线的射影是一个点;不与射影面垂直的直线的射影是一条直线. (3)图形在平面上的射影一个平面图形上全部的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影. 当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段; 当
18、图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形. (4)射影的有关性质 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： (i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长; (ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长; (iii)垂线段比任何一条斜线段都短. 4.空间中的各种角 等角定理及其推论 定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等. 推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 异面直线所成的角 (1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间随意一点O，分别引直线aa,bb,则a和b所成的锐角(或直角)叫
19、做异面直线a和b所成的角. (2)取值范围：090. (3)求解方法 依据定义，通过平移，找到异面直线所成的角; 解含有的三角形，求出角的大小. 5.直线和平面所成的角 (1)定义和平面所成的角有三种： (i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. (ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角. (iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0的角. (2)取值范围090 (3)求解方法 作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角. 解含的三角形，求出其大小. 最小角定理 斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经
20、过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角. 6.二面角及二面角的平面角 (1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面. (2)二面角条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成. 若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角. 二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角的取值范围是 0180 (3)二面角的平面角 以二面角棱上随意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角. 如图，PC
21、D是二面角-AB-的平面角.平面角PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关. 二面角的平面角具有下列性质： (i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB平面PCD. (ii)从二面角的平面角的一边上随意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上. (iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD，平面PCD. 找(或作)二面角的平面角的主要方法. (i)定义法 (ii)垂面法 (iii)三垂线法 ()依据特别图形的性质 (4)求二面角大小的常见方法 先找(或作)出二面角的平面角，再通过解三角形求得的值. 利用面积射影定理 S=Sc
22、os 其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，为二面角的大小. 利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小. 7.空间的各种距离 点到平面的距离 (1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离. (2)求点面距离常用的方法： 1)干脆利用定义求 找到(或作出)表示距离的线段; 抓住线段(所求距离)所在三角形解之. 2)利用两平面相互垂直的性质.即假如已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离. 3)体积法其步骤是：在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥;求出此三棱锥的体积V和所取三点
23、构成三角形的面积S;由V=Sh，求出h即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算. 4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求. 8.直线和平面的距离 (1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上随意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离. (2)求线面距离常用的方法 干脆利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之. 将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之. 作协助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离. 9.平行平面的距离 (1)定义个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线
24、.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离. (2)求平行平面距离常用的方法 干脆利用定义求 证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之. 把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最终转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之. 10.异面直线的距离 (1)定义条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离. 任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段. (2)求两条异面直线的距离常用的方法 定义法题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再依据有关定理、性质求出公垂线段的长. 此法一般多用于两异面直线相互垂直的情形. 转化法为以下两种形式：线面距离面面距离 等体积法最值法射影法公式法 第17页 共17页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页第 17 页 共 17 页