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1、4 矩阵的运算 4.1 矩阵 矩阵matrix这个词是由英国数学家James Joseph Sylvester(1814-1897)于1850年首先提出来的.Sylvester用matrix这个词指行列式的子式.在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念，而在历史上次序正好相反.在矩阵引进的时候它的基本性质就已经清楚了.英国数学家Arthur Cayley(1821-1895)首先把矩阵作为独立的数学对象来研究，并就此发表了一系列文章，他被公认为矩阵论的创立者.J.J.Sylvester 4.1 矩阵 矩阵是一张长方形的数表.一个 行 列的矩阵称为 矩阵.矩阵 的第 行第 列的元素用 表示,称为 的
2、 元素.如图：矩阵可用列向量表示为 第 列 第 行 4.1 矩阵 称两个矩阵相等，若它们有相同的行数列数，且对应元素相等.元素全是零的 矩阵称为零矩阵，用 表示.的行数和列 数一般可由上下文确定.矩阵的行数和列数相等时是一个方阵.方阵 的对角元 构成 的主对角线.对角矩阵是一个方阵,它 的非对角元都是 主对角线上的元素都是 的对角矩阵称为单位矩阵,记为 4.2 矩阵的加法和数乘 定义：设 是 矩阵,则 设 则 注：矩阵 有相同的行数和列数时，才有定义.例：则 4.2 矩阵的加法和数乘 容易直接验证，矩阵的加法和数乘满足下述 条运算法则:对数域 上任意 矩阵 及任意 有 1.2.3.4.设 矩阵
3、 称为 的负矩阵，记作 有 5.6.7.8.利用负矩阵的概念，可以定义矩阵的减法为 4.3 矩阵的乘法 设矩阵 的列是 借助于矩阵与向量的乘法,我们 定义了矩阵的乘法：回忆：矩阵 与向量 的乘积定义为 4.3 矩阵的乘法 注：和 可乘 的列数 的行数 4.3 矩阵的乘法 定义:若 是 矩阵，是 矩阵，的列向量是 则乘积 是 矩阵，且 的第 行向量 的第 列向量 4.3 矩阵的乘法 例：计算 其中 解：记 计算 故 又 4.3 矩阵的乘法 例：求 的第 行，其中 解:由矩阵乘法的定义,的第 行是由 的第 行和 的各列相乘所 得：4.3 矩阵的乘法 注：计算 的第 行时,我们仅需把 的第 行乘以
4、,得 这在一般情况下也是正确的,即 的第 行 的第 行 4.3 矩阵的乘法 矩阵乘积 的每一列 为矩阵 的列向量的线性组合.矩阵乘积 的每一行 为矩阵 的行向量的线性组合.4.4 矩阵乘法的性质 设 为 矩阵,的行数列数使下列各式中的运算有定义,则(1)（乘法结合律）(2)（乘法左分配律）(3)（乘法右分配律）(4)为任意数.(5)4.4 矩阵乘法的性质(1)（乘法结合律）证明：设 则 故只需证明 设 则 证毕.4.4 矩阵乘法的性质 设 为 矩阵,为 矩阵.与 可做乘法,但 与 未 必可做乘法.即使 与 ,与 都可做乘法,也有可能 例：(1)设 则 4.4 矩阵乘法的性质 例：(2)设 则
5、4.4 矩阵乘法的性质 定义：若 称 和 可交换.小结：矩阵的乘法一般不可交换.这是矩阵与普通实数的重要区别.4.4 矩阵乘法的性质 注：消去律对矩阵乘法不成立,即若 一般情况下 并不成立.例：则 但 注：若乘积 是零矩阵,一般情况下,不能断定 或 例：但 4.5 矩阵的方幂 设 是 矩阵 是正整数,则 称为矩阵 的 次幂.规定 注：一般地 因此 例：求 解：则 个 4.6 注记：关于“矩阵乘法”的引入 历史上,Arthur Cayley是为描述线性变换的复合而引入矩阵乘法的 定义的.例如，设变换 后跟着变换 则 和 之间的关系由下式给出:4.6 注记：关于“矩阵乘法”的引入 因此Cayley
6、定义两个矩阵的乘积为 即两矩阵乘积的第 元素为左边因子的第 行元素与右边因子 的第 列对应元素乘积之和.4.7 分块矩阵 处理大阶矩阵的运算时，常转换成小阶矩阵的运算.将矩阵用纵线和横线分成若干小块，每一小块称为矩阵的子块.分 为子块的矩阵称为分块矩阵(Block matrix).例：是一个分块矩阵,它有 个小块:则 可记为 4.7 分块矩阵 例：线性方程组 的增广矩阵 是有两个子块的分块 矩阵.消元时,直接左乘初等矩阵 分块矩阵的加法：若矩阵 和 有相同行数和列数，且被同样地分块，则对应块相加得 分块矩阵的数乘：数 乘分块矩阵只需 乘 的每个子块.4.7 分块矩阵 分块矩阵的乘法：分块矩阵
7、可乘 的列的划分与 的行的划分一致.例：设 4.7 分块矩阵 注：在 乘积表达式中的子块乘积，每一项应把来自 的子矩阵写在左边.4.7 分块矩阵 矩阵乘法的列行展开：设 是 矩阵,是 矩阵,则 注：是一个 矩阵.4.7 分块矩阵 例：设 则 注：当矩阵太大时,不适于存储在高速计算机内存中,分块矩阵允许计算机一次处理几块子矩阵.当把矩阵分块后再进行矩阵计算会更有效.4.8 矩阵的转置 将 矩阵 的行与列互换,得到的矩阵 称为 的转置(transpose),记为 例：设 则 4.8 矩阵的转置 性质:(1)(2)(3)对任意数 (4)4.8 矩阵的转置 证明:(4)设 则 故只需证 即可,记 事实上，得证.4.8 矩阵的转置 证二：设 为 矩阵，为 矩阵.故 若干个矩阵乘积的转置等于它们转置的乘积，相乘次序相反.4.8 矩阵的转置 应用：内积.设 为两 维列向量,则 例：例：设 为 矩阵 为 维向量 为 维向量,则 即 给定 是使 对任意 维向量 任意 维向量 成立的矩阵.4.8 矩阵的转置 定义:若 则称 是一个对称矩阵(symmetric matrix).若 则称 是一个反对称矩阵(anti-symmetric matrix).例：为对称矩阵,为反对称矩阵.4.8 矩阵的转置 性质：设 为 矩阵,则 为 对称矩阵,为 对称矩阵,且其对角元均非负.例：设 则